Espacios afines

Para una exposición rigurosa de ``geometría analítica'' se puede tomar como marco el espacio numérico ${\mathbb{R}}^n$ (en los casos más elementales

). Tal enfoque se puede, sin embargo, objetar tanto desde el punto de vista intuitivo como técnico. Intuitivamente un punto del espacio ``ordinario'' no se ofrece como un

-uplo de números reales. Técnicamente, la presencia de un sistema privilegiado de coordenadas no facilita el trabajo, pues el ``buen sentido geométrico'' exigiría en cada caso la elección de un sistema de coordenadas mejor adaptado al problema que se trate. La rigidez del marco algo se alivia, si sustituimos ${\mathbb{R}}^n$ por un espacio vectorial real arbitrario

de dimensión

. Pero

posee un punto privilegiado, a saber el punto cero y la intuición geométrica no acepta punto privilegiado alguno en el espacio. Las operaciones algebraicas sobre los puntos, es decir, sobre ``vectores'' de

, también carecen de sentido geométrico a menos de que se les refiera a dicho punto privilegiado.

Una salida de la dificultad es distinguir cuidadosamente entre ``puntos'' del espacio y ``vectores'', elementos de un espacio vectorial, quedando cada vector definido (de muchas maneras) por un par de puntos. Así se construye la GEOMETR´iA AF´iN que es, simplemente, la geometría ``usual'' pero privada de distancias y ángulos. Para que éstos hagan su aparición, es necesario enriquecer la estructura inicial, dotando nuestro espacio de ``vectores'' de un producto escalar.

En el rápido vistazo a continuación no será necesario suponer de antemano que se trabaja en dimensión finita. Tampoco hasta la entrada en juego de espacios afines normados será útil suponer que el cuerpo de base ${\mathbb{K}}$ es el cuerpo ${\mathbb{R}}$ . Sin embargo, serán a fin de cuentas los espacios afines (normados) reales de dimensión finita los más simples entre las variedades diferenciables, los cuales desempeñarán un papel importante en nuestro libro como fuente de motivación de conceptos aplicables a variedades diferenciables generales.

Definición 1.1 Sean $\cal E$ un conjunto cuyos elementos llamaremos PUNTOS y un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$ . Los elementos de se llamarán VECTORES y se designarán por letras con flecha encima. Suponemos dada una aplicación

$\begin{displaymath}\Delta \colon (A,B) \mapsto \overrightarrow {AB}\end{displaymath}$

de ${\cal E} \times \cal E$ en . La terna $({\cal E},E, \Delta )$ se llama ESPACIO AF´iN SOBRE EL ESPACIO VECTORIAL , si se cumplen los axiomas:

$\fbox{\begin{minipage}{12cm} \begin{tabular}{cl} i) & $\overrightarrow {AB} =0 ... ...n {\cal E}$\ tal que $\overrightarrow {PQ}= \vec u$ \end{tabular}\end{minipage}}$