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Casos particulares

$\forall \, \vec{x},\, \vec y \in E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle \vec y \wedge \vec x = -\vec x \wedge \vec y }$}$$

Al definir $2=\colon 1+1 \in {\mathbb{K}}$ obtenemos de la última fórmula haciendo en ella $\vec y =\vec x$:

$$2 \vec x \wedge \vec x=0 \quad \forall \, \vec x \in E$$

Si en el cuerpo ${\mathbb{K}}$: $2 \ne 0$ (o, como se dice, ${\mathbb{K}}$ no es de característica 2) resulta de ahí la regla:

$$\vec x \wedge \vec x =0 \quad \forall \, \vec x \in E$$

El teorema a continuación muestra que esta regla sigue válida en el caso general, o sea sin ninguna hipótesis sobre la característica de ${\mathbb{K}}$.

Teorema 1.6   Vale:

$$\fbox{${\displaystyle \vec x \wedge \vec x = 0 \quad \forall \, \vec x \in E}$}$$

Demostración
Sea ${\displaystyle \vec{x}= \sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i}$. Usando las relaciones $\vec{e}_i \wedge \vec{e}_i =0$ que sigue de la tabla de multiplicación y $\vec{e}_i \wedge \vec{e}_j = -\vec{e}_j \wedge \vec{e}_i$, caso particular del teorema 1.1.5, obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} \vec x \wedge \vec x &=& \left( \sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i \ri... ...j} \left( x^i x^j -x^j x^i \right) \vec{e}_i \wedge \vec{e}_j =0 \end{eqnarray*}$$

$\quad\Box$