Generalidades sobre el monopolo magnético

Es bien sabido que en la práctica no se han encontrado monopolos magnéticos, aunque se han realizado múltiples investigaciones para observarlos experimentalmente [24]. Macroscópicamente puede tenerse una aproximación tomando como campo de monopolo el producido por una barra imantada muy larga pero esa es solamente una aproximación, porque acercándonos mucho hasta llegar al nivel atómico lo que en realidad se observa son pequeños dipolos. Se han buscado una gran cantidad de sistemas (átomos, moléculas, partículas elementales, lodo del fondo del mar, piedras de la Luna, imanes de aceleradores viejos etc.). Se sabe también que los campos magnéticos son producidos por cargas en movimiento y lo más elemental que puede producirse son dipolos; el espin del electrón y de otras partículas elementales tienen propiedades que pueden interpretarse en ese sentido. Sin embargo, en la teoría no hay nada en contra de la posibilidad de que existan esta clase de monopolos. Las ecuaciones de Maxwell no lo impiden. No hay ninguna evidencia de que no existan aparte del hecho de que no han sido observados. El primer trabajo que se conoce sobre el movimiento en un campo monopolar es un artículo del físico Noruego Birkeland (1890) [4]. Su investigación estaba orientada con el objeto de estudiar el efecto conocido como ``aurora boreal.'' En dicho estudio se construyó un aparato que describimos a continuación: Se tiene una caja de hierro con ventanas laterales y en cuyo interior pueden introducirse gases a muy baja presión, la idea es que puedan colocarse objetos magnéticos en el interior de la caja, suspendiéndolos de alguna manera. Entre los objetos que se introducían se tenía una esfera de $Fe_3O_4$ material que tiene propiedades magnéticas. Dicha esfera constituye un modelo de la Tierra con todo y su campo magnético, y es conocido como ``Terrella''. En una de las paredes se coloca un cañón de electrones que son disparados hacia la esfera; debido a que hay un gas a baja presión pueden observarse las trayectorias de dichos electrones. El efecto es semejante al que se tiene cuando llegan partículas desde el sol y entran al campo magnético terrestre produciendo auroras boreales.

Figure 1.14: Terrella

Entre otras cosas, se introdujo uno de los extremos de cierta barra magnetizada muy larga, observándose que los rayos catódicos (no se hablaba todavía de electrones) eran atraidos hacia ese extremo, estrellándose en él. Birkeland escribió una breve nota en su artículo diciendo que había encontrado un nuevo tipo de fuerza entre imanes y rayos catódicos. Hubo una respuesta de Poincaré (1898) señalando que el fenómeno observado por Birkeland no se debe a ninguna fuerza desconocida si no que es precisamente lo que debe esperarse si se supone que los rayos catódicos están formados por partículas cargadas o por corrientes, que como sabemos, se mueven de acuerdo con la ley de Lorentz. Fue Poincaré quien solucionó las ecuaciones de movimiento para una partícula sometida a la influencia de un monopolo magnético. El resultado es interesante, la partícula se mueve sobre la superficie de un cono circular recto cuyo vértice está colocado precisamente en el monopolo y su eje queda determinado por las condiciones iniciales del movimiento. Cada partícula tiene su propio cono, de modo que su movimiento ocurre siempre sobre dicha superficie. La región de convergencia de las trayectorias va a depender de las condiciones iniciales, (velocidad, carga, etc.,). Si la velocidad es muy grande, la partícula va a girar muy poco siguiendo trayectorias casi rectas hasta llegar muy cerca del polo, regresando para alejarse nuevamente. Algo de ese estilo observó Birkeland sin tener oportunidad de observar las diferentes posibilidades. Lo importante es que los electrones siempre se acercan al centro, no importando que éste sea norte o sur; entonces parece tenerse un potencial atractivo independiente del signo que tenga el polo. Desarrollando las ecuaciones de movimiento, se encuentra que la trayectoria es una geodésica; sabemos que el cono es una superficie que rueda perfectamente sobre un plano, entonces puede ser desenvuelto en una superficie plana, de tal modo que una línea sobre el cono se convierte en una línea sobre el plano, solo que la circunferencia del cono no va a ser precisamente una circunferencia sobre el plano. Así, la trayectoria de una partícula sobre la superficie del cono, al desenvolverse sobre un plano se convierte en una recta. La partícula llega, se acerca hasta cierto límite y después se aleja nuevamente; a este efecto se le conoce como espejo magnético [25]. Este efecto es precisamente para el monopolo pero tiene validez para cualquier otro tipo de campo magnético en el sentido de que siempre que la partícula entra en una región en que las líneas del campo convergen se presenta un movimiento de este tipo. Cuando existe un dipolo, a primera aproximación giran las partículas alrededor de las líneas de fuerza; en realidad; hay tres posibilidades: la primera es aquella en que la partícula llega muy lejos del sistema, forma una espiral con mínimo acercamiento y se aleja nuevamente; este acercamiento puede o no ser mayor que el radio terrestre (cuando se trata del campo magnético de la Tierra) y permite saber si un rayo cósmico alcanzará la superficie de la Tierra o si llega a chocar con algunos átomos de la atmósfera dando lugar a fenómenos como el de las auroras. La segunda consiste en que las partículas al reflejarse en un polo se dirigen hacia el otro, volviendo a reflejarse, resultando por consiguiente un movimiento oscilatorio entre los dos polos; esto da lugar a cinturones de radiación (bandas de Van Allen). El fenómeno es complicado porque esas trayectorias son típicas de partículas cargadas de origen solar, lo que se conoce precisamente como ``viento solar''. El viento solar distorsiona de diversas maneras el campo magnético terrestre. Las partículas permanecen atrapadas durante algún tiempo en dicho campo y después escapan de su influencia. Cuando este fenómeno se presenta con gran intensidad ocurren cosas muy extrañas tales como la perturbación (o interrupción ) de las señales de radio. La tercera posibilidad consiste en una precesión del movimiento, con ciertas constantes características (carga de la partícula, campo magnético de la tierra, etc.). El tiempo en que se desarrolla cada uno de los procesos que hemos descrito se conoce como ``tiempo característico". En la Figura 1.15, ilustramos los tres casos anteriores.

Figure 1.15: sumbido

Cuando se consideran velocidades relativistas, el tiempo caracerístico es de fracciones de segundo en el primer caso y de horas para el segundo caso. En el tercer caso este tiempo puede ser de semanas y aún de meses. Un estudio bastante amplio acerca del movimiento de partículas cargadas en el campo magnético terrestre fué elaborado por Störmer [5] quien discute con todo detalle las diferentes posibilidades. sin embargo, para dicho problema, las ecuaciones diferenciales tampoco son resueltas en general. Hay tambien contribuciones de Sandoval Vallarta, Alfvén y otros pero el problema no ha llegado a resolverse completamente. Casi todos los tratamientos han sido hechos utilizando coordenadas cartesianas y recientemente Martin Brown [6] ha publicado un artículo donde utiliza coordenadas cilíndricas y usando una formulación hamiltoniana, casi todos los tratamientos abordan el problema partiendo de las ecuaciones de Newton. Acerca del problema de dos centros, podemos decir que ha sido tratado por diferentes autores, puede verse el libro de Whittaker [7], para el caso gravitacional; hay una discusión en el libro de Max Born [14], pero en el libro de L. A. Pars [8] hay un tratamiento más amplio sobre este problema; pero el estudio más completo de que tenemos noticia, lo constituyen los trabajos de Tallqvist [9], donde se aborda con todo detalle las diferentes posibilidades. Sin embargo, el problema hasta cierto punto queda explicado cualitativamente porque casi siempre se necesita resolver un polinomio de cuarto grado y no hay una teoría que nos pueda prestar información completa sobre la naturaleza de sus raíces. Nosotros también hemos tenido que dar la vuelta al problema por las mismas razones, a eso se debe el método que se discute a partir de la página 14; más adelante se estudia con mayor cuidado ese método. Hemos discutido el problema, se han encontrado expresiones para la energía, los momentos, además, se tienen las ecuaciones diferenciales para el movimiento. Nos corresponde ahora integrar dichas ecuaciones y en el siguiente capítulo discutiremos el método de integración.