Transformaciones canónicas

Si queremos ahora, que el nuevo sistema de coordenadas $P_1,\ldots,P_n,Q_1,\ldots,Q_n$ se preserve la ``forma" de las ecuaciones, es decir, que

$$\begin{array}{ccc} \dot{P_i} & = & - \frac{\partial H}{\partial Q_i} \end{array}$$

y

$$\begin{array}{ccc} \dot{Q_i} & = & \frac{\partial H}{\partial P_i} \end{array}$$

vemos que imponer la condición, sobre la matriz de transformación

$$M^T J M$$

de que

$$M^TJM = J$$ (1.10)

Aquellas transformaciones tales que cumplan con (1.10) seran llamadas canónicas.

Cabe hacer notar que cuando J es simplemente una matriz antisimétrica no singular entonces las transformaciones que cumplen con

$$\begin{array}{ccc} M^TJM & = & J. \end{array}$$

son llamadas simplécticas.

Entonces las transformaciones canónicas son un caso especial de las simplécticas.

Veamos ahora las condiciones que deben cumplir los elementos de la matriz M para que tengamos una transformación canónica; estas serán obtenidas de la relación de definición.

$$\begin{array}{ccc} M^TJM & = & J. \end{array}$$

donde J la escribiremos como

$$\begin{array}{ccc} J & = & \left[ \begin{array}{cc} 0 & -{\bf I} \\ {\bf I} & 0 \end{array} \right] \end{array}$$

donde $0$ e ${\bf I}$ son submatrices de orden $n\times n$.

$M^T$ que es la matriz jacobiana de la transformación la escribiremos como

$$M^T = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial P}{\partial p} & \frac{\p... ...ac{\partial Q}{\partial p} & \frac{\partial Q}{\partial q} \end{array} \right].$$ (1.11)

donde entenderemos por $\frac{\partial P}{\partial p}$ una submatriz $n\times n$, cuyo elemento general es $\frac{\partial P_i}{\partial p_i}$ que va a estar en el $i$-ésimo renglón y en la $j$-ésima columna, es decir,

$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial P}{\partial p} & = & \l... ...rac{\partial P_i}{\partial p_j} \right)_{n\times n} \end{array}$$

a su vez,

$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial P}{\partial q} & = & \left(\frac{\partial P_i}{\partial q_j} \right) \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial Q}{\partial p} & = & \left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \right) \end{array}$$

y

$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial Q}{\partial q} & = & \left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \right) \end{array}$$

Recordando que si tenemos una matriz subdividida en submatrices digamos que

$$\begin{array}{ccc} A & = & \left[ \begin{array}{cc} B & C \\ D & E \end{array} \right] \end{array}$$

entonces la transpuesta de A está dada por

$$\begin{array}{ccc} A^T &=& \left[ \begin{array}{cc} B^T & D^T \\ C^T & E^T \end{array} \right] \end{array}$$

tenemos que

$$\begin{array}{ccc} JM & = & \left[ \begin{array}{cc} -\fr... ...ac{\partial Q^T}{\partial p} \end{array} \right] \end{array}$$

con esto $M^TJM$ está dada por

$$\begin{array}{ccl} M^TJM & = & \left[ \begin{array}{cc} ... ...rac{\partial Q^T}{\partial p} \end{array} \right] \end{array}$$

Pero $M^TJM=J$ nos dice que

$$\begin{array}{ccc} - \frac{\partial P}{\partial p} \frac{\p... ...ial q} \frac{\partial Q^T}{\partial p} & = & 0 \\ \end{array}$$

Estas condiciones las podemos escribir para cada uno de los elementos que forman las matrices y estas serán:

$$\begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^n \left( \frac{\partial P_i}{... ...c{\partial Q_j}{\partial q_k}\right) & = & 0 & \\ \end{array}$$

Así, estas $4n^2$ ecuaciones expresan en términos de elementos matriciales, las condiciones necesarias y suficientes para que una transformación sea una transformación canónica.

Dentro de la mecánica clásica este tipo de ecuaciones se presentan muy frecuentemente y por eso vale la pena darle un nombre, entonces definimos el paréntesis de Poisson de $f$ y $g$ con respecto a las variables $\{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n\}$ como

$$\begin{array}{ccc} \{f,g\} & = & \sum_{k=1}^n \left( \fra... ...tial Y_k} \frac{\partial g}{\partial X_k} \right) \end{array}$$

Con esta notación nuestras condiciones para que una transformación sea canónica, serán:

$$\begin{array}{ccc} \{P_i,P_j\} & = & 0 \\ \{P_i,Q_j\} & =... ...i,P_j\} & = & \delta_{ij} \\ \{Q_i,Q_j\} & = & 0 \end{array}$$

Veamos ahora dos ejemplos:

Ejemplo 1.

$$\begin{array}{ccc} P & = & p^2 \\ Q & = & q^2 \end{array}$$

tomemos

$$\begin{array}{ccc} \{P,Q\} &=& \frac{\partial P}{\partial q... ... \left\{\begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array}\right. \end{array}$$

Por tanto podemos afirmar que no tenemos una transformación canónica.

Ejemplo 2.

$$\begin{array}{cccccc} p & = & \frac{p}{2q}, & Q & = & q^2 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} \{P,P\} &=& \frac{\partial P}{\partial q... ...rtial p}\frac{\partial Q}{\partial q} \\ & = & 0 \end{array}$$

Así vemos que ésta sí es una transformación canónica.

Regresemos a nuestra relación

$$\begin{array}{ccc} M^T J M & = & J \\ \end{array}$$

tomando inversos tenemos

$$\begin{array}{ccc} (M^T J M)^{-1} & = & J^{-1} \\ M^{-1} J^{-1} {M^T}^{-1} & = & J^{-1} \end{array}$$

pero

$$\begin{array}{ccc} J^{-1} & = & J^T \\ & = & -J \end{array}$$

así

$$\begin{array}{ccc} M^{-1} J^T {M^T}^{-1} & = & J^T \\ M^{-1} J {M^T}^{-1} & = & J \end{array}$$

Con la notación usada en (1.11) y utilizando la propiedad de los jacobianos enunciada en (1.8a) tenemos que

$$\begin{array}{ccc} {M^T}^{-1} & = & \left[ \begin{array}{... ...\frac{\partial q}{\partial Q} \end{array} \right] \end{array}$$

y por tanto

$$\begin{array}{ccc} M^{-1} & = & \left[ \begin{array}{cc} ... ...\frac{\partial q}{\partial Q} \end{array} \right] \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc} M^{-1} & = & \left[ \begin{array}{cc} ... ...rac{\partial q^T}{\partial Q} \end{array} \right] \end{array}$$

Tomemos el producto $J{M^T}^{-1}$

$$\begin{array}{ccl} J{M^T}^{-1} & = & \left[ \begin{array}... ...\frac{\partial p}{\partial Q} \end{array} \right] \end{array}$$

entonces

$$\begin{array}{ccl} M^{-1}J{M^T}^{-1} & = & \left[ \begin{... ...\frac{\partial p}{\partial Q} \end{array} \right] \end{array}$$

Así $M^{-1}J{M^T}^{-1}=J$ implica:

$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial q^T}{\partial P} \frac{\p... ...\partial Q} \frac{\partial q}{\partial Q} & = & 0 \end{array}$$

Escribiremos ahora estas condiciones, por medio de los elementos matriarcales, recordando primero como estan dadas las matrices que intervienen en las anteriores igualdades.

$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial q}{\partial P} & = & \lef... ... = & \left(\frac{\partial p_i}{\partial Q_j}\right) \end{array}$$

Las condiciones son entonces:

$$\begin{array}{ccl} \sum_{k=1}^n \left(\frac{\partial q_k}{\... ..._j} \right) & = & 0 \quad \mbox{ para todo } \; i,j \end{array}$$

Por los mismos motivos que se introdujeron los paréntesis de Poisson se introducen los de Lagrange. Por tanto definiremos el paréntesis de Lagrange de $u$ y $v$ con respecto a las variables $\{q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n\}$ como

$$\begin{array}{ccc} [u,v] & = & \sum_k\left( \frac{\partial... ...\partial u}\frac{\partial q_k}{\partial v} \right) \end{array}$$

Con esta notación nuestras cuatro condiciones quedan como

$$\begin{array}{ccc} {[}P_i,P_j{]} & = & 0 \\ {[}P_i,Q_j{]}... ..._j{]} & = & \delta_{ij} \\ {[}Q_i,Q_j{]} & = & 0 \end{array}$$

Consideremos la transformación identidad, la cual cumple con

$$\begin{array}{ccc} M^T & = & {\bf I} \\ M & = & {\bf I} \end{array}$$

por tanto

$$M^TJM \; = \; {\bf I}\, J\, {\bf I} \; = \; J$$

lo cual nos dice que es una transformación canónica. Entonces se debe cumplir

$$\begin{array}{ccc} \left\{p_i,p_j\right\} & = & 0 \\ \lef... ... & \delta_{ij} \\ \left\{q_i,q_j\right\} & = & 0 \end{array}$$

y también

$$\begin{array}{ccc} {[}p_i,p_j{]} & = & 0 \\ {[}p_i,q_j{]}... ..._j{]} & = & \delta_{ij} \\ {[}q_i,q_j{]} & = & 0 \end{array}$$