Analizando la regla $R(4,5,5,5)$

La regla de evolución $R(4,5,5,5)$ estudiada por Bays en [2], muestra estructuras muy interesantes que son independientes de las que produce la regla $R(5,6,7,7)$, sus gliders y configuraciones periódicas fijas son de construcción diferente y se producen de manera natural, además de que no son análogas en dos dimensiones. Esto originó un interés especial que nos lleva a realizar el estudio probabilístico para saber como se comporta la regla de evolución y que relación existe con Life. Probando con varias configuraciones aleatorias se puede ver que el comportamiento de las células es similar al de la regla $R(5,6,7,7)$, se estaciona rápidamente pero no desaparece por completo porque produce muchas estructuras periódicas fijas y still life.

La regla de evolución $R(4,5,5,5)$ en primera instancia puede ser vista como la sucesora lógica de Life, si se suma la ordenada $z$ a la regla Life se tiene que $R(2+2,3+2,3+2,3+2)$ produce la regla de evolución en tres dimensiones $R(4,5,5,5)$, pues el eje $z$ está en el espacio $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$ lo que implica la existencia de planos: $z^{+}$ y $z^{-}$. Los valores de las variables $S_{min}=4$, $S_{max}=5$, $N_{min}=5$ y $N_{max}=5$, determinan los coeficientes y los exponentes del polinomio del campo promedio que queda como:

$$p_{t+1}=14950p_{t}^{5}q_{t}^{22}+65780p_{t}^{6}q_{t}^{21}+65780p_{t}^{5}q_{t}^{22}$$ (4.3.3)

simplicando se tiene:

$$p_{t+1}=80730p_{t}^{5}q_{t}^{22}+65780p_{t}^{6}q_{t}^{21}.$$ (4.3.4)

Nótese que los términos del polinomio de la Ecuación 4.3.4 son análogos a los de la Ecuación 3.4.5 que representa a Life. La gráfica de probabilidad del polinomio de la Ecuación 4.3.4 queda de la siguiente manera:

Figura 4.7: Curva de probabilidad de la regla $R(4,5,5,5)$

la gráfica de la Figura 4.7 muestra un acotamiento de la probabilidad promedio necesaria para la existencia del estado 1, existe un punto fijo inestable aproximadamente en 0.1 y un punto fijo estable en aproximadamente 0.22, la primera diferencia con respecto a la regla Life es la existencia de un punto fijo estable que no existe en Life.

La curva de probabilidad de la Figura 4.7 muestra que la probabilidad de tener 1's en el espacio $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$ en la siguiente generación no es tan alto como la que representa Life, ésto se debe porque la ordenada $z$ en el espacio tridimensional implica mas vecinos en la vecindad y menos células vivas que determinen mas población en la misma vecindad, consecuentemente la densidad poblacional es mas baja que la de Life, tal como se mostró para la regla $R(5,7,6,6)$.

Se evoluciono esta regla de evolución con varias configuraciones aleatorias de diferente orden, observadando que no desaparece por completo rápidamente y tampoco llena el espacio de puros 1's, mostrando la existencia de algunos blinkers, still life y gliders que son diferentes de la regla $R(5,7,6,6)$.

La curva de probabilidad de la Figura 4.7 en sus extremos inferiores sobre el eje $q$ muestra el mismo comportamiento que la regla $R(5,7,6,6)$ y $R(2,3,3,3)$, se puede notar que la densidad poblacional promedio en tres dimensiones es menor que la que existe en dos dimensiones.

Figura 4.8: Curvas de probabilidad de la regla $R(4,5,5,5)$ segunda, tercera, cuarta y quinta generación

La Figura 4.8 muestra las curvas de probabilidad de los polinomios del campo promedio para la segunda, tercera, cuarta y quinta generación respectivamente.

Nótese que existen puntos fijos estables tangenciales a la diagonal y puntos fijos inestables alternandose de generación en generación pares e impares a partir de la segunda generación. En primera instancia se tienen varios puntos máximos y mínimos por generación lo que implica inestabilidad en la densidad promedio de células vivas que se encuentran en el espacio de evoluciones, también nótese que la cantidad de estos puntos máximos y mínimos va aumentando conforme se calculan mas generaciones. Es muy interesante ver que esta regla de evolución aunque no tiene una densidad promedio en su curva de probabilidad y tiene un punto fijo inestable, presenta características muy similares a Life a nivel de simulación, Bays reporta esta regla en [2] ilustrando algunos gliders que ha descubierto y configuraciones muy interesantes que la regla produce en el espacio de evoluciones, aunque no reporta la existencia de un glider gun o un mega flip-flop.

Las curvas de probabilidad de la Figura 4.8 al igual que la regla de evolución $R(5,7,6,6)$ y la regla Life van acontando la densidad promedio en el eje $q$ en cada generación, pero la diferencia principal que tiene con respecto a Life es la existencia de varios puntos máximos y mínimos que se encuentran en el intervalo de la densidad promedio de la curva, por lo tanto esta regla de evolución aunque puede soportar comportamientos complejos no muestra una densidad promedio al límite como la regla $R(5,7,6,6)$ y tampoco como la regla Life.