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Formas exteriores vectoriales

Recordemos el siguiente resultado elemental de álgebra lineal.

Teorema 4.1   Sea F un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$. $\forall\vec{u} \in F$ sea $L_{\vec u} \colon {{\mathbb{K}}} \to F$ la aplicación:

$$L_{\vec u}(\alpha)=\colon \alpha \vec{u} \qquad \forall \alpha \in {{\mathbb{K}}}$$

La aplicación $\vec{u}\mapsto L_{\vec u}$ es un isomorfismo lineal (canónico) del espacio vectorial $F$ sobre el espacio vectorial ${\cal L}({{\mathbb{K}}},F)$ de las aplicaciones lineales ${{\mathbb{K}}} \to F$. El isomorfismo inverso es $L\mapsto L(1)$.

Mediante dicho isomorfismo canónico convenimos en identificar los espacios vectoriales ${\cal L}({{\mathbb{K}}},F) \;\mbox{y}\; F$. Escribimos simplemente:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal L}({{\mathbb K}},F)=F}$}$$

Demostración

1. Patentemente $\forall\vec{u} \in F$ la aplicación $L_{\vec u}$ es lineal, o sea, $L_{\vec u} \in {\cal L}({{\mathbb{K}}},F)$. $\forall \vec{u}_1,\;\vec{u}_2 \in F \;\forall \lambda_1,\;\lambda_2;\;\alpha \in {{\mathbb{K}}}$ vale:
   
   $$\begin{array}{rclrcl} L_{\lambda_1\vec{u}_1+\lambda_2\vec{u}... ...1 L_{\vec{u}_1} +\lambda_2 L_{\vec{u}_2}) (\alpha) \end{array}$$
   
   
   o sea:
   
   $$L_{\lambda_1\vec{u}_1+\lambda_2\vec{u}_2}=\lambda_1 L_{\vec{u}_1} +\lambda_2 L_{\vec{u}_2}$$
   
   
   Así pues, la aplicación $\vec{u}\mapsto L_{\vec u}$ es una aplicación lineal de $F$ en ${\cal L}({{\mathbb{K}}},F)$.
2. Supongamos que $L_{\vec u} =0$, vale decir $\alpha\vec{u}=0 \;\forall \alpha \in {{\mathbb{K}}}$. Al tomar en particular $\alpha =1$, obtenemos $\vec{u} =0$. Esto muestra que la aplicación lineal $\vec{u}\mapsto L_{\vec u}$ es inyectiva.
3. Sea $L$ una aplicación arbitraria de ${{\mathbb{K}}}$ en $F$, elemento de ${\cal L}({{\mathbb{K}}},F)$. Definamos $\vec{u}=\colon L(1) \in F$. $\forall \alpha \in {{\mathbb{K}}}$ se cumple:
   
   $$L_{\vec u}(\alpha)=\alpha \vec u =\alpha L(1)=L(\alpha \cdot 1)= L(\alpha)$$
   
   
   luego $L=L_{\vec u}$. Así pues, la aplicación lineal $\vec u \mapsto L_{\vec u}$ es superyectiva. $\quad\Box$

Definición 4.1   Sean $E, F$ espacios vectoriales; $E$ de dimensión finita. $\forall r \in {{\mathbb{N}}}\cup\{ 0\}$ los elementos del espacio vectorial ${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$ (es decir, aplicaciones lineales $\stackrel{r}{\wedge} E \to F$) se llaman FORMAS EXTERIORES VECTORIALES DE GRADO SOBRE EL ESPACIO VECTORIAL , DE VALORES EN .

Observación
Por el convenio que precede:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal L}(\stackrel{0}{\wedge} E,F)={\cal L}({{\mathbb K}},F)=F}$}$$

Es decir: Las forma exteriores de grado cero sobre $E$, de valores en $F$, son simplemente elementos de $F$.

Observación
Por el teorema 2.3.1 vale:

$${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E, {{\mathbb{K}}}) =(\stackrel{r}{\wedge} E) ^* = \stackrel{r}{\wedge} (E^*)$$

Así pues las ``formas exteriores escalares'' que estudiamos hasta el momento son un caso particular de formas exteriores vectoriales.

Observación
Por el teorema 2.1.7 vale la identificación:

$${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge}E,F) \approx \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$$

Explícitamente todo elemento ${\frak f} \in {\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$ puede identificarse con la aplicación $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \mapsto {\frak f} (\vec{x}_1\wedge\cdots\wedge \vec{x}_r)$ que es una aplicación $r$-lineal alternada $E^r \to F$.

Definición 4.2   Sean $E, F$ espacios vectoriales; $E$ de dimensión finita. $\forall {\underline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E^*, \; \forall \vec{c} \in F$ designemos por $\vec{c}\otimes{\underline y}$ la aplicación ${\overline x}\mapsto\bigl\langle {\overline x},{\underline y}\bigr\rangle \vec{c}$ de $\stackrel{r}{\wedge}E$ en $F$.

$$\fbox{${\displaystyle (\vec{c}\otimes{\underline y}_{})({\ove... ...c{c} \qquad \forall {\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E}$}$$

Claramente $\vec{c} \otimes {\underline y} \in {\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$ y la aplicación $(\vec{c},{\underline y}) \mapsto \vec{c} \otimes {\underline y}$ es una aplicación bilineal (llamada PRODUCTO TENSORIAL) de $F \times \stackrel{r}{\wedge}E^*$ en ${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$. Tales elementos $\vec{c}\otimes{\underline y}$ los llamaremos ELEMENTOS SIMPLES de ${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$.

Teorema 4.2   Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de E. Sean $\left( {\overline e}_{H} \right)_{\vert H\vert=r}$ y $\left({\underline e}^{H} \right)^{\vert H\vert=r}$ las bases asociadas de sendos espacios vectoriales $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\stackrel{r}{\wedge} E^*$. Toda forma exterior vectorial ${\frak f} \in {\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$ puede representarse únicamente como:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\frak f}=\sum\limits_{\... ...s {\underline e}^{H}\quad \mbox{con}\quad \vec{c}_{H} \in F}}$}$$

Más precisamente, vale:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\frak f}=\sum\limits_{\... ...=r} {\frak f}({\overline e}_{H}) \otimes {\underline e}^{H}}}$}$$

Demostración

1. Sea ${\frak f} \in {\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$. Definamos $g\colon E^r \to F$ por:
   

   $$g(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=\colon {\frak f}(\vec{x}_1\we... ... \vec{x}_r) \qquad \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$$ (1)

   
   
   Si $H\subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack ,\;H=\{i_1,\ldots,i_r\},\; i_1<\cdots<i_r$ vale en particular:
   

   $$g(\vec{e}_{i_1},\ldots,\vec{e}_{i_r})={\frak f}({\overline e}_{H})$$ (2)

   
   
   Para vectores arbitrarios $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$ escribamos:
   
   $$\vec{x}_k = \sum_{i=1}^n x_k^i \vec{e}_i \qquad k=1,\ldots,n$$
   
   
   e introduzcamos la matriz ${\cal X}=\colon \left( x_k^i \right)_{1\le k \le r}^{1\le i \le n}$ de tipo $n\times r$.

   Por el teorema 2.1.3 y la relación (2) se verifica:
   

   $$g(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=\sum_{\vert H\vert=r} X_{\lbr... ...lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^H {\frak f}({\overline e}_{H})$$ (3)

   
   
   donde $X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^H$ son los menores de orden $r$ de la matriz $\cal X$.

   En virtud de (1), la relación (3) equivale a:
   

   $${\frak f}(\vec{x}_1\wedge\cdots\wedge\vec{x}_r)= \sum_{\ver... ...lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^H {\frak f}({\overline e}_{H})$$ (4)

   
   
   Pero por el teorema 1.4.18:
   
   $$\vec{x}_1\wedge\cdots\wedge\vec{x}_r=\sum_{\vert K\vert=r} X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^K {\overline e}_{K}$$
   
   
   de donde, siendo la base $({\underline e}^{H})^{\vert H\vert=r}$ la dual de la base $({\overline e}_{K})_{\vert K\vert=r}$:
   
   $$\bigl\langle \vec{x}_1\wedge\cdots\wedge\vec{x}_r,{\underline e}^{H}\bigr\rangle =X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^H$$
   
   
   Llevando esto a (4), conseguimos:
   

   $${\frak f}(\vec{x}_1\wedge\cdots\wedge\vec{x}_r) = \sum_{\vert H\vert=r} \bigl\langle \vec{x}_1\wedge\cdots\wedge \vec{x}_r,{\underline e}^{H}\bigr\rangle {\frak f}({\overline e}_{H})$$

   $$= \sum_{\vert H\vert=r}({\frak f}({\overline e}_{H}) \otimes {\underline e}^{H}) (\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r)$$ (5)

   
   
   Ya que los elementos descomponibles engendran $\stackrel{r}{\wedge}E$, la relación (5) entraña la fórmula enunciada:
   

   $${\frak f}=\sum_{\vert H\vert=r} {\frak f}({\overline e}_{H}) \otimes {\underline e}^{H}$$ (6)

   
   

2. Queda por probar que (6) es la única representación:
   

   $${\frak f} = \sum_{\vert H\vert=r} \vec{c}_{H} \otimes{\underline e}^{H} \qquad \mbox{con} \qquad \vec{c}_{H} \in F$$ (7)

   
   
   Pero si $K \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack \;\mbox{y}\; \vert K\vert=r$, obtenemos sin más de (7):
   
   $${\frak f} ({\overline e}_{K}) = \sum_{\vert H\vert=r} \bigl\l... ... \sum_{\vert H\vert=r} \delta_{K}^{H} \vec{c}_{H} = \vec{c}_{K}$$
   
   
   $\quad\Box$

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