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Aplicación dual de una potencia exterior de una aplicación lineal

Teorema 3.3   Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas y $A$ una aplicación lineal $E \to F$. Sea $r \in {{\mathbb{N}}}$.

Con las identificaciones $\stackrel{r}{\wedge} (E^*) =(\stackrel{r}{\wedge} E)^*$ y $\stackrel{r}{\wedge} (F^*) =(\stackrel{r}{\wedge} F)^*$ del teorema 2.2.13 vale:

$$\fbox{${\displaystyle \stackrel{r}{\wedge}(A^*)=(\stackrel{r}{\wedge} A)^*}$}$$

Demostración
Sean elementos arbitrarios. Por definiciones de la aplicación dual de una potencia exterior de una aplicación lineal y el teorema 2.3.1, obtenemos:

$\bigl\langle \vec{x}_1\wedge\cdots\wedge \vec{x}_r,(\stackrel{r}{\wedge} A)^*(\... ...t\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits )\bigr\rangle \;=$

$$= \bigl\langle (\stackrel{r}{\wedge} A)(\vec{x}_1\wedge\cdots\wedge... ...rn1.5pt\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle$$

$$= \bigl\langle A\vec{x}_1\wedge\cdots\wedge A\vec{x}_r,\mathop{\vto... ...rn1.5pt\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle$$

$$= \mbox{\rm Det }\left( \left( \bigl\langle A \vec{x}_i,\mathop{\vt... ...n{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j\le r} \right)$$

$$= \mbox{\rm Det }\left( \left( \bigl\langle \vec{x}_i,A^* \mathop{\... ...n{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle \right)_{1\le i\le r}^{1\le j\le r} \right)$$

$$= \bigl\langle \vec{x}_1\wedge\cdots\wedge \vec{x}_r),A^* \mathop{\... ...rn1.5pt\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \bigr\rangle$$

$$= \bigl\langle \vec{x}_1\wedge\cdots\wedge \vec{x}_r),\stackrel{r}{... ...n1.5pt\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits )\bigr\rangle$$ (13)

La igualdad del primero con el último miembro de (13) muestra que los elementos y de $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ toman el mismo valor sobre todo elemento descomponible de $\stackrel{r}{\wedge}E$. De que dichos elementos descomponibles engendran el espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}E$, concluimos que:

$$(\stackrel{r}{\wedge} A)^*(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (14)

La relación (14) dice que las aplicaciones lineales $(\stackrel{r}{\wedge} A)^* \;\mbox{y} \; \stackrel{r}{\wedge} (A^*)$ coinciden sobre todo elemento descomponible del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}F^*$. Puesto que dichos elementos descomponibles engendran al espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}F^*$, se sigue de (14): $\stackrel{r}{\wedge}(A^*)=(\stackrel{r}{\wedge} A)^*$. $\quad\Box$

Corolario 3.1   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Se verifica para todo endomorfismo lineal $A$ de $E$:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Det } A^*= \mbox{\rm Det } A}$}$$

Demostración
Sea $n=\mbox{\rm dim }E$. Sean ${\overline u}\in \stackrel{n}{\wedge} E,\;{\underline v}\in \stackrel{n}{\wedge} E^*$ tales que ${\overline u}\ne0,\;{\underline v}\ne 0$. De esta hipótesis se sigue que $\bigl\langle {\overline u},{\underline v}\bigr\rangle \ne 0$, pues, de lo contrario, por constituir $({\overline u})$ una base del espacio vectorial $\stackrel{n}{\wedge} E$ de dimensión 1, se seguiría ${\underline v}=0$.

Usando la definición de determinantes y la relación $(\stackrel{n}{\wedge} A)^*=\stackrel{n}{\wedge} (A^*)$ que resulta del teorema 2.3.3, obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} (\mbox{\rm Det } A)\bigl\langle {\overline u},{\underline v}\... ...Det } A^*)\bigl\langle {\overline u},{\underline v}\bigr\rangle \end{eqnarray*}$$

de donde, al dividir por $\bigl\langle {\overline u},{\underline v}\bigr\rangle$: $\mbox{\rm Det } A=\mbox{\rm Det } A^*$. $\quad\Box$

Nota
Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de $E$. Del teorema 2.2.6 se sigue que la matriz de $A$ con respecto a la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ y la matriz de $A^*$ con respecto a la base de $E^*$, dual de la precedente, son matrices transpuestas una de otra. Por el teorema 1.33 dichas matrices tienen determinantes iguales, de donde se obtiene una nueva demostración del corolario anterior.

Nuestro corolario es una contrapartida ``intrínseca'' del teorema 1.4.15 que probamos por un mero cálculo sin quitarle el misterio. Por desgracia, con nuestro enfoque no podemos considerar el presente corolario como una demostración del teorema 1.4.15, pues usamos este último como un importante ingrediente de la prueba del teorema 2.3.1 y, por ende, de lo que sigue.

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