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Recordemos el siguiente resultado elemental de álgebra lineal.
Mediante dicho isomorfismo canónico convenimos en identificar los espacios vectoriales
. Escribimos simplemente:
Demostración
- Patentemente
la aplicación
es lineal, o sea,
.
vale:
o sea:
Así pues, la aplicación
es una aplicación lineal de
en
.
- Supongamos que
, vale decir
. Al tomar en particular
, obtenemos
. Esto muestra que la aplicación lineal
es
inyectiva.
- Sea
una aplicación arbitraria de
en
, elemento de
. Definamos
.
se cumple:
luego
. Así pues, la aplicación lineal
es superyectiva.
Definición 4.1
Sean
espacios vectoriales;
de dimensión finita.
los elementos del espacio vectorial
(es decir, aplicaciones lineales
) se llaman FORMAS EXTERIORES VECTORIALES DE GRADO SOBRE EL ESPACIO VECTORIAL , DE VALORES EN .
Observación
Por el convenio que precede:
Es decir: Las forma exteriores de grado cero sobre
, de valores en
, son simplemente elementos de
.
Observación
Por el teorema 2.3.1 vale:
Así pues las ``formas exteriores escalares'' que estudiamos hasta el momento son un caso particular de formas exteriores vectoriales.
Observación
Por el teorema 2.1.7 vale la identificación:
Explícitamente todo elemento
puede identificarse con la aplicación
que es una aplicación
-lineal alternada
.
Teorema 4.2
Sea
una base de E. Sean
y
las bases asociadas de sendos espacios vectoriales
y
. Toda forma exterior vectorial
puede representarse únicamente como:
Más precisamente, vale:
Demostración
- Sea
. Definamos
por:
 |
(1) |
Si
vale
en particular:
 |
(2) |
Para vectores arbitrarios
escribamos:
e introduzcamos la matriz
de tipo
.
Por el teorema 2.1.3 y la relación (2) se verifica:
 |
(3) |
donde
son los menores de orden
de la matriz
.
En virtud de (1), la relación (3) equivale a:
 |
(4) |
Pero por el teorema 1.4.18:
de donde, siendo la base
la dual de la base
:
Llevando esto a (4), conseguimos:
Ya que los elementos descomponibles engendran
, la relación (5) entraña la fórmula enunciada:
 |
(6) |
- Queda por probar que (6) es la única representación:
 |
(7) |
Pero si
, obtenemos sin más de (7):
Subsections
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Guillermo M. Luna
2009-06-14