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Dualidad en álgebra exterior

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. En esta sección, además del álgebra exterior $\wedge E$ sobre $E$ consideraremos el álgebra exterior $\wedge (E^*)$ sobre el dual $E^*$ de $E$. Por brevedad la llamaremos ´ALGEBRA EXTERIOR DUAL SOBRE $E$. Los elementos de $\wedge (E^*)$ se designarán por letras subrayadas.

A toda base $({\vec e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ le asociamos la base $(\mathop{\vtop{\ialign{ ... del espacio $E^* \subset \wedge(E^*)$, dual de la anterior. Si $H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack $, con $H= \{ i_1,\ldots,i_r \}$, $i_1 < \cdots < i_r$, ponemos:

\begin{displaymath}
{\underline e}^{H} =\colon \mathop{\vtop{\ialign{ ... (1)

La familia $\left( {\underline e}^{H} \right)^{H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack } $ constituye una base de $\wedge (E^*)$ que se dice BASE DE ASOCIADA CON LA BASE $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$.

Los elementos del subespacio $\stackrel{r}{\wedge} \!(E^*)$ de $\wedge (E^*)$ (elementos homogéneos de grado $r$ de $\wedge E^*$) se llaman -COVECTORES o FORMAS EXTERIORES de grado $r$ sobre $E$. Con las notaciones de arriba, la familia $\left({\underline e}^{H} \right)^{\vert H\vert=r}$ constituye una base de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$, la BASE DEL SUBESPACIO #MATH2299# ASOCIADA con la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$. Así pues, todo $r$-covector $\underline x$ sobre $E$ se expresa únicamente en la forma:

\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\underline x} = \sum\li...
...erline e}^{H} \quad \mbox{con}\quad x_{H} \in {{\mathbb K}}}}$}\end{displaymath}

He aquí el teorema principal de la sección:

Teorema 3.1  
  1. Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. $\forall r \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack $ existe un isomorfismo lineal canónico del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ (la $r$-ésima potencia exterior de $E^*$) sobre el espacio vectorial $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ (dual del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}E$) que permite identificar estos dos espacios vectoriales.

    Una vez hecha esta identificación se tendrá la fórmula:

    \begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{x}_1 \wedge \cdots \w...
...gr\rangle \right)^{1 \leq j \leq r}_{1\leq i \leq r} \right)}$}\end{displaymath}

    $\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E \; , \; \forall \mathop{\vtop{\ialign{...
...{\kern1.5pt\nointerlineskip}
$\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in E^*$.
  2. Sean $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base arbitraria de $E$ y $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$, $\left({\underline e}^{H} \right)^{\vert H\vert=r}$ las bases de sendos espacios vectoriales $\stackrel{r}{\wedge}E$ y de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ asociadas a ésta. Hecha la identificación mencionada, la base $\left({\underline e}^{H} \right)^{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ llega a ser la base dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$.

Demostración
a) Fijemos por el momento un $r$-uplo $(\mathop{\vtop{\ialign{ ... de covectores, elementos de $E^*$. Definamos una aplicación $f(\mathop{\vtop{\ialign{ ... de $E^r$ en ${\mathbb{K}}$ por la fórmula:

$\displaystyle f(\mathop{\vtop{\ialign{ ... $\textstyle = \colon$ $\displaystyle \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{x}_i,\mathop{\vto...
...{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j \le r} \right)$ (2)
$\displaystyle \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$      

Puesto que el determinante de una matriz cuadrada $r\times r$ es una función $r$-lineal alternada de las columnas de dicha matriz (consideradas como vectores en ${{\mathbb{K}}}^r$) se sigue de la definición (2) que:

\begin{displaymath}f(\mathop{\vtop{\ialign{ ...

Apliquemos la propiedad universal de la terna $(E,\stackrel{r}{\wedge} E,\wedge)$. Por la mencionada propiedad universal, existe una única aplicación $L(\mathop{\vtop{\ialign{ ... en el espacio ${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge}\! E, {{\mathbb{K}}})= (\stackrel{r}{\wedge}\! E)^* $ que hace conmutativo el diagrama:

\begin{displaymath}\begin{array}{rccl}
&E^r &\smash{
\mathop{\longrightarrow}\...
...gn{\kern-5pt}}}}\limits ) \\
&{{\mathbb{K}}} & &
\end{array}\end{displaymath}

es decir:

\begin{displaymath}\begin{array}{c}
L(\mathop{\vtop{\ialign{ ...

Llevando esta relación a (2) obtenemos:
$\displaystyle L(\mathop{\vtop{\ialign{ ... $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{x}_i,\mathop{\vto...
...{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j \le r} \right)$ (3)
$\displaystyle \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$      

``Liberemos'' ahora $\mathop{\vtop{\ialign{ ... y estudiemos la aplicación:

\begin{displaymath}L\colon (\mathop{\vtop{\ialign{ ...

de $(E^*)^r$ en $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$.

Debido al teorema 1.4.15, el determinante de una matriz $r\times r$ es también una función $r$-lineal alternada de las filas de dicha matriz (consideradas como vectores en ${{\mathbb{K}}}^r$). En vista de esto, se desprende fácilmente de la relación (3) que $L \in \mbox{\rm Alt}_r (E^*,(\stackrel{r}{\wedge} E)^*)$. Apliquemos la propiedad universal de la terna $(E^*,\stackrel{r}{\wedge}(E^*),\wedge)$. En virtud de ésta, existe una aplicación lineal única $\varphi$ de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ en $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ que hace conmutativo el diagrama:

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
(E^*)^r&\smash{
\mathop{\longrightarrow}...
...tyle\varphi$}}$}& \\
(\stackrel{r}{\wedge} E)^*& &
\end{array}\end{displaymath}

Vale decir: $\varphi (\mathop{\vtop{\ialign{ ....

Llevando esta relación a (3), conseguimos:

$\displaystyle \bigl\langle \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r, \varphi(\m...
...n1.5pt\nointerlineskip}
$\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits )\bigr\rangle$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{x}_i,\mathop{\vto...
...{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j \le r} \right)$ (4)
$\displaystyle \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$   $\displaystyle \forall \mathop{\vtop{\ialign{ ...  



b) Procedemos a probar que la aplicación lineal $\varphi \colon \stackrel{r}{\wedge}(E^*) \to (\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ es un isomorfismo lineal.

Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ una base arbitraria de $E$. Usamos las bases $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ y $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ asociados a ésta, en sendos espacios $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$.

Sean $H,K$ partes de $\lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack $ de cardinalidad $r$; explícitamente:

\begin{eqnarray*}
H &=\colon& \{ i_1,\ldots,i_r\} \quad , \quad i_1< \cdots < i...
...K &=\colon& \{ j_1,\ldots,j_r\} \quad , \quad j_1< \cdots < j_r
\end{eqnarray*}

Tomemos en (3): $\vec{x}_\alpha = \vec{e}_{i_\alpha}$ para $\alpha =1,\ldots,r$ e $\mathop{\vtop{\ialign{ ... para $\beta=1,\ldots,r$. Obtenemos de (3):
$\displaystyle \bigl\langle {\overline e}_{H},\varphi({\underline e}^{K})\bigr\rangle$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\rm Det } \left( \left( \bigl\langle \vec{e}_{i_\alpha},\ma...
...t}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le \alpha\le r}^{1\le \beta \le r} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\rm Det } \left( \left( \delta_{i_\alpha}^{j_\beta} \right)_{1\le \alpha\le r}^{1\le \beta \le r} \right)$ (5)

Ahora bien, por el lema 2.1.1, el último miembro de (4) es $\delta_{H}^{K}$. La relación (4) se convierte, pues, en:
\begin{displaymath}
\bigl\langle {\overline e}_{H},\varphi({\underline e}^{K})\bigr\rangle = \delta_{H}^{K}
\end{displaymath} (6)

La relación (6) prueba que la familia $\left( \varphi ({\underline e}^{K}) \right)^{\vert K\vert=r}$ es la base del dual $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$, dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}E$.

La aplicación lineal $\varphi$ transforma pues la base $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ en una base de $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$; por lo tanto, es un isomorfismo del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}(E^*)$ sobre el espacio $(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ dual de $\stackrel{r}{\wedge}E$. Dicho isomorfismo es ``canónico'', pues su definición no exige ninguna elección de bases.

Convenimos en usar el isomorfismo $\varphi$ como ``identificación''. Escribimos, pues, simplemente:

\begin{displaymath}
\stackrel{r}{\wedge}(E^*)=(\stackrel{r}{\wedge} E)^* \qquad...
...} \quad \forall {\underline x} \in \stackrel{r}{\wedge} (E^*)
\end{displaymath} (7)

Mediante este convenio, la fórmula (3) reza simplemente:

\begin{displaymath}\begin{array}{c}
\bigl\langle \vec{x}_1\wedge\cdots \wedge \...
...$\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in E^*
\end{array}\end{displaymath}

La fórmula (6) se escribe mediante el convenio:

\begin{displaymath}\bigl\langle {\overline e}_{H},{\underline e}^{K}\bigr\rangle = \delta_{H}^{K}\end{displaymath}

y dice que, hecha nuestra identificación, $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ es la base dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$. $\quad\Box$

Observaciones

A) Debido a la identificación $\stackrel{r}{\wedge} (E^*) =(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ escribimos de aquí en adelante $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ (sin paréntesis) para cualquiera de estos dos espacios vectoriales.

B) La fórmula:

\begin{displaymath}
\bigl\langle \vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_r, \mathop...
...s \bigr\rangle \right)_{1 \le i \le r}^{1 \le j\le r} \right)
\end{displaymath} (8)

suministra explícitamente el valor de todo elemento descomponible de $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ sobre todo elemento descomponible de $\stackrel{r}{\wedge}E$.

Pero todo elemento ${\overline x}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$ puede escribirse como una suma:

\begin{displaymath}{\overline x} = {\overline x}_1+\cdots+{\overline x}_p\end{displaymath}

y todo elemento ${\underline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$ puede escribirse como una suma:

\begin{displaymath}{\underline y}={\underline y}^1+\cdots+{\underline y}^q\end{displaymath}

con ${\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_p\;;\;{\underline y}^1,\ldots,{\underline y}^q$ descomponibles. Tenemos por bilinealidad del símbolo $\bigl\langle \;,\;\bigr\rangle $:

\begin{displaymath}\bigl\langle {\overline x},{\underline y}\bigr\rangle = \sum_...
...e q} \bigl\langle {\overline x}_i,{\underline y}^j\bigr\rangle \end{displaymath}

de donde se ve que, en definitiva, la fórmula (8) describe por completo la dualidad entre $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\stackrel{r}{\wedge} E^*$.

C) Usando las bases $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ de $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ asociadas a una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$, podemos escribir todo elemento $\overline x$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$ únicamente en la forma:

\begin{displaymath}{\overline x}= \sum_{\vert H\vert=r} x^{H} {\overline e}_{H} \qquad \mbox{con} \quad x^{H} \in {{\mathbb{K}}}\end{displaymath}

y todo elemento $\underline y$ de $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ en la forma:

\begin{displaymath}{\underline y}= \sum_{\vert K\vert=r} y_{K} {\underline e}^{K} \qquad \mbox{con} \quad y_{K} \in {{\mathbb{K}}}\end{displaymath}

Ya que $\left({\underline e}^{K} \right)^{\vert K\vert=r}$ es la base dual de la base $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$, se sigue de ahí, por la observación después del teorema 2.2.1:
\begin{displaymath}
\bigl\langle {\overline x},{\underline y}\bigr\rangle = \sum\limits_{\vert H\vert=r} x^{H} y_{H}
\end{displaymath} (9)

Por contraste con la fórmula (8), la fórmula (9) suministra explícitamente el valor de cualquier $r$-covector sobre cualquier $r$-vector.

Sin embargo, comparada con (8), la fórmula (9) sufre la desventaja de no ser ``intrínseca'', pues exige el uso de bases y componentes.

Una aplicación

Una fórmula para el determinante del producto de una matriz $p\times n$ por una matriz $n \times p$.

Sean $p,n\in {\mathbb{N}},\, p<n$. Consideramos unas matrices de elementos en ${\mathbb{K}}$.

\begin{displaymath}{\cal A} = \colon \left( a_j^i \right)_{1 \le j \le n}^{1 \le...
...ight)_{1 \le k \le p}^{1 \le j \le n} \mbox{ de tipo }n\times p\end{displaymath}

Luego ${\cal AB}$ es una matriz de tipo $p\times p$.

Vamos a obtener una interesante fórmula para el determinante de esta matriz ${\cal AB}$.

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre ${\mathbb{K}}$, provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ y $E^*$ su dual provisto de la base $(\mathop{\vtop{\ialign{ ... dual del precedente.

Consideramos los $p$ vectores $\vec{b}_1,\ldots, \vec{b}_p$ de $E$ definidos por:

\begin{displaymath}\vec{b}_k = \colon \sum_{j=1}^n b_k^j \vec{e}_j \quad k\in \lbrack\!\lbrack 1,p
\rbrack\!\rbrack \end{displaymath}

y los $p$ covectores $\mathop{\vtop{\ialign{ ... elementos de $E^*$ definidos por:

\begin{displaymath}\mathop{\vtop{\ialign{ ...

Tenemos $\forall \, i,k \in \lbrack\!\lbrack 1, p \rbrack\!\rbrack $:

\begin{displaymath}\bigl\langle \vec{b}_k , \mathop{\vtop{\ialign{ ...

donde el segundo miembro es el elemento de la fila número $i$ y columna número $j$ de la matriz producto $\cal AB$.

Podemos, pues, escribir:

\begin{displaymath}{\cal AB} = \left( \bigl\langle \vec{b}_k , \mathop{\vtop{\ia...
...}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1 \le k \le p}^{1 \le i \le p}\end{displaymath}

De ahí, por el teorema 2.3.2:
\begin{displaymath}
\mbox{\rm Det }{\cal AB} = \bigl\langle \vec{b}_1 \land \cdo...
...skip}
$\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle
\end{displaymath} (10)

Por otra parte, en virtud del teorema 1.4.18 (sobre las componentes de un multivector descomponible), vale:

\begin{displaymath}\vec{b}_1 \land \cdots \land \vec{b}_p = \sum_{\vert H\vert=p...
...A^{\lbrack\!\lbrack 1,p\rbrack\!\rbrack }_{H} \underline{e}^{H}\end{displaymath}

Aquí $B_{\lbrack\!\lbrack 1,p\rbrack\!\rbrack }^H$ y $A_H^{\lbrack\!\lbrack 1,p \rbrack\!\rbrack }$ son los menores de orden $p$ de sendas matrices $\cal B$, $\cal A$.

De ahí se sigue, por la fórmula (9) de la precedente observación c):

\begin{displaymath}
\bigl\langle \vec{b}_1 \land \cdots \land \vec{b}_p,\mathop{...
...rbrack\!\rbrack } B_{\lbrack\!\lbrack 1,p\rbrack\!\rbrack }^H
\end{displaymath} (11)

Al comparar las relaciones (10) y (11) obtenemos la fórmula final deseada:

\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \mbox{\rm Det }({\cal AB...
...ck\!\rbrack } B^H_{\lbrack\!\lbrack 1,p \rbrack\!\rbrack } }}$}\end{displaymath}

Nota
Con las notaciones de nuestra aplicación ${\cal BA}$ es una matriz $n\times n$. Pero es patentemente de rango $\le p<n$, luego no es inversible. Por lo tanto:

\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Det }({\cal BA}) = 0}$}\end{displaymath}



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Guillermo M. Luna
2009-06-14