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Interpretación ``dual'' del producto exterior de formas exteriores

Si ${\underline y} \in \stackrel{p}{\wedge} E^*$ y ${\underline z} \in \stackrel{q}{\wedge} E^*$ tenemos ${\underline y} \wedge {\underline z} \in \stackrel{p+q}{\wedge} E^*=$ [dual de $\stackrel{p+q}{\wedge} E$]. Es deseable caracterizar la forma exterior ${\underline y}\wedge{\underline z}$ de grado $p+q$, obteniendo sus valores sobre los elementos de $\stackrel{p+q}{\wedge} E$ o, por lo menos, sobre los $(p+q)$-vectores descomponibles. Esta tarea la cumple:

Teorema 3.2   Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita, ${\underline y} \in \stackrel{p}{\wedge} E^*$ y ${\underline z} \in \stackrel{q}{\wedge} E^*$. Para todo $(p+q)$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{p+q})$ de vectores de $E$ vale la fórmula:

$$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{x}_1\wedge \cdots \we... ...\langle {\overline x}_{H^\prime},{\underline z}\bigr\rangle }$}$$

Las notaciones de esta fórmula son las siguientes:

Si $H \subset \lbrack\!\lbrack 1,p+q \rbrack\!\rbrack$ y $\vert H\vert=p$, explícitamente $H=\{ i_1,\ldots,i_p\}$, donde los dígitos están ordenados $i_1<\cdots<i_p$, ${\overline x}_{H}$ designa el $p$-vector descomponible $\vec{x}_{i_1}\wedge \cdots \wedge \vec{x}_{i_p}$. $H^\prime$, parte de $\lbrack\!\lbrack 1,p+q \rbrack\!\rbrack$ de cardinalidad $q$, es, por definición, el complemento de $H$ con respecto a $\lbrack\!\lbrack 1,p+q \rbrack\!\rbrack$. Si $H^\prime =\{j_1,\ldots,j_q\}$, con $j_1<\cdots <j_q$, análogamente a la definición de ${\overline x}_{H}$, ${\overline x}_{H^\prime}$ se define como el $q$-vector descomponible $\vec{x}_{j_1}\wedge\cdots\wedge \vec{x}_{j_q}$.

Demostración
Basta probar el teorema suponiendo que no sólo el $(p+q)$-vector considerado, sino también las formas exteriores $\underline{y}, \, \underline{z}$ son descomponibles. Ponemos pues:

$$\underline{y}= \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

donde son covectores, elementos de $E^*$. Se cumple pues:

$$\bigl\langle \vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_{p+q} , \un... ...eskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle$$

o sea:

$$\bigl\langle \vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_{p+q}, \un... ...gr\rangle \right)_{1 \le k \le p+q}^{1 \le i \le p+q} \right)$$ (12)

El determinante a la derecha de (12) lo vamos desarrollando por la fórmula de Laplace (Aplicación 3 del teorema 1.4.18). En dicha fórmula tomamos $H= \colon \{ 1, \ldots, p \}$ y $H'=\colon \{ p+1, \ldots, p+q\}$, luego $\rho_{_{H,H'}}=1$.

Al designar por $X_{\lbrack\!\lbrack 1,p \rbrack\!\rbrack }^K$ y $X_{\lbrack\!\lbrack p+1, p+q\rbrack\!\rbrack }^{K'}$ menores de sendos órdenes $p$, $q$ del determinante a la derecha de (12), obtenemos:

$$\begin{array}{r} \bigl\langle \vec{x}_1 \land \cdots \land \v... ...cha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle } \end{array}$$

o sea, en definitiva:

$$\bigl\langle \vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_{p+q} , \un... ...e \bigl\langle \overline{x}_{_{K'}}, \underline{z}\bigr\rangle$$

$\quad\Box$

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