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El bidual de un espacio vectorial

Definición 2.5   Se llama el BIDUAL DE UN ESPACIO VECTORIAL $E$ y se designa por $E^{**}$ el espacio dual de $E^*$, el dual de $E$.

$\forall \vec{x} \in E$ sea $L_{\vec{x}}$ la aplicación de $E^*$ en ${\mathbb{K}}$ dada por:

$$\fbox{${\displaystyle L_{\vec{x}}( \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

$L_{\vec{x}}$ es patentemente una aplicación lineal, o sea: $L_{\vec{x}} \in E^{**}$.

Lema 2.1   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Sea $\vec{x} \in E$ tal que . Entonces $\vec{x}=0$

Demostración
Sea $n=\colon \mbox{\rm dim }E$. La hipótesis significa que $\{ \vec{x} \}^\circ = E^*$. Por el teorema 2.2.8, esto equivale ${\cal L}(\vec{x})^\circ = E^*$, o sea:

$$\mbox{\rm dim }{\cal L}(\vec{x})^\circ=n$$ (13)

Pero si fuese $\vec{x} \neq 0$, sería $\mbox{\rm dim }{\cal L}(\vec{x})=1$, de donde por el teorema 2.2.8, $\mbox{\rm dim }\;{\cal L}(\vec{x})^\circ =n-1$ en contradicción con (13). Esta contradicción demuestra el lema. $\quad\Box$

Corolario 2.2   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Sean $\vec{x}_1,\vec{x_2} \in E$ tales que: . Entonces $\vec{x}_1=\vec{x_2}$.

Teorema 2.10   Sea $E$ un espacio vectorial. La aplicación $\vec{x} \mapsto L_{\vec{x}}$ es una aplicación lineal inyectiva del espacio vectorial $E$ en su espacio bidual $E^{**}$. Si $E$ es de dimensión finita, dicha aplicación es un isomorfismo lineal (canónico) de $E$ sobre $E^{**}$.

Demostración

1. Sean $\vec{x}_1,\vec{x_2} \in E$, $\alpha_1, \alpha_2 \in {\mathbb{K}}$. Por definición de $L_{\vec{x}}$ se verifica :
   $$\begin{eqnarray*} \bigl\langle \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$
   
   
   De donde al quitar el argumento :
   

   $$L_{\alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x_2}}=\alpha_1 L_{\vec{x_1}} + \alpha_2 L_{\vec{x_2}}$$ (14)

   
   
   Esto prueba que la aplicación $\vec{x} \mapsto L_{\vec x}$ es una aplicación lineal de $E$ en $E^{**}$.
2. Supongamos ahora que $L_{\vec x} =0$. Vale, pues, : . Se sigue de ahí por el lema 2.2.1 que $\vec{x}=0$. Con esto viene probado que la aplicación lineal $\vec{x} \mapsto L_{\vec x}$ de $E$ en $E^*$ es inyectiva.
3. Supongamos finalmente que $E$ es de dimensión finita. Por el inciso b) y la consecuencia del teorema 2.2.1 el rango de la aplicación $\vec{x} \mapsto L_{\vec{x}}$ es $\mbox{\rm dim }E = \mbox{\rm dim }E^* = \mbox{\rm dim }E^{**}$. Así pues dicha aplicación es también superyectiva. $\quad\Box$

Convenio
Si $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita, convenimos en identificar su bidual $E^{**}$ con el propio $E$ mediante el isomorfismo canónico del teorema 2.16. Vale decir: Todo operador $L_{\vec x} \in E^{**}$ se identificará con $\vec{x} \in E$. Escribiremos $E^{**} =E$. Sin embargo, cuando esto contribuya a la claridad usaremos notaciones dobles: $\vec{x}$ y $L_{\vec x}$; y .

Teorema 2.11   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y sean $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ una base de $E$ y la base de $E^*$ dual de ésta.

Al identificar $E^{**}$ con $E$, la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ llega a ser la base dual de la base de $E^*$.

Demostración
$\forall i,j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ vale: . Estas relaciones equivalen a: , de donde se ve que $(L_{{\vec e}_1},\ldots, L_{{\vec e}_n})$ es la base de $E^{**}$ dual de la base de $E^*$. En el lenguaje de nuestra identificación esto dice que, efectivamente, la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de $E$ es la base dual de la base de $E^*$. $\quad\Box$

Observación
Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y $S$ un subconjunto de $E^*$. El anulador $S^\circ$ es un subespacio de $E^{**}$. Mediante nuestro convenio se identifica con un subespacio de $E$. Explícitamente:

$$\fbox{${\displaystyle S^\circ = \{ \vec{x} \in E \vert \bigl\... ...ineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in S \}}$}$$

Las propiedades ya establecidas de anuladores siguen evidentemente válidas. A saber:

1. $\{ 0 \}^\circ =E, \quad (E^*)^\circ = \{ 0 \}.$
2. Si $S \subset T \subset E^*$ vale: $T^\circ \subset S^\circ$.
3. $\forall S \subset E^* \quad \mbox{vale} \quad S^\circ = {\cal L}(S)^\circ.$
4. Para todo subespacio $V$ de $E^*$ vale: $\mbox{\rm dim }V^\circ + \mbox{\rm dim }V= \mbox{\rm dim }E^*=\mbox{\rm dim }E$.

Teorema 2.12   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Para todo subespacio $V$ de $E$ se cumple:

$$\fbox{${\displaystyle V^{\circ \; \circ} = V}$}$$

Demostración
Pongamos $n=\colon \mbox{\rm dim }E$. Sea $\vec x$ un elemento arbitrario de $V$. vale , luego $\vec{x} \in V^{\circ \; \circ}$. Esto prueba que:

$$V \subset V^{\circ \; \circ}$$ (15)

Pero también:

$$\mbox{\rm dim }V^{\circ \; \circ} = n -\mbox{\rm dim }V^{\circ}= \mbox{\rm dim }V$$ (16)

De (15) y (16) se sigue $V^{\circ \; \circ} =V$. $\quad\Box$

Corolario 2.3   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Para todo subconjunto $S$ de $E$ se cumple:

$$\fbox{${\displaystyle S^{\circ \; \circ}= {\cal L}(S)}$}$$

Teorema 2.13   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Designemos por $\mbox{\rm Esp}(E)$ el conjunto de todos los subespacio de $E$. La aplicación $V \mapsto V^\circ$ es una biyección de $\mbox{\rm Esp}(E)$ sobre $\mbox{\rm Esp}(E^*)$. La biyección inversa es la aplicación $W \mapsto W^\circ$ de $\mbox{\rm Esp}(E^*)$ en $\mbox{\rm Esp}(E)$.

Demostración
Para más claridad, designemos por $\alpha$ la aplicación $V \mapsto V^\circ$ de $\mbox{\rm Esp}(E)$ en $\mbox{\rm Esp}(E^*)$ y por $\beta$ la aplicación $W \mapsto W^\circ$ de $\mbox{\rm Esp}(E^*)$ en $\mbox{\rm Esp}(E)$. Por el teorema 2.2.12 tenemos:

$$\beta \circ \alpha = \left[\mbox{identidad de } \mbox{\rm Esp}(E)\right]$$ (17)

Intercambiando los papeles de $E\;y\; E^*$ obtenemos también:

$$\alpha \circ \beta = \left[\mbox{identidad de } \mbox{\rm Esp}(E^*)\right]$$ (18)

De las relaciones (17) y (18) se sigue sin más que $\alpha$ es una biyección de $\mbox{\rm Esp}(E)$ sobre $\mbox{\rm Esp}(E^*)$ y $\beta$ es la biyección inversa. $\quad\Box$
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