Analizando la regla $R(5,7,6,6)$

La regla de evolución $R(5,7,6,6)$ es muy interesante ya que puede reproducir muchas estructuras de Life que son análogas en tres dimensiones, entre estas estructuras se encuentran algunas conocidas como el block, blinkers, algunos still life, el glider de cinco células, entre otros. El grado del polinomio crece rápidamente porque se tiene una célula central y 26 vecinos, entonces si se utilizan reglas de evolución completas tendríamos $2^{2^{27}}$ reglas de evolución y aunque se emplean reglas semitotalísticas se tienen 390,625 posibles reglas de evolución a estudiar, por lo que el número de reglas de evolución a analizar es muy amplio.

El polinomio del campo promedio se calcula de la misma manera como se mostró en la Sección 2.4.1, tomando encuenta que la vecindad de Moore se representa en tres dimensiones y no en el plano. Empleando la Ecuación 3.4.2 el polinomio tiene tres términos originados por $S_{min}=5$, $S_{max}=7$, $N_{min}=6$ y $N_{max}=6$:

$$p_{t+1}=65780p_{t}^{6}q_{t}^{21}+657800p_{t}^{8}q_{t}^{19}+230230p_{t}^{6}q_{t}^{21}$$ (4.3.1)

simplificando se tiene que:

$$p_{t+1}=296010p_{t}^{6}q_{t}^{21}+657800p_{t}^{8}q_{t}^{19}.$$ (4.3.2)

El polinomio de la regla $R(5,7,6,6)$ tiene tres términos, cuando $S_{min}=5$ la variable $v=6$ porque tiene cinco 1's en sus vecinos mas la célula central que seguirá viva en la siguiente generación en la vecindad de Moore en tres dimensiones y $n-v=27-6=21$ donde 21 representa la cantidad de 0's en la vecindad de Moore en tres dimensiones en ese momento. El segundo término representa las combinaciones sin repetición de $S_{max}=7$, donde se tienen 7 vecinos vivos y 26 posibles células a ocupar, la variable $v=8$ porque la célula central está ocupada por el estado 1 en esa configuración y $n-v=27-8=19$. El tercer término está determinado por $N_{min}=6$ donde $v=6$ y $n-v=27-6=21$, en este caso la probabilidad que origina $N_{min}$ es igual a la probabilidad que origina $N_{max}$, por esta razón solo se tiene un término y no dos como pudiera pensarse. En la Figura 4.5 se gráfica el polinomio de la Ecuación 4.3.2.

El procedimiento para gráficar el polinomio es el mismo que se explicó en la Sección 2.4.1, la curva de probabilidad de la Figura 4.5 presenta un rango de células vivas mas estrecho que el de Life en el eje $q$, ésto se debe porque el número de células vivas es menor al número de células muertas en una vecindad mas grande que la que existe en dos dimensiones, nótese que la curva es tangencial a la diagonal. McIntosh en [44] menciona los diferentes tipos de comportamientos que pueden tener las curvas de probabilidad, diciendo que la clase IV podrían ser todas aquellas reglas de evolución que tengan curvas de probabilidad que sean tangenciales a la diagonal.

Figura 4.5: Curva de probabilidad de la regla $R(5,7,6,6)$

En la Figura 4.6 se muestra el comportamiento de los estados en la segunda, tercera y cuarta generación respectivamente, al igual que Life las curvas de probabilidad van acotando la curva sobre el eje $q$ rápidamente en cada generación, esto es fácil de comprobar ya que si ponemos una configuración aleatoria $c_{i}$, la cantidad de 1's decrece muy rápido. Una característica importante es la existencia de un punto fijo inestable aproximandamente en 0.2 que garantiza un comportamiento de densidades no predecible en el espacio, donde pueden formarse configuraciones crecientes, locales, que desaparezcan o que se mantengan igual.

Figura 4.6: Curvas de probabilidad de la regla $R(5,7,6,6)$ segunda, tercera y cuarta generación

El comportamiento de la curva es uniforme con respecto a su punto máximo y no presenta cambios en este punto crítico a través del tiempo, la similitud establecida con Life es que tiene un punto fijo inestable recordemos que Life no tiene puntos fijos estables, la probabilidad de tener 1's se va acotando en cada generación al igual que Life y el comportamiento de la curva se conserva a través del tiempo al igual que Life.