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Semiespacios

Definición 1.9  

1. Sea $\cal E$ un espacio afín real y sean $a,\, b$ puntos de $\cal E$. El conjunto:
   
   $$\fbox{${\displaystyle {[a,b]}= \colon \left\{ a + t(b-a) \bigm\vert 0 \le t \le 1 \right\}}$}$$
   
   
   se llama SEGMENTO DE EXTREMOS $a,b$ en $\cal E$.
2. Un subconjunto $\cal S$ de $\cal E$ se llama CONJUNTO CONVEXO en $\cal E$, si rige la implicación:
   
   $$\fbox{${\displaystyle a,b \in {\cal S} \Rightarrow [a,b] \subset {\cal S}}$}$$
   
   

Observación 1

Sea $H$ un subespacio maximal de un espacio vectorial $E$. Puesto que $H \ne E$ existe $\vec u \in E$ tal que $\vec u \notin H$. El subespacio ${\cal L}(H,\vec u)$ de $E$ engendrado por el conjunto $H \cup \{ \vec u \}$ contiene a $H$ propiamente, luego coincide con $E$. En otras palabras, todo vector de $E$ se expresa únicamente en la forma:

$$\vec h + t \vec u \quad \mbox{con} \quad \vec h \in H \;\; \mbox{y} \;\; t \in {\mathbb{K}}$$

Sean ahora $\cal H$ un hiperplano en un espacio afín $\cal E$ y $H = \colon \mbox{\rm Dir } \cal H$. Sea $a$ un punto de $\cal H$. Todo punto de $\cal E$ se expresa únicamente en la forma:

$$a + \vec h + t \vec u \quad \mbox{con} \quad \vec h \in H \;\; \mbox{y} \; \; t \in {\mathbb{K}}$$

Pero todo punto del hiperplano $\cal H$ se representa únicamente en la forma $a + \vec h$ con $\vec h \in H$.

Así pues, todo punto de $\cal E$ se escribe únicamente como $h+ t \vec u$ con $h\in {\cal H}$ y $t \in {\mathbb{K}}$.

Observación 2

Con las notaciones de la observación 1, el complemento de $\cal H$ en $\cal E$ es la reunión de dos conjuntos ajenos $\cal S$ y ${\cal S}^\prime$ donde:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} {\cal S} &=& \colon ... ...\vec u \bigm\vert h \in {\cal H} , t<0 \right\} \end{array}}$}$$

Dichos conjuntos son convexos. Además, si $a \in {\cal S}$ y $a^\prime \in {\cal S}^\prime$ el segmento $[a,a^\prime ]$ interseca $\cal H$ en un punto.

Demostración

1. Supongamos que puntos $a$ y $b$ están ambos en $\cal S$ o ambos en ${\cal S}^\prime$. Escribamos: $a = \colon h + s \vec u$, $b = \colon k + t \vec u$ con $h,\, k \in {\cal H}$ y $s,\, t$ no nulos del mismo signo. Todo punto del segmento $[a,b]$ es de la forma:
   

   $$a + \theta (b-a)= h + \theta (k-h)+ \left( (1-\theta)s + \theta t\right) \vec u \quad \mbox{con}\quad 0\le \theta \le 1$$ (34)

   
   
   Aquí $h + \theta (k-h) \in {\cal H}$ y el número $(1-\theta ) s + \theta t$ es del mismo signo que $s$ y $t$. Se sigue pues de (34) que bien $[a,b] \subset {\cal S}$ o bien $[a,b] \subset {\cal S}^\prime$.

   Los conjuntos $\cal S$ y ${\cal S}^\prime$ son, pues, convexos.

2. Sean $a \in {\cal S}$ y $b \in {\cal S}^\prime$. Podemos escribir:
   $$\begin{eqnarray*} a &=& \colon h + t \vec u\quad \mbox{con} \quad h \in {\cal H}... ...{con} \quad h^\prime \in {\cal H} \;\; \mbox{y} \;\; t^\prime >0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   Todo punto del segmento $[a,a^\prime ]$ es de la forma:
   

   $$m=\colon a + \theta (a^\prime -a) = h+ \theta(h^\prime- h)+ \left( t-\theta (t^\prime + t ) \right) \vec u$$ (35)

   
   
   con $0 \le \theta \le 1$.

   De (35) se ve que $m \in \cal H$ si y sólo si $\theta = {t \over t+t^\prime}$. Este $\theta$ satisface $0 < \theta <1$, luego el segmento $[a,a^\prime ]$ interseca $\cal H$ en un punto. $\quad\Box$

Observación 3.

En el conjunto ${\cal E}-{\cal H}$ definamos una relación ``$\sim$'' por

$$\fbox{${\displaystyle m \sim m^\prime \iff [m,m^\prime ] \subset {\cal E}- {\cal H} }$}$$

Por la observación 2 vale $m\sim m^\prime$ si y sólo si ambos puntos $m$ y $m^\prime$ están en $\cal S$ o ambos están en ${\cal S}^\prime$. Ya que $({\cal S},{\cal S}^\prime )$ es una partición del conjunto ${\cal E}-{\cal H}$, la relación ``$\sim$'' es una relación de equivalencia en ${\cal E}-{\cal H}$. Hay exactamente dos clases de equivalencia, a saber: los conjuntos $\cal S$ y ${\cal S}^\prime$. De ahí se desprende que el par de conjuntos $({\cal S},{\cal S}^\prime )$ depende solamente del hiperplano $\cal H$. No depende de la elección del vector $\vec u$.

Definición 1.10  

1. Con las notaciones precedentes los dos conjuntos ${\cal S},\, {\cal S}^\prime$ se llaman los dos SEMIESPACIOS DE BORDE $\cal H$. Se dicen los SEMIESPACIOS OPUESTOS uno de otro.
2. Los conjuntos ${\cal S} \cup \cal H$ y ${\cal S}^\prime \cup \cal H$ se llaman los dos SEMIESPACIOS CERRADOS DE BORDE (OPUESTOS UNO DE OTRO).
3. Si $\vec u \in E$, y $\vec u \notin Dir\, \cal H$ se dice que el vector $\vec u$ APUNTA HACIA EL SEMIESPACIO $\cal S$ si
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\cal S} = \left\{ h + t \vec u \bigm\vert h \in {\cal H}, \, t>0 \right\}}$}$$
   
   

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