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Álgebra de Grassmann asociada con una base de un espacio vectorial de dimensión finita

Álgebra de Grassmann asociada a una base

Nota
En el presente capítulo se considerará espacios vectoriales sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$. Si se razona sobre varios espacios vectoriales, será sobreentendido que el cuerpo ${\mathbb{K}}$ es el mismo para todos dichos espacios vectoriales.

Los elementos de ${\mathbb{K}}$ los llamaremos ocasionalmente ESCALARES conforme a una costumbre bastante generalizada actualmente. Los elementos de diferentes espacios vectoriales considerados se llamarán VECTORES y se designarán en general por letras con flechas encima.

Definición 1.1   Las siguientes son nociones de uso general en el texto:

1. Sea $E$ un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$. Una aplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}$ de $E \times E$ en $E$ se dice APLICACIÓN BILINEAL si satisface las reglas:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} (\alpha_1 \vec{x}_1 ... ...lpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2 \in {\mathbb K} \end{array} }$}$$
   
   

2. Un espacio vectorial $E$ sobre ${\mathbb{K}}$ junto con la aplicación bilineal $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}$ de $E \times E$ en $E$ se llama un ´ALGEBRA sobre ${\mathbb{K}}$. Siguiendo una costumbre arraigada en todas las partes de la matemática, hablaremos simplemente del ``álgebra $E$'' en vez del ``par que consta de $E$ y de la aplicación bilineal considerada''. La costumbre tiene el mérito de brevedad, si no el de corrección lógica. La aplicación bilineal $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}$ se llama simplemente MULTIPLICACIÓN en $E$. El vector $\vec{x} \cdot \vec{y}$ se dice el PRODUCTO del vector $\vec{x}$ por el vector $\vec{y}$.
3. El álgebra $E$ se dice ´ALGEBRA UN´iFERA si existe un vector $\vec{1} \in E$ tal que:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \vec{1} \cdot \vec{x} = \vec{x} \cdot \vec{1} = \vec{x} \quad \forall \vec{x} \in E }$}$$
   
   
   Notemos que dicho vector $\vec{1}$, si existe, es único, pues al tomar en la definición $\vec{x}=\vec{1}^\prime$ donde $\vec{1}^\prime$ goza de la misma propiedad obtenemos:
   
   $$\vec{1} =\vec{1} \cdot \vec{1}^\prime = \vec{1}^\prime$$
   
   
   $\vec{1}$ se le llama el VECTOR UNO del álgebra $E$.
4. El álgebra $E$ se dice ´ALGEBRA ASOCIATIVA si rige la ley:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (\vec{x} \cdot \vec{y}) \cdot \vec{z} =... ...\cdot \vec{z}) \quad \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in E}$}$$
   
   

5. El álgebra $E$ se dice ´ALGEBRA CONMUTATIVA si rige la ley:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x} \quad \forall\, \vec{x}, \vec{y} \in E }$}$$
   
   

Vamos a recordar un método simple para construir álgebras de rango finito (es decir de dimensión finita como espacio vectorial) sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$.

Teorema 1.1   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo conmutativo ${{\mathbb{K}}}$, provisto de una base $(\vec{e}_1, \cdots, \vec{e}_n )$. Sea $(\gamma_{ij}^k)$, con índices $i,j,k \in [\![ 1,n]\!]$, una familia arbitraria de elementos de ${\mathbb{K}}$. (Aquí como en todo el libro $[\![ 1,n ]\!]$ designa el correspondiente intervalo en ${\mathbb{N}}$, es decir, el conjunto $\{ 1, \cdots,n \}$ de enteros naturales).

1. Existe una y una sola aplicación bilineal $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}$ de $E \times E$ en $E$ que verifica la TABLA DE MULTIPLICACIÓN:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \sum\limits... ...ma_{ij}^k \vec{e}_k \quad \forall \, i,j,k \in [\![ 1,n ]\!]}$}$$
   
   

2. Un vector $\vec{1} \in E$ es el elemento uno del álgebra $E$ si y sólo si:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \vec{1} \cdot \vec{e}_i = \vec{e}_i \cdot \vec{1} \quad \forall \, i \in [\![ 1,n ]\!] }$}$$
   
   

3. El álgebra $E$ es asociativa si y sólo si vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j) \cdot \vec{... ..._j \cdot \vec{e}_k) \quad \forall \, i,j,k \in [\![ 1,n ]\!]}$}$$
   
   
   Equivalentemente:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \sum_{l=1}^n \gamma_{ij}^l \cdot \gamma... ... \gamma_{il}^m \quad \forall \, i,j,k,m \in [\![ 1,n ]\!] }$}$$
   
   

4. El álgebra $E$ es conmutativa si y sólo si:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \vec{e}_j \cdot \vec{e}_i \quad \forall \, i,j \in [\![ 1,n ]\!] }$}$$
   
   
   Equivalentemente:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \gamma_{ij}^k = \gamma_{ji}^k \quad \forall \, i,j \in [\![ 1,n ]\!]}$}$$
   
   

Demostración

1. Unicidad del álgebra. Supongamos la existencia de una multiplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}$ en $E$ conforme a la tabla de multiplicación. Sean ${\displaystyle \vec{x} = \colon \sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i\;,\; \vec{y} = \colon \sum_{j=1}^n y^j \vec{e}_j }$ vectores arbitrarios en $E$. $(x^i, y^j \in {\mathbb{K}})$. Por la bilinealidad de la multiplicación vale:
   
   $$\vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{i,j=1}^n x^i y^j \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j$$
   
   
   de donde por la tabla de multiplicación:
   

   $$\vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{k=1}^n (\sum_{i,j=1}^n \gamma_{ij}^k x^i y^j) \vec{e}_k$$ (1)

   
   
   El segundo miembro de (1) expresa el producto $\vec{x} \cdot \vec{y}$ sin ambigüedad. Así pues, si el álgebra deseada existe, es única.
2. Existencia del álgebra. Definimos la aplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}$ de $E \times E$ en $E$ por la fórmula (1) . Consideremos tres vectores:
   
   $$\vec{x}_1 = \colon \sum_{i=1}^n x_1^i \vec{e}_i \quad \ve... ... \vec{y}= \colon \sum_{j=1}^n y^j \vec{e}_j \quad\mbox{de}\; E$$
   
   
   y dos escalares $\alpha_1, \alpha_2 \in {\mathbb{K}}$.

   Vale ${\displaystyle \alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2 = \sum_{i=1}^n \left(\alpha_1 {x}_1^i + \alpha_2 x_2^i \right) \vec{e}_i}$ de donde aplicando (1):

   $$\begin{eqnarray*} (\alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2 ) \cdot \vec{y} &=& \... ..._1( \vec{x}_1 \cdot \vec{y})+ \alpha_2 (\vec{x}_2 \cdot \vec{y}) \end{eqnarray*}$$
   
   
   Análogamente se prueba la ley:
   
   $$\vec{x} \cdot (\beta_1 \vec{y}_1 + \beta_2 \vec{y}_2) = \beta... ...\vec{x}_1 \cdot \vec{y}_1)+ \beta_2 (\vec{x}_2 \cdot \vec{y}_2)$$
   
   
   Así pues la aplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}$ es bilineal. Resta probar que es conforme a la tabla de multiplicación. Ahora bien, usando las ``deltas de Kronecker'' podemos escribir $\forall \,l,m \in [\![ 1,n ]\!]$:
   
   $$\vec{e}_l = \sum_{i=1}^n \delta_l^i \vec{e}_i \quad \mbox{y} \quad \vec{e}_m = \sum_{j=1}^n \delta_m^j \vec{e}_j$$
   
   
   de donde, aplicando (1):
   
   $$\vec{e_l} \cdot \vec{e}_m = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i,j=1}^... ...ta_m^j \right) \vec{e}_k =\sum_{k=1}^n \gamma_{lm}^k \vec{e}_k$$
   
   
   Así se ha probado la existencia del álgebra deseada.
3. Supongamos que existe $\vec{1} \in E$ tal que $\vec{1} \cdot \vec{e}_i = \vec{e}_i \cdot \vec{1} =\vec{e}_i \quad \forall \, i \in [\![ 1,n ]\!]$. Si ${\displaystyle \vec{x} = \sum_{i=1}^n {x}^i \vec{e}_i }$ es un vector arbitrario de $E$, vale:
   $$\begin{eqnarray*} \vec{1} \cdot \vec{x}= \sum_{i=1}^n x^i (\vec{1} \cdot \vec{e}... ...}_i \cdot \vec{1} ) =\sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i = \vec{x} &\ & \end{eqnarray*}$$
   
   
   Así pues $\vec{1}$ es el elemento uno de $E$.
4. Supongamos que valen las relaciones:
   

   $$(\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j ) \cdot \vec{e}_k = \vec{e}_i \cd... ...j \cdot \vec{e}_k ) \quad \forall \, i,j,k \in {{\mathbb{N}}}$$ (2)

   
   
   Consideremos tres vectores arbitrarios:
   
   $$\vec{x} = \colon \sum_{i=1}^n {x}^i \vec{e}_i \quad \vec{y}... ...\vec{z} = \colon \sum_{k=1}^n z^k \vec{e}_k \quad\mbox{de}\; E$$
   
   
   Por la bilinealidad de la multiplicación tenemos:
   ${\displaystyle \vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{i,j=1}^n {x}^i {y}^j \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j }$ y:
   

   $$(\vec{x} \cdot \vec{y}) \cdot \vec{z} = \sum_{i,j,k=1}^n {x}^i {y}^j {z}^k (\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j) \cdot \vec{e}_k$$ (3)

   
   
   Análogamente:
   

   $$\vec{x} \cdot (\vec{y} \cdot \vec{z})= \sum_{i,j,k=1}^n {x}^i {y}^j {z}^k \vec{e}_i \cdot (\vec{e}_j \cdot \vec{e}_k)$$ (4)

   
   
   De (3), (4) y (2) se sigue:
   
   $$\vec{x} \cdot (\vec{y} \cdot \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{y}) \cdot \vec{z}$$
   
   
   Vale decir que el álgebra $E$ es un álgebra asociativa.
5. Suponemos que valen las relaciones:
   

   $$\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \vec{e}_j \cdot \vec{e}_i \quad \forall \, i,j \in [\![ 1,n ]\!]$$ (5)

   
   
   Para dos vectores arbitrarios: ${\displaystyle \, \vec{x} = \colon \sum_{i=1}^n {x}^i \vec{e}_i \, ,\, \vec{y} = \colon \sum_{i=1}^n {y}^i \vec{e}_i \; \mbox{de} \; E }$ vale:
   

   $$\vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{i,j=1}^n {x}^i {y}^j \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \mbox{ y }$$ (6)

   $$\vec{y} \cdot \vec{x} = \sum_{i,j=1}^n {y}^j {x}^i \vec{e}_j \cdot \vec{e}_i$$ (7)

   
   
   De (6), (7) y (5) obtenemos: $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$. Así pues, $E$ es un álgebra conmutativa. $\quad\Box$

Sea ${\mathbb{K}}$ un cuerpo conmutativo. Fijemos $n \in {\mathbb{N}}$. Usando el procedimiento general suministrado por el teorema precedente vamos a construir un álgebra de dimensión $2^n$ que provisionalmente llamaremos G (por ``Grassmann'').

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