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Elementos homogéneos del álgebra G

$\forall \, H \subset [\![ 1,n ]\!]$, designaremos por $\vert H\vert$ la cardinalidad (número de elementos) del conjunto $H$. $\forall p \in [\![ 0,n ]\!]$ llamaremos provisionalmente $\mbox{{\sf G}}^{(p)}$ al subespacio vectorial de G engendrado por la subfamilia $\left( {\overline{e}}_H \right)_{\vert H\vert=p}$ de la base $\left( {\overline{e}}_H \right)_{H\subset [\![ 1,n ]\!]}$ de G. La cardinalidad de dicha subfamilia es $${n \choose p}$$, luego:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }{\sf G}^{(p)} = {n \choose p} }$}$$

Un elemento $\overline{x}$ de G se dice ELEMENTO HOMOGÉNEO si existe $p \in [\![ 0,n ]\!]$ tal que $\overline{x} \in \mbox{\sf G}^{(p)}$. Más específicamente, tal elemento se dice ELEMENTO HOMOGÉNEO DE GRADO $p$ o -VECTOR. (Si $p=2$ se dice BIVECTOR, si $p=3$ se dice TRIVECTOR, etc.).

Claramente el espacio vectorial G es la suma directa de los subespacios $\mbox{\sf G}^{(p)}$ para $p \in [\![ 0,n ]\!]$:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\sf G} = \bigoplus_{p=0}^n \, \mbox{\sf G}^{(p)}}$}$$

Convendremos también en poner:

Observación
Se desprende, por ejemplo, de la tabla de multiplicación la implicación:

$$\fbox{${\displaystyle \overline{x} \in \mbox{\sf G}^{(p)},\, ... ...ow \overline{x}\wedge \overline{y} \in \mbox{\sf G}^{(p+q)} }$}$$

Brevemente (para elementos homogéneos no nulos):

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm gr }( \overline{x}\wedge\over... ...= \mbox{\rm gr } \overline{x} + \mbox{\rm gr } \overline{y} }$}$$

Aquí ``gr'' significa ``grado''.