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Diferenciabilidad de funciones reales

Teorema 2.6   Sean $M$ una variedad $C^k$ y $f$, $g$ funciones $M \to {\mathbb{R}}$.

1. Si $f,\, g$ son diferenciables en un punto $m \in M$, entonces para todos $\alpha, \beta \in {\mathbb{R}}$, la función $\alpha f + \beta g$ es diferenciable en el punto $m$.
2. Si $f,\, g$ son diferenciables en $m$, la función $fg$ es diferenciable en $m$.
3. Si $g$ es continua en $m$ mientras $f$ es diferenciable en $m$ y cumple $f(m) =0$, la función $fg$ es diferenciable en $m$.

Demostración
Sea $(U,x)$ un mapa admisible de la variedad $M$ en el punto $m$. En ${\mathbb{R}}$ usamos el único mapa admisible $({\mathbb{R}}, {\cal I}_{{\mathbb{R}}})$.

Si $h$ es una función $M \to {\mathbb{R}}$, $h$ leída en los mapas considerados es la función $h \circ x^{-1} \colon x(U) \to {\mathbb{R}}$, $h$ será, pues, diferenciable en el punto $m \in M$ si y sólo si $h \circ x^{-1}$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m) \in x(U)$.

1. Supongamos $f$ y $g$ diferenciables en el punto $m \in M$, vale decir $f \circ x^{-1}$ y $g \circ x^{-1}$ diferenciables C.D. en el punto $x(m) \in x(U)$.

   Por el teorema 4.3.5, $\forall \, \alpha,\, \beta \in {\mathbb{R}}$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$, la función:
   

   $$\alpha (f \circ x^{-1}) + \beta ( g \circ x^{-1}) = ( \alpha f + \beta g) \circ x^{-1}$$
   
   
   es decir, la función $\alpha f + \beta g$ es diferenciable en el punto $m$.
2. Adoptemos la hipótesis del inciso a). Por el teorema 4.3.5, es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$, la función:
   
   $$( f \circ x^{-1} ) ( g \circ x^{-1}) = (fg) \circ x^{-1}$$
   
   
   Por lo tanto, $fg$ es diferenciable en el punto $m$.
3. Supongamos finalmente $g$ continua en $m$, $f(m) =0$ y $f$ diferenciable en $m$.

   Estas hipótesis equivalen a que $g \circ x^{-1}$ es continua en el punto $x(m)$, $f \circ x^{-1}$ se anula en dicho punto $x(m)$ y es diferenciable C.D. en él.

   Por el teorema 4.3.5, la función:
   

   $$( f \circ x^{-1} ) ( g \circ x^{-1}) = (fg) \circ x^{-1}$$
   
   
   es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$. Equivalentemente, $fg$ es diferenciable en el punto $m$. $\quad\Box$

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