Siguiente: Diferenciabilidad de funciones reales Arriba: Aplicaciones diferenciables Anterior: Aplicaciones diferenciables

Diferenciabilidad de una aplicación de una variedad diferenciable en un espacio afín normado

Dentro del marco de nuestro curso, un espacio afín normado de dimensión infinita no es una variedad diferenciable. Sin embargo, imitando la definición 5.2.1, podemos formular la:

Definición 2.2   Sean $M$ una variedad $C^k$ y $\varphi$ una aplicación de $M$ en un espacio afín normado $\cal E$. Se dice que la aplicación $\varphi$ es DIFERENCIABLE EN UN PUNTO $m$ de $M$, si existe un mapa admisible $(U,x)$ de $M$ en $m$ tal que la aplicación $\varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to \cal E$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m) \in x(U)$.

Esta definición es manejable gracias al:

Teorema 2.5   Si, con las notaciones de la definición 5.2.2 la aplicación $\varphi$ es diferenciable en el punto $m \in M$, para todo mapa admisible $(U^\prime , x^\prime)$ de la variedad $M$ en el punto $m$ la aplicación $\varphi \circ x^{\prime \, -1 } \colon x^\prime (U^\prime) \to \cal E$ es diferenciable C.D. en el punto $x^\prime (m)$.

Demostración
La demostración es parecida a la del teorema 5.2.3 pero más simple. Restringiendo la aplicación $\varphi \circ x^{\prime \, -1}$ a la vecindad abierta $x^\prime (U \cap U^\prime)$ del punto $x^\prime (m) \in x^\prime (U^\prime)$ podemos escribir:

$$\varphi \circ x^{\prime \, -1} = (\varphi \circ x^{-1} ) \circ (x \circ x^{\prime \, -1})$$ (3)

El cambio de mapa $x \circ x^{\prime \, -1} \colon x^\prime (U \cap U^\prime) \to x(U \cap U^\prime)$ es de clase $C^k$ a fortiori diferenciable C.D. en el punto $x^\prime (m)$. Por hipótesis $\varphi \circ x^{-1}$ es diferenciable C.D. en $x(m)$. De (3) y el teorema 4.4.4, se sigue que $\varphi \circ x^{\prime \, -1}$ es también diferenciable C.D. en el punto $x^\prime (m)$. $\quad\Box$

Siguiente: Diferenciabilidad de funciones reales Arriba: Aplicaciones diferenciables Anterior: Aplicaciones diferenciables