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Dentro del marco de nuestro curso, un espacio afín normado de dimensión infinita
no es una variedad diferenciable.
Sin embargo, imitando la definición 5.2.1, podemos formular la:
Definición 2.2
Sean
una variedad
y
una aplicación de
en un espacio afín
normado
. Se dice que la aplicación
es DIFERENCIABLE EN UN PUNTO
de
, si existe un mapa admisible
de
en
tal que la aplicación
es diferenciable C.D. en el punto
.
Esta definición es manejable gracias al:
Teorema 2.5
Si, con las notaciones de la definición 5.2.2 la aplicación
es diferenciable en el punto
, para todo mapa admisible
de
la variedad
en el punto
la aplicación
es diferenciable C.D. en el punto
.
Demostración
La demostración es parecida a la del teorema 5.2.3 pero más simple. Restringiendo
la aplicación
a la vecindad abierta
del
punto
podemos escribir:
 |
(3) |
El cambio de mapa
es
de clase
a fortiori diferenciable C.D. en el punto
. Por hipótesis
es diferenciable C.D. en
. De (3) y el
teorema 4.4.4, se sigue que
es también diferenciable C.D. en el punto
.
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Guillermo M. Luna
2009-06-14