Hemos investigado, considerablemente, en mayor detalle que el justificado en un libro de texto de mecánica clásica alguna de las propiedades geométricas y algebraicas del espacio fase. El interés es ocasionado por aspectos interesantes y no muy discutidos debidos al hecho de que el espacio fase es un espacio simpléctico en vez de un espacio ortogonal. Las propiedades de un espacio simpléctico son ocasionadas por una forma bilineal antisimétrica, de la misma manera que las propiedades del más familiar, espacio ortogonal son ocasionadas por una métrica debida a una forma simétrica.
La forma antisimétrica de la que se ha hablado debe su existencia a las ecuaciones de Hamilton de movimiento, y refleja de esta manera el hecho de que las ecuaciones de Newton son ecuaciones diferenciales de segundo orden.
La ventaja de una exposición sistemática de ciertas partes de la mecánica clásica en estos términos es que permite ver con mayor profundidad algunas definiciones y resultados que ha primera vista pueden simplemente parecer técnicas incidentales en el proceso de una derivación matemática. Por ejemplo, en lugar de hablar de una manera muy vaga de la ``forma" hamiltoniana de un conjunto de ecuaciones de movimiento, el concepto puede darse de una manera muy precisa. Primero que todo, tenemos un vector velocidad el cual determina el movimiento del sistema mecánico. Propiamente dicho se tiene un campo de tales vectores, ya que uno podría determinar la velocidad del sistema en cualquier parte que estuviese del espacio fase. De acuerdo a la mecánica hamiltoniana, la determinación del campo de velocidades es hecha con la ayuda de una función auxiliar, la función hamiltoniana del sistema. Especificamente hay una relación lineal entre el campo gradiente de el hamitoniano y el campo de velocidad. La ``forma" hamiltoniana de las ecuaciones del movimiento consiste en el hecho de que la matriz de coeficientes es una matriz específica, la matriz antisimétrica unitaria. Es entonces natural clasificar las transformaciones de coordenadas en el espacio fase de acuerdo a que preserven la relación lineal entre velocidad y gradiente, a que preserven la matriz particular de coeficientes o a que preserven el hamiltoniano mismo. Al variar los grados de generalidad se obtienen entonces transformaciones arbitrarias de coordenadas, transformaciones canónicas o simétricas.
El que las ecuaciones de movimiento originalmente involucran una matriz antisimétrica debe ser aceptado como una consecuencia de la validez experimental de las ecuaciones de Newton y el hecho de que la forma hamiltoniana es la más conveniente para estudiar sistemáticamente transformaciones de coordenadas. Una vez que uno llega a este punto, hechos tales como la existencia de dos grupos de coordenadas (las coordenadas del espacio de configuración y su momenta conjugada) son una consecuencia natural de la geometría simpléctica, y se puede ver que persisten cuando se ha llevado a cabo una transformación canónica de coordenadas.
No solamente el espacio fase exhibe las características de la geometría simpléctica, las funciones definidas sobre el espacio fase también lo hacen. La forma bilineal que nos brinda esta estructura, es el paréntesis de Poisson. Ya que una función bilineal nos define una función lineal, al fijar uno de sus argumentos, el paréntesis de Poisson nos permite definir transformaciones lineales sobre las funciones del espacio fase. Algunas de estas funciones han atraido nuestro interés.
En el espacio de los polinomios homogéneos, el mencionado paréntesis define una métrica la cual da como resultado una geometría simpléctica y la definición de conjugado canónico.
Los polinomios homogéneos de segundo grado son utilizados para definir automorfismos lineales sobre los espacios de polinomios homogéneos. Tales transformaciones tienen eigenvalores y eigenvectores y con estos se obtienen resultados muy interesantes como por ejemplo que sus eigenvalores siempre se presentan en parejas negativas y que sus correspondientes eigenvectores son parejas conjugadas, además de que se obtiene una forma canónica para tales transformaciones, otro resultado es que cada operador normal tiene un conjunto asociado de cuaterniones cuya existencia está muy relacionada con la existencia de las parejas negativas de eigenvalores.
Todos los resultados anteriores tienen algunas aplicaciones a hamiltonianos bilineales, tales como los que se presentan en el oscilador armónico, el movimiento de una partícula cerrada en un campo magnético uniforme y algunos otros problemas similares. En estos casos el hamiltoniano puede ser tratado como un operador lineal sobre el espacio fase y se encuentra que posee eigenfunciones, y otra vez, que pertenecen a parejas negativas de eigenvalores. Los productos de las eigenfunciones son polinomios homogenéos de grado superior, y nuevamente son eigenfunciones, pero ahora sus eigenvalores serán la suma de los correspondientes eigenvalores de las eigenfunciones factores. Por lo tanto, si consideramos una pareja negativa de eigenvalores, la correspondiente pareja de eigenfunciones al ser multiplicada tendrá eigenvalor cero, lo cual es otra manera de decir que el paréntesis de Poisson del producto con el hamiltoniano es cero.
Lo anterior nos indica una manera de construir constantes cuadráticas de movimiento, las cuales tendrán la propiedad de formar un conjunto cerrado con respecto al paréntesis de Poisson. En otras palabras tenemos una nueva manera de generar constantes de movimiento para hamiltonianos cuadráticos y de esta manera podemos generar grupos de simetría para esta clase de hamiltonianos. Este método fué utilizado por Torres [22] para encontrar el grupo de simetría del problema de un monopolo electromagnético.