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Cambio de ``coeficientes vectoriales'' para formas exteriores vectoriales

Consideremos una forma exterior vectorial de grado $r$: ${{\frak h}} \in {\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$. Según el teorema 2.4.2 expresémosla de dos maneras:

$${{\frak h}} = \sum_{\vert H\vert=r} \vec{c}_{H} \otimes {\und... ...e f}^{K} \quad \mbox{con} \quad \vec{c}_{H},\;\vec{d}_{K} \in F$$

En virtud de la fórmula (10) encontramos:

$$\vec{d}_{K} = {{\frak h}} ({\overline f}_{K}) = {{\frak h}} \... ...) = \sum_{\vert H\vert=r} S_K^H {{\frak h}} ({\overline e}_{H})$$

O sea:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \vec{d}_{K} = \sum\limits_{\vert H\vert=r} S_K^H \vec{c}_{H}}}$}}$$ (18)

fórmula análoga a (17).

Observación 1.

Se obtiene fórmulas correctas análogas a las del $\S 5$ intercambiando la antigua y la nueva base y correspondientemente las antiguas y las nuevas componentes y cambiando la matriz de transición $\cal S$ por su inversa:

$${\cal T} = \colon{\cal S}^{-1} = \left( t_k^i \right)_{1 \le k \le n}^{1\le i \le n}$$

Por ejemplo, las fórmulas (14) equivalen a:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle y^i = \sum\limits_{k=1}^n t_k^i x^k \; , \quad i=1,\ldots,n}}$}$$

Las fórmulas (17) equivalen a:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle x_{K} = \sum\limits_{\vert H\vert=r} T_K^{H} y_{H} \; ,\quad \vert K\vert=r}}$}$$

donde $T_K^H$ son los menores de orden $r$ de la matriz $\cal T$. Las fórmulas (18) equivalen a:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \vec{c}_{K} = \sum\limits_{\vert H\vert=r} T_K^H \vec{d}_{H}}}$}$$

Observación 2.

Para manejar correctamente las fórmulas del $\S 5$ conviene atender a la posición de los índices (o sea, distinguir cuidadosamente entre ``índices superiores'' e ``índices inferiores'') y tener en cuenta las siguientes indicaciones:

1. Las componentes de multivectores llevan los índices arriba; aquellas de multicovectores llevan los índices abajo.
2. Toda sumación se hace sobre un índice mudo que figura en la fórmula una vez arriba y otra abajo.
3. El índice libre que figura a la izquierda de cada fórmula figura a la derecha en la misma posición. (Si está abajo a la izquierda estará abajo a la derecha; si está arriba a la izquierda, estará arriba a la derecha.)
4. Si trabajamos con la matriz de transición $\cal S$, las fórmulas establecidas suministran:
   • Las antiguas componentes de multivectores en función de las nuevas.
   • Las nuevas componentes de multicovectores en función de las antiguas.
   Más adelante, al aplicar las fórmulas del $\S 5$ a los ``cambios de mapas'' en variedades diferenciables, veremos cómo en esta aplicación los cálculos se mecanizan todavía más.

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