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Diferenciales y curvas

Observación preliminar

Sean $I$ un intervalo de ${\mathbb{R}}$ considerado como variedad con borde y $t$ un punto de $I$. Según el teorema de Ellis, el espacio vectorial tangente $I_t$ a $I$ en el punto $t$ se identifica con ${\mathbb{R}}$. A saber, el número $\alpha \in {\mathbb{R}}$ se identifica con el vector tangente $L_\alpha \in I_t$, funcional ${\cal D}(t) \to {\mathbb{R}}$ tal que $\forall \, g \in {\cal D}(t)$ $L_\alpha \cdot g$ es la derivada de $g$ en el tiempo $t$ según el ``vector'' $\alpha$, vale decir:

$$\lim_{s \to 0} {g(t+s\alpha) - g(t) \over s} = \lim_{s \to 0}\alpha { g(t + s \alpha) - g(t) \over \alpha s}$$

o sea:

$$\fbox{${\displaystyle L_\alpha \cdot g = \alpha g' (t)}$}$$

Conociendo la funcional $L_\alpha$ se recobra $\alpha \in {\mathbb{R}}$ por la fórmula:

$$\fbox{${\displaystyle \alpha =L_\alpha \cdot {\cal I}_I}$}$$

donde ${\cal I}_I$ es la aplicación idéntica del intervalo $I$.

Teorema 2.4   Sea $M$ una variedad $C^k$ con borde y $\gamma \colon I \to M$ una curva en $M$ diferenciable en un tiempo $t \in I$. Con la identificación precedente de ${\mathbb{R}}$ con $I_t$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle d \gamma (t) (1) = \gamma'(t)}$}$$

Demostración
Usando las notaciones arriba, debemos probar que:

$$d \gamma (t) (L_1) = \gamma' (t)$$ (5)

Pero por definición de la diferencial vale $\forall \, g \in {\cal D}( \gamma (t))$:

$$\left( d \gamma(t) (L_1) \right) \cdot g = L_1 \cdot (g \circ \gamma) = (g \circ \gamma)'(t) = \gamma'(t) \cdot g$$

luego la relación (5) es correcta. $\quad\Box$

Teorema 2.5   Sean $M, N$ variedades $C^k$ con bordes, $\gamma \colon I \to M$ una curva en $M$ diferenciable en un tiempo $t \in I$ y $\varphi \colon M \to N$ una aplicación diferenciable en el punto $\gamma(t) \in M$. Vale:

$$\fbox{${\displaystyle ( \varphi \circ \gamma)'(t) = \left( d \varphi( \gamma (t)) \right) ( \gamma' (t) )}$}$$

Demostración
Por el teorema 6.2.2 (regla de la cadena), tenemos:

$$d( \varphi \circ \gamma) (t) = d \varphi( \gamma (t)) \circ d \gamma (t)$$

La fórmula del enunciado se sigue al evaluar los dos miembros de esta igualdad en $1 = L_1 \in I_t$. $\quad\Box$

Comentario
Sean $M$, $N$ variedades $C^k$ con bordes y $\varphi \colon M \to N$ una aplicación diferenciable en un punto $m \in M$. Sea $\vec u$ un vector arbitrario de $M_m$. Del teorema 6.1.13 sabemos que existe una curva $\gamma \colon I \to M$ diferenciable en un tiempo $t \in I$, tal que:

$\gamma(t) = m$ y $\gamma'(t) = \vec u$

El teorema 6.2.5 dice que el vector $d\varphi(m) \vec u = d \varphi( \gamma(t) ) ( \gamma'(t))$ no es otro que el vector $(\varphi \circ \gamma)'(t)$ tangente en el tiempo $t$ a la curva $\varphi \circ \gamma \colon I \to N$, la TRANSFORMADA DE LA CURVA POR LA APLICACIÓN .

El teorema 6.2.5 constituye, pues, una útil caracterización de la diferencial $d \varphi (m)$. Sirve frecuentemente en la práctica para evaluar diferenciales.

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