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Dualidad en álgebra exterior

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. En esta sección, además del álgebra exterior $\wedge E$ sobre $E$ consideraremos el álgebra exterior $\wedge (E^*)$ sobre el dual $E^*$ de $E$. Por brevedad la llamaremos ´ALGEBRA EXTERIOR DUAL SOBRE $E$. Los elementos de $\wedge (E^*)$ se designarán por letras subrayadas.

A toda base $({\vec e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ le asociamos la base del espacio $E^* \subset \wedge(E^*)$, dual de la anterior. Si $H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$, con $H= \{ i_1,\ldots,i_r \}$, $i_1 < \cdots < i_r$, ponemos:

$${\underline e}^{H} =\colon \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (1)

La familia $\left( {\underline e}^{H} \right)^{H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack }$ constituye una base de $\wedge (E^*)$ que se dice BASE DE ASOCIADA CON LA BASE $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$.

Los elementos del subespacio $\stackrel{r}{\wedge} \!(E^*)$ de $\wedge (E^*)$ (elementos homogéneos de grado $r$ de $\wedge E^*$) se llaman -COVECTORES o FORMAS EXTERIORES de grado $r$ sobre $E$. Con las notaciones de arriba, la familia $\left({\underline e}^{H} \right)^{\vert H\vert=r}$ constituye una base de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$, la BASE DEL SUBESPACIO #MATH2299# ASOCIADA con la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$. Así pues, todo $r$-covector $\underline x$ sobre $E$ se expresa únicamente en la forma:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\underline x} = \sum\li... ...erline e}^{H} \quad \mbox{con}\quad x_{H} \in {{\mathbb K}}}}$}$$

He aquí el teorema principal de la sección:

Teorema 3.1  

1. Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. $\forall r \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ existe un isomorfismo lineal canónico del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ (la $r$-ésima potencia exterior de $E^*$) sobre el espacio vectorial $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ (dual del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}E$) que permite identificar estos dos espacios vectoriales.

   Una vez hecha esta identificación se tendrá la fórmula:
   

   $$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{x}_1 \wedge \cdots \w... ...gr\rangle \right)^{1 \leq j \leq r}_{1\leq i \leq r} \right)}$}$$
   
   
   $\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E \; , \; \forall \mathop{\vtop{\ialign{... ...{\kern1.5pt\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in E^*$.
2. Sean $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base arbitraria de $E$ y $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$, $\left({\underline e}^{H} \right)^{\vert H\vert=r}$ las bases de sendos espacios vectoriales $\stackrel{r}{\wedge}E$ y de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ asociadas a ésta. Hecha la identificación mencionada, la base $\left({\underline e}^{H} \right)^{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ llega a ser la base dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$.

Demostración
a) Fijemos por el momento un $r$-uplo de covectores, elementos de $E^*$. Definamos una aplicación de $E^r$ en ${\mathbb{K}}$ por la fórmula:

$$= \colon \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{x}_i,\mathop{\vto... ...{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j \le r} \right)$$ (2)

$$\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$$

Puesto que el determinante de una matriz cuadrada $r\times r$ es una función $r$-lineal alternada de las columnas de dicha matriz (consideradas como vectores en ${{\mathbb{K}}}^r$) se sigue de la definición (2) que:

$$f(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Apliquemos la propiedad universal de la terna $(E,\stackrel{r}{\wedge} E,\wedge)$. Por la mencionada propiedad universal, existe una única aplicación en el espacio ${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge}\! E, {{\mathbb{K}}})= (\stackrel{r}{\wedge}\! E)^*$ que hace conmutativo el diagrama:

$$\begin{array}{rccl} &E^r &\smash{ \mathop{\longrightarrow}\... ...gn{\kern-5pt}}}}\limits ) \\ &{{\mathbb{K}}} & & \end{array}$$

es decir:

$$\begin{array}{c} L(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Llevando esta relación a (2) obtenemos:

$$= \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{x}_i,\mathop{\vto... ...{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j \le r} \right)$$ (3)

$$\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$$

``Liberemos'' ahora y estudiemos la aplicación:

$$L\colon (\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

de $(E^*)^r$ en $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$.

Debido al teorema 1.4.15, el determinante de una matriz $r\times r$ es también una función $r$-lineal alternada de las filas de dicha matriz (consideradas como vectores en ${{\mathbb{K}}}^r$). En vista de esto, se desprende fácilmente de la relación (3) que $L \in \mbox{\rm Alt}_r (E^*,(\stackrel{r}{\wedge} E)^*)$. Apliquemos la propiedad universal de la terna $(E^*,\stackrel{r}{\wedge}(E^*),\wedge)$. En virtud de ésta, existe una aplicación lineal única $\varphi$ de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ en $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ que hace conmutativo el diagrama:

$$\begin{array}{rcl} (E^*)^r&\smash{ \mathop{\longrightarrow}... ...tyle\varphi$}}$}& \\ (\stackrel{r}{\wedge} E)^*& & \end{array}$$

Vale decir: .

Llevando esta relación a (3), conseguimos:

$$\bigl\langle \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r, \varphi(\m... ...n1.5pt\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits )\bigr\rangle = \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{x}_i,\mathop{\vto... ...{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j \le r} \right)$$ (4)

$$\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$$

b) Procedemos a probar que la aplicación lineal $\varphi \colon \stackrel{r}{\wedge}(E^*) \to (\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ es un isomorfismo lineal.

Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ una base arbitraria de $E$. Usamos las bases $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ y $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ asociados a ésta, en sendos espacios $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$.

Sean $H,K$ partes de $\lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ de cardinalidad $r$; explícitamente:

$$\begin{eqnarray*} H &=\colon& \{ i_1,\ldots,i_r\} \quad , \quad i_1< \cdots < i... ...K &=\colon& \{ j_1,\ldots,j_r\} \quad , \quad j_1< \cdots < j_r \end{eqnarray*}$$

Tomemos en (3): $\vec{x}_\alpha = \vec{e}_{i_\alpha}$ para $\alpha =1,\ldots,r$ e para $\beta=1,\ldots,r$. Obtenemos de (3):

$$\bigl\langle {\overline e}_{H},\varphi({\underline e}^{K})\bigr\rangle = \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{e}_{i_\alpha},\ma... ...t}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le \alpha\le r}^{1\le \beta \le r} \right)$$

$$= \mbox{\rm Det } \left( \left( \delta_{i_\alpha}^{j_\beta} \right)_{1\le \alpha\le r}^{1\le \beta \le r} \right)$$ (5)

Ahora bien, por el lema 2.1.1, el último miembro de (4) es $\delta_{H}^{K}$. La relación (4) se convierte, pues, en:

$$\bigl\langle {\overline e}_{H},\varphi({\underline e}^{K})\bigr\rangle = \delta_{H}^{K}$$ (6)

La relación (6) prueba que la familia $\left( \varphi ({\underline e}^{K}) \right)^{\vert K\vert=r}$ es la base del dual $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$, dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}E$.

La aplicación lineal $\varphi$ transforma pues la base $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ en una base de $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$; por lo tanto, es un isomorfismo del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ sobre el espacio $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ dual de $\stackrel{r}{\wedge}E$. Dicho isomorfismo es ``canónico'', pues su definición no exige ninguna elección de bases.

Convenimos en usar el isomorfismo $\varphi$ como ``identificación''. Escribimos, pues, simplemente:

$$\stackrel{r}{\wedge}(E^*)=(\stackrel{r}{\wedge} E)^* \qquad... ...} \quad \forall {\underline x} \in \stackrel{r}{\wedge} (E^*)$$ (7)

Mediante este convenio, la fórmula (3) reza simplemente:

$$\begin{array}{c} \bigl\langle \vec{x}_1\wedge\cdots \wedge \... ...$\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in E^* \end{array}$$

La fórmula (6) se escribe mediante el convenio:

$$\bigl\langle {\overline e}_{H},{\underline e}^{K}\bigr\rangle = \delta_{H}^{K}$$

y dice que, hecha nuestra identificación, $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ es la base dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$. $\quad\Box$

Observaciones

A) Debido a la identificación $\stackrel{r}{\wedge} (E^*) =(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ escribimos de aquí en adelante $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ (sin paréntesis) para cualquiera de estos dos espacios vectoriales.

B) La fórmula:

$$\bigl\langle \vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_r, \mathop... ...s \bigr\rangle \right)_{1 \le i \le r}^{1 \le j\le r} \right)$$ (8)

suministra explícitamente el valor de todo elemento descomponible de $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ sobre todo elemento descomponible de $\stackrel{r}{\wedge}E$.

Pero todo elemento ${\overline x}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$ puede escribirse como una suma:

$${\overline x} = {\overline x}_1+\cdots+{\overline x}_p$$

y todo elemento ${\underline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$ puede escribirse como una suma:

$${\underline y}={\underline y}^1+\cdots+{\underline y}^q$$

con ${\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_p\;;\;{\underline y}^1,\ldots,{\underline y}^q$ descomponibles. Tenemos por bilinealidad del símbolo $\bigl\langle \;,\;\bigr\rangle$:

$$\bigl\langle {\overline x},{\underline y}\bigr\rangle = \sum_... ...e q} \bigl\langle {\overline x}_i,{\underline y}^j\bigr\rangle$$

de donde se ve que, en definitiva, la fórmula (8) describe por completo la dualidad entre $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\stackrel{r}{\wedge} E^*$.

C) Usando las bases $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ asociadas a una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$, podemos escribir todo elemento $\overline x$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$ únicamente en la forma:

$${\overline x}= \sum_{\vert H\vert=r} x^{H} {\overline e}_{H} \qquad \mbox{con} \quad x^{H} \in {{\mathbb{K}}}$$

y todo elemento $\underline y$ de $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ en la forma:

$${\underline y}= \sum_{\vert K\vert=r} y_{K} {\underline e}^{K} \qquad \mbox{con} \quad y_{K} \in {{\mathbb{K}}}$$

Ya que $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ es la base dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$, se sigue de ahí, por la observación después del teorema 2.2.1:

$$\bigl\langle {\overline x},{\underline y}\bigr\rangle = \sum\limits_{\vert H\vert=r} x^{H} y_{H}$$ (9)

Por contraste con la fórmula (8), la fórmula (9) suministra explícitamente el valor de cualquier $r$-covector sobre cualquier $r$-vector.

Sin embargo, comparada con (8), la fórmula (9) sufre la desventaja de no ser ``intrínseca'', pues exige el uso de bases y componentes.

Una aplicación

Una fórmula para el determinante del producto de una matriz $p\times n$ por una matriz $n \times p$.

Sean $p,n\in {\mathbb{N}},\, p<n$. Consideramos unas matrices de elementos en ${\mathbb{K}}$.

$${\cal A} = \colon \left( a_j^i \right)_{1 \le j \le n}^{1 \le... ...ight)_{1 \le k \le p}^{1 \le j \le n} \mbox{ de tipo }n\times p$$

Luego ${\cal AB}$ es una matriz de tipo $p\times p$.

Vamos a obtener una interesante fórmula para el determinante de esta matriz ${\cal AB}$.

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre ${\mathbb{K}}$, provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ y $E^*$ su dual provisto de la base dual del precedente.

Consideramos los $p$ vectores $\vec{b}_1,\ldots, \vec{b}_p$ de $E$ definidos por:

$$\vec{b}_k = \colon \sum_{j=1}^n b_k^j \vec{e}_j \quad k\in \lbrack\!\lbrack 1,p \rbrack\!\rbrack$$

y los $p$ covectores elementos de $E^*$ definidos por:

$$\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Tenemos $\forall \, i,k \in \lbrack\!\lbrack 1, p \rbrack\!\rbrack$:

$$\bigl\langle \vec{b}_k , \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

donde el segundo miembro es el elemento de la fila número $i$ y columna número $j$ de la matriz producto $\cal AB$.

Podemos, pues, escribir:

$${\cal AB} = \left( \bigl\langle \vec{b}_k , \mathop{\vtop{\ia... ...}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1 \le k \le p}^{1 \le i \le p}$$

De ahí, por el teorema 2.3.2:

$$\mbox{\rm Det }{\cal AB} = \bigl\langle \vec{b}_1 \land \cdo... ...skip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle$$ (10)

Por otra parte, en virtud del teorema 1.4.18 (sobre las componentes de un multivector descomponible), vale:

$$\vec{b}_1 \land \cdots \land \vec{b}_p = \sum_{\vert H\vert=p... ...A^{\lbrack\!\lbrack 1,p\rbrack\!\rbrack }_{H} \underline{e}^{H}$$

Aquí $B_{\lbrack\!\lbrack 1,p\rbrack\!\rbrack }^H$ y $A_H^{\lbrack\!\lbrack 1,p \rbrack\!\rbrack }$ son los menores de orden $p$ de sendas matrices $\cal B$, $\cal A$.

De ahí se sigue, por la fórmula (9) de la precedente observación c):

$$\bigl\langle \vec{b}_1 \land \cdots \land \vec{b}_p,\mathop{... ...rbrack\!\rbrack } B_{\lbrack\!\lbrack 1,p\rbrack\!\rbrack }^H$$ (11)

Al comparar las relaciones (10) y (11) obtenemos la fórmula final deseada:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \mbox{\rm Det }({\cal AB... ...ck\!\rbrack } B^H_{\lbrack\!\lbrack 1,p \rbrack\!\rbrack } }}$}$$

Nota
Con las notaciones de nuestra aplicación ${\cal BA}$ es una matriz $n\times n$. Pero es patentemente de rango $\le p<n$, luego no es inversible. Por lo tanto:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Det }({\cal BA}) = 0}$}$$

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