Conjuntos de Cilindros

Sobre el conjunto de configuraciones $\mathcal{C}$, para un bloque finito de estados $b$ fijo y $m \in \mathbb{Z}$, definamos el cilindro $\mathfrak{C}_{m}({b})$ como sigue.

$$\mathfrak{C}_{m}({b})=\{\mathrm{C}\in \mathcal{C}: \mathrm{C}_{[m \ldots m+\left\vert b\right\vert -1]}=b \}.$$ (16)

En otras palabras, $\mathfrak{C}_{m}({b})$ es el conjunto de configuraciones en las cuales el bloque de estados $b$ aparezca empezando en la posición $m$.

Figura: Cilindro $\mathfrak{C}_{-r}({\mathrm{C}_{[-r \ldots r]}})$.

Una primera observación a realizar, es que todo cilindro es abierto ya que para cualquier $\mathrm{C}\in \mathcal{C}$ y $m \in \mathbb{Z}^+$ tenemos:

$$\mathfrak{C}_{-m}({\mathrm{C}_{[-m \ldots m]}})=\mathrm{B}_{(m+1)^{-1}}{(\mathrm{C})}.$$ (17)

probando que el cilindro $\mathfrak{C}_{-m}({\mathrm{C}_{[-m \ldots m]}})$ es abierto pues $\mathrm{B}_{(m+1)^{-1}}{(\mathrm{C})}$ cumple con esto. Por las propiedades de un espacio topológico, sabemos que el complemento de un conjunto abierto es cerrado, y la unión de conjuntos abiertos es abierta por el axioma 2; tomemos el caso más sencillo, para un autómata celular lineal de $k$ estados, tenemos que $\left\vert\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{[0]}})\right\vert =k$, cada uno de estos cilindros cumpliendo con ser abierto. Para cualquier cilindro $\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})$ con $0 \leq i < k$, su complemento en $\mathcal{C}$ lo repre-sentan $k-1$ cilindros cuya unión también es abierta, de aquí que ${\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})}$ sea cerrado, concluyendo que un cilindro es tanto abierto como cerrado.

Dado que con el conjunto de cilindros podemos representar a todo el espacio métrico $\mathcal{C}$ y son conjuntos abiertos, estos constituyen una base para $\mathcal{C}$ [Boy93].

Haciendo uso de los conceptos de convergencia y del conjunto de cilindros describamos dos características importantes que se presentan en el espacio de configuraciones $\mathcal{C}$ de un autómata celular lineal.