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Determinante de un $n$-uplo de vectores con respecto a una base de un espacio vectorial de dimensión $n$

Definición 4.6   Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$, $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de $E$ y $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ un $n$-uplo de vectores de $E$. Sea $X$ el único endomorfismo lineal de $E$ que cumple:

$$X \vec{e}_k = \vec{x}_k \quad \forall\, k \in [\![ 1,n ]\!]$$

El determinante del endomorfismo $X$ se llama el DETERMINANTE DEL -UPLO #MATH1550# DE VECTORES de $E$ con respecto a la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$.

Notemos que se verifica:

$$(\mbox{\rm Det } X ) (\vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n)... ... \vec{e}_n \right) = X \vec{e}_1 \land \cdots \land X \vec{e}_n$$

vale decir en definitiva:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \vec{x}_1 \land \cdots \land \vec... ...Det } X \right) \, \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n }$}}$$ (28)

Esta fórmula dice que $\mbox{\rm Det }X$ puede definirse también como la componente del $n$-vector $\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n$ con respecto a la base de $\stackrel{n}{\wedge} E$ reducida al elemento $\vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n$.

La fórmula (28) motiva también el convenio que haremos de designar el determinante del $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ con respecto a la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ por la notación:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \mbox{\rm Det } X= {\vec... ...and \vec{x}_n \over \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n}}}$}$$

Observamos finalmente que, si ponemos:

$$\vec{x}_k = \sum_{i=1}^n x_k^i \vec{e}_i ,\quad k=1,\ldots,n$$

$\mbox{\rm Det }X$ coincide con el determinante de la matriz $n\times n$: $\left( x_k^i \right)_{1 \le k \le n}^{1 \le i \le n}$.

Teorema 4.16   Vale ${\displaystyle {\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n \over \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n }=0}$ si y sólo si el $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ es linealmente dependiente.

Demostración
La relación ${\displaystyle {\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n \over \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n }=0}$ significa $\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n = 0 \cdot \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n$, o sea, simplemente:

$$\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n =0$$

En virtud del teorema 1.3.4, la última relación se verifica si y sólo si el $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ es linealmente dependiente. $\quad\Box$

La notación (28) para el determinante de un $n$-uplo de vectores con respecto a una base resulta feliz debido al:

Teorema 4.17  

1. Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base de $E$, vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\vec{e}_1 \land \cdots ... ... \vec{e}_n \over \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n} =1}}$}$$
   
   

2. Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n) \; \mbox{y} \; (\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$ son dos bases de $E$, se cumple para todo $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ de vectores de $E$:
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\vec{x}_1 \land \cdots ... ...d \vec{e}_n \over \vec{f}_1 \land \cdots \land \vec{f}_n} }}$}$$
   
   

3. Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n) \; \mbox{y} \; (\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$ son dos base de $E$, se verifica:
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\vec{f}_1 \land \cdots ... ...vec{e}_n \over \vec{f}_1 \land \cdots \land \vec{f}_n} =1 }}$}$$
   
   

Demostración

1. La relación ${\displaystyle {\vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n \over \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n} =1}$ significa
   
   $$\vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n = 1 \cdot \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n$$
   
   
   relación que es cierta.
2. Pongamos:
   

   $$\xi = \colon {\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n \over \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n} \quad \mbox{y}$$ (29)

   $$\alpha = \colon {\vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n \over \vec{f}_1 \land \cdots \land \vec{f}_n}$$ (30)

   
   
   (29) y (30) significan respectivamente:
   

   $$\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n = \xi \, \vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n$$ (31)

   $$\vec{e}_1 \land \cdots \land \vec{e}_n = \alpha \, \vec{f}_1 \land \cdots \land \vec{f}_n$$ (32)

   
   
   Llevando (31) a (32) conseguimos:
   
   $$\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_n = \xi\, \alpha \, \vec{f}_1 \land \cdots \land \vec{f}_n$$
   
   
   Pero esto es lo que afirma el inciso b. del enunciado.
3. La afirmación c. se obtiene tomando en b.
   
   $$(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n) = (\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$$
   
   
   y aplicando a. $\quad\Box$

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