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Diferenciales de funciones reales

Teorema 3.5   Sean $\cal E$ un espacio afín normado, $\cal S$ un subconjunto de $\cal E$ y m un punto interior de $\cal S$. Consideremos dos funciones $f,\, g \colon {\cal S} \to {\mathbb{R}}$.

1. Si $f,g$ son diferenciables en el punto $m$, es también diferenciable en el punto $m$ la función $\alpha f + \beta g \;\; \forall \, \alpha,\, \beta \in {\mathbb{R}}$ y vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle d (\alpha f + \beta g) (m) = \alpha df(m) + \beta dg(m)}$}$$
   
   

2. Si $f,g$ son diferenciables en el punto $m$, también es diferenciable en $m$ la función $fg$ y vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle d (f g) (m) = g(m) df(m) + f(m) dg(m)}$}$$
   
   

3. Si $f$ es diferenciable en $m$, vale $f(m) =0$ y además $g$ es continua en $m$, la función $fg$ es diferenciable en $m$ y tenemos:
   
   $$\fbox{${\displaystyle d (f g) (m) = g(m) df(m)}$}$$
   
   

Demostración

1. Supongamos las funciones $f$ y $g$ diferenciables en $m$. Escribamos para ellas las relaciones (7) de la observación 1, después del teorema 4.3.1:
   

   $$f(m+ \vec u) = f(m) + df(m) \vec u + \Vert \vec u \Vert \theta (\vec u)$$ (15)

   $$g(m+ \vec u) = g(m) + dg(m) \vec u + \Vert \vec u \Vert \eta (\vec u)$$ (16)

   
   
   donde $\theta$ y $\eta \colon -m + {\cal S} \to {\mathbb{R}}$ satisfacen:
   

   $$\lim_{\vec u \to 0} \theta (\vec u) = \lim_{\vec u \to 0} \eta(\vec u) =0$$ (17)

   
   
   Al combinar linealmente (15) y (16) obtenemos:
   

   $$(\alpha f + \beta g) (m+ \vec u) = (\alpha f + \beta g ) (m) + \left( \alpha df(m) + \beta dg(m) \right) \vec u$$

   $$= \Vert \vec u \Vert \left( \theta (\vec u ) + \eta (\vec u) \right)$$ (18)

   
   
   Aquí $\alpha\, df(m) + \beta\, dg(m)$ es una aplicación lineal continua $E \to {\mathbb{R}}$ (o sea, una forma lineal continua sobre $E$, elemento del dual topológico $E^\triangle$) y se cumple también ${\displaystyle \lim_{\vec u \to 0} \left( \theta(\vec u) + \eta (\vec u) \right) =0}$. La relación (18) es, pues, de tipo (7). Muestra que $\alpha f + \beta g$ es diferenciable en $m$ y
   
   $$d(\alpha f + \beta g) (m) = \alpha\, df(m) + \beta\, dg(m).$$
   
   

2. Supongamos de nuevo que $f$ y $g$ son diferenciables en $m$ y usemos otra vez las relaciones (15) y (16). Al multiplicar éstas miembro por miembro, conseguimos:
   

   $$\left(fg\right)(m+ \vec u) = \left(fg \right) (m) + \left( g(m) df(m) + f(m) dg(m) \right) \vec u$$

   $$+ \left( df(m) \vec u \right) \left( dg(m) \vec u \right)$$

   $$+ \Vert \vec u \Vert \left( g(m) \theta (\vec u) + f(m) \eta (\vec u) \right)$$

   $$+ \Vert \vec u \Vert \left( dg(m) \vec u \cdot \theta (\vec u) + df(m) \vec u \cdot \eta (\vec u) \right)$$

   $$+ \Vert \vec u \Vert^2 ( \theta(\vec u) \cdot \eta (\vec u) )$$ (19)

   
   
   Aquí $g(m) df(m) + f(m)dg(m)$ es, de nuevo, una forma lineal continua sobre $E$, elemento de $E^\triangle$. Resta probar que las funciones:
   $$\begin{eqnarray*} \mbox{{\em i})}&& \vec u \mapsto (df(m) \vec u) (dg(m) \vec u)... ... \mapsto \Vert \vec u \Vert^2 \theta (\vec u) \cdot \eta(\vec u) \end{eqnarray*}$$
   
   
   son, como se dice ``$o(\vec u)$'' es decir que, divididas por $\Vert \vec u \Vert$ tienden a cero cuando $\vec u \to 0$.

   Por la fórmula (6) en las definiciones 4.2.3, la función i) se mayora mediante:

   $$\begin{eqnarray*} \Bigm\vert \left( df(m) \vec u \right) \left( dg(m) \vec u\rig... ... \Vert \vec u \Vert^2 \Vert df(m) \Vert \cdot \Vert dg(m) \Vert \end{eqnarray*}$$
   
   
   donde en los dos últimos factores las normas son aquellas sobre $E^\triangle$. Esta mayoración implica que la función i) es $o(\vec u)$.

   La función ii) es $o(\vec u)$, pues el factor de $\Vert \vec u \Vert$ tiende a cero para $\vec u \to 0$ debido a (17). También el factor de $\Vert \vec u \Vert$ en iii) tiende a cero por (17) y por ser también
   

   $$\lim_{\vec u \to 0} dg(m) \vec u = \lim_{\vec u \to 0} df(m) \vec u=0.$$
   
   
   Lo último resulta de que $dg(m)$ y $df(m)$ son formas lineales continuas.

   Es obvio, por fin, que la función iv) es $o(\vec u)$.

   La afirmación b) queda, pues, demostrada.

3. Supongamos que $f$ es diferenciable en $m$, que $f(m) =0$ y que $g$ es continua en $m$. Por ser $f(m) =0$, la relación (15) se reduce a:
   

   $$f(m+ \vec u) = df(m) \vec u + \Vert \vec u \Vert \theta (\vec u)$$ (20)

   
   
   Ya que $g$ es continua en $m$, podemos escribir también:
   

   $$g(m+ \vec u) = g(m) + \zeta(\vec u)$$ (21)

   
   
   donde ${\displaystyle \lim_{\vec u \to 0} \zeta(\vec u)=0}$. Multiplicando miembro por miembro las relaciones (20) y (21) conseguimos:
   $$\begin{eqnarray*} f(m+ \vec u) \cdot g(m+ \vec u) &=& g(m) df(m) \vec u + \Vert ... ... \zeta (\vec u) \right) \\ && + (df(m) \vec u) \, \zeta (\vec u) \end{eqnarray*}$$
   
   
   lo que, de nuevo debido a $f(m) =0$, puede escribirse como:
   

   $$f(m+ \vec u) \cdot g(m+ \vec u) = f(m)g(m) + g(m) df(m) \vec u$$

   $$+ \Vert \vec u \Vert \theta (\vec u ) \left( g(m) + \zeta (\vec u) \right)$$

   $$+ (df(m) \vec u) \, \zeta (\vec u)$$ (22)

   
   
   Aquí $g(m) df(m) \in E^\triangle$. Basta probar que las funciones:
   $$\begin{eqnarray*} \mbox{{\em v})} && \vec u \mapsto \Vert \vec u \Vert \theta (\... ...\mbox{{\em vi})} && \vec u \mapsto (df(m) \vec u) \zeta (\vec u) \end{eqnarray*}$$
   
   
   son $o(\vec u)$.

   Para la función v) esto se sigue de que:
   

   $$\lim_{\vec u \to 0}\theta (\vec u) =0\quad\mbox{ y }\quad \lim_{\vec u \to 0} (g(m) + \zeta(\vec u)) = g(m)$$
   
   
   de donde ${\displaystyle \lim_{\vec u \to 0} \theta (\vec u) \cdot (g(m) + \zeta(\vec u)) =0}$.

   Para la función vi) esto se desprende de la mayoración:
   

   $$\Bigm\vert \left( df(m) \vec u)\right) \zeta (\vec u) \Bigm\v... ...vec u \Vert \, \Vert df(m) \Vert \, \vert \zeta (\vec u) \vert$$
   
   
   y de que ${\displaystyle \lim_{\vec u \to 0} \zeta(\vec u)=0}$.

   La relación (22) demuestra, pues, la verdad del enunciado c) y concluye la prueba del teorema. $\quad\Box$

Del teorema 4.3.5 y de la observación 2 después del teorema 4.3.1 resulta sin más:

Teorema 3.6   Sean $\cal E$ un espacio afín normado sobre un espacio vectorial $E$, $\cal S$ un subconjunto de $\cal E$ y m un punto interior de $\cal S$. Sean $f,\, g$ funciones ${\cal S} \to {\mathbb{R}}$.

1. Si $f$ y $g$ son diferenciables en el punto $m$, se tiene $\forall \, \alpha,\, \beta \in {\mathbb{R}}$ y $\forall \, \vec u \in E$:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u} \left( \alpha f + \be... ...\alpha \partial_{\vec u} f(m) + \beta \partial_{\vec u} g(m)}$}$$
   
   

2. Si $f$ y $g$ son diferenciables en el punto $m$, se tiene $\forall \, \vec u \in E$:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u} \left( f g \right) (m) = g(m) \partial_{\vec u} f(m) + f(m) \partial_{\vec u} g(m)}$}$$
   
   

3. Si $f$ es diferenciable en $m$ y satisface $df(m)=0$ y además $g$ es continua en $m$, vale $\forall \, \vec u \in E$:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u} \left( f g \right) (m) = g(m) \partial_{\vec u} f(m)}$}$$
   
   

Caso particular del teorema 4.3.6

Al tomar en el teorema 4.3.6: ${\cal E} = {\mathbb{R}}$ y $\vec u =1 \in {\mathbb{R}}$ se tiene el enunciado siguiente: Sean $\cal S$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}$ y $t$ un punto interior de $\cal S$. Sean $f,g$ funciones ${\cal S} \to R$.

1. Si $f,g$ son funciones derivables en el punto $t$, también $\forall \, \alpha,\, \beta \in {\mathbb{R}}$ la función $\alpha f + \beta g$ es derivable en t y vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (\alpha f+ \beta g)^\prime (t) = \alpha f^\prime (t) + \beta g^\prime (t)}$}$$
   
   

2. Si $f,g$ son derivables en $t$, $fg$ es derivable en t y vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (fg)^\prime (t) = f(t) \,g^\prime (t) + g(t)\,f^\prime (t)}$}$$
   
   

3. Si $f$ es derivable en $t$, cumple $f(t)=0$ y además g es continua en t, es también derivable en t la función $fg$ y vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (fg)^\prime (t) = g(t)\,f^\prime (t)}$}$$
   
   

Nota
Los resultados a) y b) del teorema 4.3.5 y sus equivalentes a) y b) del teorema 4.3.6 son clásicos. Aunque sean muy simples por probar, no es así de los correspondientes enunciados c) y ni siquiera de su caso particular cuando ${\cal E} = {\mathbb{R}}$. Al parecer, su importancia fue reconocida solamente en el año 1975 por H. G. Ellis. Son un ingrediente esencial en su teoría de espacios vectoriales tangentes. Para más sobre el trabajo de Ellis y algunos datos históricos vea la nota después del teorema 6.1.6 en el capítulo 6.

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