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Aplicaciones diferenciables

Teorema 2.1   Sean $M$, $N$ variedades $C^k$ y $\varphi$ una aplicación $M \to N$. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. $\varphi$ es continua en un punto $m \in M$.
2. Para todo mapa admisible $(V, y)$ de $N$ en el punto $\varphi(m)$ existe un mapa admisible $(U,x)$ de $M$ en el punto $m$ tal que:
   
   $$\varphi(U) \subset V$$
   
   

Demostración
Basta probar la afirmación siguiente:

Si $M$ es una variedad $C^k$ y $m \in M$, las vecindades abiertas $U$ de $m$ en $M$, tales que existe un mapa admisible $(U,x)$ de $M$, constituyen un sistema fundamental de vecindades de $m$.

Sea, pues, $W$ una vecindad abierta arbitraria de $m$. Sea $(Z,x^\prime)$ un mapa admisible de $M$ en $m$. Pongamos $U = \colon Z \cap W$ y $x = x^\prime \vert _U$. Claramente $(U,x)$ es un mapa admisible de $M$ en $m$ tal que $U \subset W$. $\quad\Box$

Definición 2.1   Sean $M$, $N$ variedades $C^k$ y $\varphi$ una aplicación $M \to N$. Se dice que la aplicación $\varphi$ es DIFERENCIABLE EN UN PUNTO $m \in M$ si existen mapas admisibles $(U,x)$ de $M$ en $m$, $(V, y)$ de $N$ en $\varphi(m)$ tales que $\varphi (U) \subset V$ y la aplicación:

$$\tilde{\varphi}= \colon y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$$

es diferenciables C.D. en el punto $x(m) \in x(U)$.

Informalmente se dice que la aplicación:

$$\fbox{${\displaystyle \tilde{\varphi} = y \circ \varphi \circ x^{-1}}$}$$

es ``la aplicación $\varphi$ LE´iDA EN LOS MAPAS admisibles $(U,x)$ y $(V, y)$''.

Teorema 2.2   Si la aplicación $\varphi \colon M \to N$ es diferenciable en un punto $m \in M$, $\varphi$ es continua en $m$.

Demostración
Con las notaciones de la definición 5.2.1, la aplicación $\tilde \varphi$ diferenciable C.D. en el punto $x(m)$ del abierto $x(U)$ de un espacio vectorial real es continua en él en virtud del teorema 4.3.2. La aplicación $\varphi$ restringida a $U$ puede escribirse:

$$\varphi = y^{-1} \circ \tilde{\varphi} \circ x$$ (1)

$\tilde \varphi$ manda el punto $x(m)$ sobre $y (\varphi (m))$ y la aplicación $y^{-1}$ manda ésta sobre $\varphi(m)$. Ya que $x$ es continua en $m$, $\tilde \varphi$ en $x(m)$ e $y^{-1}$ en $y (\varphi (m))$, se sigue de (1) que $\varphi$ es continua en $m$. $\quad\Box$

La definición 5.2.1 es manejable merced al:

Teorema 2.3   Si $\varphi \colon M \to N$ es una aplicación diferenciable en un punto $m \in M$, para todo par de mapas admisibles $(U^\prime , x^\prime)$ de $M$ en m, $(V^\prime, y^\prime)$ de $N$ en $\varphi(m)$, tales que $\varphi( U^\prime) \subset V^\prime$; la aplicación $y^\prime \circ \varphi \circ x^{\prime \, -1} \colon x^\prime (U^\prime) \to y^\prime (V^\prime)$ (o sea la aplicación $\varphi$ leída en dichos mapas) es diferenciable C.D. en el punto $x^\prime (m) \in x^\prime (U^\prime)$.

Demostración
Sean $(U,x),\, (V,y)$ mapas admisibles como en la definición 5.2.1. Por hipótesis la aplicación $\tilde{\varphi} = y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$ de $x(U)$. Sean ahora $(U^\prime , x^\prime)$, $(V^\prime, y^\prime)$ mapas admisibles de sendas variedades $M$, $N$ en sendos puntos $m$, $\varphi(m)$ tales que $\varphi(U^\prime) \subset V^\prime.$ Restringiendo $x, \, x^\prime,\, \varphi$ a $U \cap U^\prime$ y $\tilde \varphi$ a $x(U \cap U^\prime)$ podemos escribir:

$$y^\prime \circ \varphi \circ x^{\prime \, -1} = ( y^\prime \circ y^{-1} ) \circ (y \circ \varphi \circ x^{-1}) \circ (x \circ x^{\prime \, -1})$$

$$= ( y^\prime \circ y^{-1} ) \circ \tilde{ \varphi} \circ (x \circ x^{\prime \, -1})$$ (2)

El cambio de mapa $x \circ x^{\prime\, -1}$ es un isomorfismo $C^k$ de $x^\prime (U \cap U^\prime)$ sobre $x(U \cap U^\prime)$ en particular es diferenciable C.D. en el punto $x^\prime (m)$ el cual manda sobre $x(m)$.

$\tilde \varphi$ como ya se ha dicho, es diferenciable C.D. en $x(m)$ y manda $x(m)$ sobre $y (\varphi (m))$. A su vez el cambio de mapa $y^\prime \circ y^{-1} \colon y(V \cap V^\prime) \to y^\prime (V \cap V^\prime)$ es un isomorfismo $C^k$ de $y(V \cap V^\prime)$ sobre $y^\prime (V \cap V^\prime)$, en particular es diferenciable C.D. en el punto $y (\varphi (m))$ y lo manda sobre $\varphi(m)$.

En virtud del teorema 4.4.4, la relación (2) entraña que $y^\prime \circ \varphi \circ x^{\prime \, -1}$ es diferenciable C.D. en el punto $x^\prime (m)$. $\quad\Box$

Observación (Permanencia de la definición)

Notamos que si $\Omega$ es un abierto de ${{\mathbb{R}}}^n$, $\Omega$ provisto del atlas admisible reducido al solo mapa $( \Omega, {\cal I}_\Omega )$, donde ${\cal I}_\Omega$ es la aplicación idéntica de $\Omega$, constituye una variedad $C^\infty$ de dimensión $n$. Es una subvariedad abierta de ${{\mathbb{R}}}^n$, provisto éste del atlas admisible reducido al mapa $({{\mathbb{R}}}^n, {\cal I}_{{{\mathbb{R}}}^n} )$.

Esta estructura de variedad $C^\infty$ sobre $\Omega$ se llama la ESTRUCTURA NATURAL de variedad $C^\infty$ sobre $\Omega$. A menos de una indicación contraria, será la única considerada sobre el abierto $\Omega$ de ${{\mathbb{R}}}^n$.

Sean ahora $U$ un abierto de ${{\mathbb{R}}}^n$, $V$ un abierto de ${{\mathbb{R}}}^m$ y $\varphi$ una aplicación $U \to V$. $\varphi$ leída en los mapas $(U, {\cal I}_U)$ y $(V, {\cal I}_V)$ coincide con la propia $\varphi$. Así pues,:

$\varphi$ es diferenciable en un punto $m \in U$ según la definición 5.2.1 si y sólo si $\varphi$ es diferenciable C.D. en m.

Para el caso más general de aplicaciones entre abiertos de espacios afines vea el siguiente §3.

Teorema 2.4  

1. Si $M$ es una variedad $C^k$, la identidad ${\cal I}_M$ es diferenciable en todo punto de $M$.
2. Sean $M$, $N$, $P$ variedades $C^k$, $\varphi$ una aplicación $M \to N$ y $\psi$ una aplicación $N \to P$. Si $\varphi$ es diferenciable en un punto $m \in M$ y $\psi$ es diferenciable en el punto $\varphi (m) \in N$, la aplicación compuesta $\psi\circ \varphi$ es diferenciable en el punto $m$.

Demostración

1. Sean $M$ una variedad $C^k$, $m$ un punto arbitrario de $M$ y $(U,x)$ un mapa admisible de $M$ en el punto $m$. La aplicación idéntica ${\cal I}_M$ leída en este mapa es:
   
   $$x \circ {\cal I}_M \circ x^{-1} = x \circ x^{-1} = {\cal I}_{x(U)} \;, \mbox{la identidad de} \; x(U)$$
   
   
   Por el caso particular del teorema 4.34 ${\cal I}_{x(U)}$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$. Luego ${\cal I}_M$ es diferenciable en $m$.
2. Sean $M$, $N$, $P$ variedades $C^k$, $\varphi \colon M \to N$ una aplicación diferenciable en un punto $m \in M$, $\psi \colon N \to P$ una aplicación diferenciable en el punto $\varphi (m) \in N$. Sean $(U,x)$, $(V, y)$, $(W,z)$ mapas admisibles de sendas variedades $M$, $N$, $P$ en sendos puntos $m$, $\varphi(m)$, $\psi ( \varphi (m))$ tales que:
   
   $$\psi (U) \subset V \quad\mbox{y} \quad \psi(V) \subset W$$
   
   
   Por hipótesis la aplicación $\tilde{\varphi} = y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$ y vale $\tilde{\varphi}(x(m)) = y(\varphi (m))$. La aplicación $\tilde{\psi} = z \circ \psi \circ y^{-1} \colon y(V) \to z(W)$ es diferenciable C.D. en el punto $y (\varphi (m))$ y $\tilde{\psi} (y(\varphi(m)) = z(\psi (m))$. De ahí se sigue, por el teorema 4.4.4, que $\tilde{\psi} \circ \tilde{\varphi} \colon x(U) \to z(W)$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m) \in x(U)$.

   Pero ${\tilde \psi} \circ \tilde{\varphi} = ( z \circ \psi \circ y^{-1})\circ (y \circ \varphi \circ x^{-1}) = z\circ (\psi \circ \varphi) \circ x^{-1}$.

   Así pues, $\psi\circ \varphi$ leída en los mapas $(U,x)$ y $(W,z)$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$. Esto significa que $\psi\circ \varphi$ es diferenciable en el punto $m \in M$. $\quad\Box$

Nota
Para aplicaciones de una variedad $C^k$ en otra hemos definido el concepto de diferenciabilidad en un punto, pero todavía no aquél de diferencial. Para formular una definición de ésta, análoga a la que tenemos en espacios afines, necesitamos la noción previa de vectores tangentes en un punto de una variedad $C^k$. Será introducida en el capítulo 6.

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