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Entropía temporal

Es posible definir una entropía temporal; esta entropía en el transcurso del tiempo proporciona información acerca de una secuencia de los estados que son tomados por una célula en particular, después de muchos pasos en la evolución del autómata celular.

Es necesario contar con la probabilidad de que una secuencia de longitud T ocurra, dentro de un espacio de posibles secuencias de la misma longitud. Y esto es posible asignando una probabilidad de acuerdo al número de ocurrencias de una misma secuencia en todas las secuencias que se observaron.

De esta manera será la probabilidad de ocurrencia de la secuencia i dentro de todas las posibles secuencias de estados asignados a una célula en T pasos de tiempo sucesivos.

Se define una entropía de conjunto ``temporal'' análoga a (8):

 

También, y con analogía a la definición de la medida de entropía ``espacial'' etiquetada con (9), se define una medida de entropía ``temporal'' como sigue:

 

Para ilustrar el uso de estas nuevas entropías tomemos una secuencia aleatoria, al aplicar una regla (aquí se usa la regla 90, escogida arbitrariamente) y obtener algunas configuraciones globales, es posible estudiar el grado de caos que presenta a lo largo de su historia.

De nuevo, los valores de estados que se muestran a los extremos, indican unicamente que las condiciones de la frontera son periódicas.

 
Figura 6: La zona sombreada en sentido horizontal muestra el espacio sobre el cual se define la entropía ``espacial'', y la zona sombreada en sentido vertical muestra el espacio en el cual esta definida la entropía ``temporal''.

La regla 90 en un autómata celular (2,1) es:


Tomando una configuración inicial (arbitraria) =0100110011 y haciendo evolucionar el autómata durante 7 generaciones, se tiene:

.- 1] 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 [0

.- 1] 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 [0

.- 1] 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 [1

.- 1] 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 [0

.- 1] 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 [1

.- 0] 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 [0

.- 0] 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 [0

Ahora, la entropía de conjunto ``temporal'' es, de acuerdo a la 10:


Donde es 10/128 para cada configuración que aparece en la evolución, y 0 para las que no aparecen.

El resultado anterior refleja un nivel de entropía medio, lo que hace pensar que al transcurrir T pasos en la evolución aproximadamente la mitad de las configuraciones podrían ocurrir.

La medida de entropía es según (11):


En general, la entropía de conjunto, y la medida de entropía aportan información para estimar de una manera aproximada (hay que recordar que se tratan de probabilidades de ocurrencia) la proporción del número de secuencias que pueden ocurrir.

A medidas de entropía mayor, ocurren más secuencias. Medidas de entropía menores significa que aparecen menos secuencias, todas ellas dentro del espacio invariante de todas las secuencias posibles del tamaño que se ha decidido medir.



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A. Cáceres González
acaceres@alpha.cs.cinvestav.mx
abdiel@dacb.ujat.mx