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Identificación del subespacio $\mbox{\sf G}^{(0)}$ con el cuerpo ${\mathbb{K}}$

Ya que $\mbox{\rm dim }{\sf G}^{(0)} = \mbox{\rm dim }{\mathbb{K}}=1$, ${\sf G}^{(0)}$ y ${\mathbb{K}}$ considerados como espacios vectoriales sobre ${\mathbb{K}}$ son isomorfos. Más precisamente la aplicación $\alpha \mapsto \alpha \overline{e}_\emptyset$ es un isomorfismo natural (o ``canónico'') de ${\mathbb{K}}$ sobre el subespacio $\mbox{\sf G}^{(0)}$ de G. (la ``naturalidad'' de dicho isomorfismo resulta de que $\overline{e}_\emptyset$ es el ele-menelemento uno del álgebra G).

Mediante dicho isomorfismo convenimos una vez para siempre en identificar $\mbox{\sf G}^{(0)}$ con ${\mathbb{K}}$. Escribimos pues $\alpha$ en vez de $\alpha \overline{e}_\emptyset \; \forall \, \alpha \in {\mathbb{K}}$.

La regla $\alpha \overline{e}_\emptyset \wedge \beta \overline{e}_\emptyset = (\alpha \beta) \overline{e}_\emptyset$ muestra que de hecho la multiplicación exterior en $\mbox{\sf G}^{(0)}$, junto con la adición hacen de $\mbox{\sf G}^{(0)}$ un cuerpo isomorfo a ${\mathbb{K}}$ y la aplicación $\alpha \mapsto \alpha \overline{e}_\emptyset$ que identifica ${\mathbb{K}}$ con $\mbox{\sf G}^{(0)}$ de hecho un isomorfismo de cuerpos.

Más aún, la regla:

$$\fbox{${\displaystyle \alpha \overline{x} = (\alpha \overline... ...e \overline{x} \quad \forall\, \overline{x} \in \mbox{\sf G}}$}$$

muestra que la multiplicación $(\alpha, \overline{x}) \mapsto \alpha \overline{x}$ de un escalar $\alpha$ por un elemento arbitrario $\overline{x}$ de G es un caso particular de la multiplicación exterior en G. Observamos de paso que también vale

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }{\sf G}^{(n)} = 1 }$}$$

y que la familia reducida al solo $n$-vector $\overline{e}_{[\![ 1,n ]\!]}$ constituye una base de $\mbox{\sf G}^{(n)}$. Pero nuestro convenio que identifica $\mbox{\sf G}^{(0)}$ con ${\mathbb{K}}$ nos impide terminantemente identificar $\mbox{\sf G}^{(n)}$ con ${\mathbb{K}}$, lo que sería una flagrante contradicción. Mencionamos dicho asunto, pues algunos vulgarizadores de la obra de Grassmann cayeron en esta contradicción.

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