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Relación entre el álgebra G y un espacio vectorial de dimensión $n$ provisto de una base fija

Sea dado un espacio vectorial $E$ de dimensión finita $n$ sobre el cuerpo ${\mathbb{K}}$, provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. La aplicación:

$$x^1 \vec{e}_1+ \cdots + x^n \vec{e}_n \mapsto x^1 \overline{e}_{\{ 1 \}} + \cdots + x^n \overline{e}_{ \{ n \}}$$ (13)

es un isomorfismo lineal del espacio vectorial $E$ sobre el subespacio $\mbox{\sf G}^{(1)}$ de G.

Puesto que en la presente sección consideramos tanto la base $\left( \overline{e}_H \right)_{H \subset [\![ 1,n ]\!]}$ de G como la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ como ``privilegiadas'' nos permitimos mirar (13) como un isomorfismo ``natural'' y mediante él identificar el subespacio $\mbox{\sf G}^{(1)}$ de G con el espacio vectorial $E$, que, de este modo llega a ser un subespacio vectorial de G.

Escribiremos, pues, $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ por la base $(\overline{e}_{\{ 1 \} }, \ldots,\overline{e}_{ \{ n \}})$ de $\mbox{\sf G}^{(1)}$. Los elementos de $\mbox{\sf G}^{(1)} = E$ se llamarán simplemente VECTORES y se designarán por letras con flechas encima (mientras un elemento arbitrario de G lleva una barra encima).

El convenio actual realiza una vinculación del álgebra G (provista de una base ``privilegiada'' $\left( \overline{e}_H \right)_{H \subset [\![ 1,n ]\!]}$) con el espacio vectorial $E$ (provisto de su base ``privilegiada'' $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ ). Por esta razón llamaremos el álgebra G (también provisionalmente como se verá en la siguiente sección) ´ALGEBRA DE GRASSMAN SOBRE ASOCIADA CON LA BASE $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$. El siguiente teorema aprovecha la vinculación entre $E$ y G y relaciona las dos bases ``privilegiadas''.

Teorema 1.4   Sea $H\subset [\![ 1,n]\!]$. Escribimos $H= \{ i_1,\ldots,i_r \}$ y suponemos a sus elementos ordenados, $i_1 < \cdots < i_r$. Vale:

$$\fbox{${\displaystyle \overline{e}_H= \vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r} }$}$$

Demostración
La demostración se hace por inducción sobre $r$. En el caso $r=1$ la afirmación es:

$$\overline{e}_{ \{ 1 \}}= \vec{e}_i \quad \forall \, i \in [\![ 1,n ]\!]$$ (14)

Pero (13) es cierto en virtud del convenio que identifica $\mbox{\sf G}^{(1)}$ con $E$. Sea ahora $r \ge 2$ y supongamos el teorema probado para $r-1$. Sea $H= \{ i_1,\ldots i_r \}$ con $i_1 < \cdots < i_r$. Mediante la hipótesis de inducción conseguimos:

$$\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r} = (\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_{r-1}}) \wedge \vec{e}_{i_r}$$

$$= \overline{e}_{ \{ i_1 ,\ldots,i_{r-1} \} } \wedge \vec{e}_{i_r}$$

$$= \overline{e}_{ \{ i_1,\ldots,i_{r-1} \} } \wedge \overline{e}_{i_r}$$ (15)

Pero por la tabla de multiplicación el último miembro de (14) no es otro que $\overline{e}_{ \{ i_1,\ldots,i_r \} }$. De ahí la conclusión. $\quad\Box$

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