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Álgebra de Grassmann asociada a una base
Nota
En el presente capítulo se considerará espacios vectoriales sobre un cuerpo conmutativo
. Si se razona sobre varios espacios vectoriales, será sobreentendido que el cuerpo
es el mismo para todos dichos espacios vectoriales.
Los elementos de
los llamaremos ocasionalmente ESCALARES conforme a una costumbre bastante generalizada actualmente. Los elementos de diferentes espacios vectoriales considerados se llamarán VECTORES y se designarán en general por letras con flechas encima.
Vamos a recordar un método simple para construir álgebras de rango finito (es decir de dimensión finita como espacio vectorial) sobre un cuerpo conmutativo
.
Teorema 1.1
Sea
un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo conmutativo
, provisto de una base
. Sea
, con índices
, una familia arbitraria de elementos de
. (Aquí como en todo el libro
designa el correspondiente intervalo en
, es decir, el conjunto
de enteros naturales).
- Existe una y una sola aplicación bilineal
de
en
que verifica la TABLA DE MULTIPLICACIÓN:
- Un vector
es el elemento uno del álgebra
si y sólo si:
- El álgebra
es asociativa si y sólo si vale:
Equivalentemente:
- El álgebra
es conmutativa si y sólo si:
Equivalentemente:
Demostración
- Unicidad del álgebra.
Supongamos la existencia de una multiplicación
en
conforme a la tabla de multiplicación.
Sean
vectores arbitrarios en
.
. Por la bilinealidad de la multiplicación vale:
de donde por la tabla de multiplicación:
 |
(1) |
El segundo miembro de (1) expresa el producto
sin ambigüedad. Así pues, si el álgebra deseada existe, es única.
- Existencia del álgebra.
Definimos la aplicación
de
en
por la fórmula (1) . Consideremos tres vectores:
y dos escalares
.
Vale
de donde aplicando (1):
Análogamente se prueba la ley:
Así pues la aplicación
es bilineal. Resta probar que es conforme a la tabla de multiplicación. Ahora bien,
usando las ``deltas de Kronecker'' podemos escribir
:
de donde, aplicando (1):
Así se ha probado la existencia del álgebra deseada.
- Supongamos que existe
tal que
.
Si
es un vector arbitrario de
, vale:
Así pues
es el elemento uno de
.
- Supongamos que valen las relaciones:
 |
(2) |
Consideremos tres vectores arbitrarios:
Por la bilinealidad de la multiplicación tenemos:
y:
 |
(3) |
Análogamente:
 |
(4) |
De (3), (4) y (2) se sigue:
Vale decir que el álgebra
es un álgebra asociativa.
- Suponemos que valen las relaciones:
![\begin{displaymath}
\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \vec{e}_j \cdot \vec{e}_i \quad \forall \, i,j \in [\![ 1,n ]\!]
\end{displaymath}](img90.png) |
(5) |
Para dos vectores arbitrarios:
vale:
De (6), (7) y (5) obtenemos:
.
Así pues,
es un álgebra conmutativa.
Sea
un cuerpo conmutativo. Fijemos
. Usando el
procedimiento general suministrado por el teorema precedente vamos a
construir un álgebra de dimensión
que provisionalmente llamaremos
G (por ``Grassmann'').
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Guillermo M. Luna
2009-06-14