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Aplicaciones afines

Definición 1.5   Sean ${\cal E},\, {\cal F}$ espacios afines y $E$, $F$ sus sendos espacios vectoriales asociados. Una aplicación $\Phi \colon {\cal E} \to {\cal F}$ se llama APLICACIÓN AF´iN si existe una aplicación lineal $L \colon E \to F$ tal que $\forall \, M,\, N \in \cal E$:

$$\Phi (M) - \Phi(N) = L (M-N)$$ (14)

Debido a que, por el axioma iii) de espacios afines, todo vector de $E$ puede expresarse (de muchas maneras) en la forma $M-N$ con $M,\, N \in {\cal E}$ la aplicación lineal $L$, si existe, es única. Se llama la PARTE LINEAL DE LA APLICACIÓN AF´iN $\Phi$. La designaremos por la notación $\Phi_*$. La fórmula (14) reza pues en definitiva:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Phi(M)- \Phi(N) = \Phi_* (M-N) \quad \forall \, M,\, N \in {\cal E}}$}}$$ (15)

O sea, al poner $\vec u = \colon M-N$:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Phi(N+ \vec u) = \Phi(N) + \Phi_... ...c u) \quad \forall \,N \in {\cal E}\; \forall \vec u \in E}$}}$$ (16)

El RANGO (finito o no) de la aplicación afín $\Phi$ es, por definición, el rango de la aplicación lineal $\Phi_*$:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm ran } \Phi =\colon \mbox{\rm ran }\Phi_*}$}$$

Teorema 1.5   (Existencia y unicidad de aplicaciones afines) Sean ${\cal E},\, {\cal F}$ espacios afines y $E$, $F$ sus sendos espacios vectoriales asociados. Sean dados puntos $I \in {\cal E},\, J \in {\cal F}$ y una aplicación lineal $L \colon E \to F$. Existe una y sólo una aplicación afín $\Phi \colon {\cal E} \to {\cal F}$ tal que:

$$\Phi(I)=J \quad \mbox{y} \quad \Phi_* = L$$

Está dada por la fórmula:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Phi (M) = J + L (M-I) \quad \forall \, M \in {\cal E}}$}}$$ (17)

equivalentemente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Phi (I + \vec u) = J + L \vec u \quad \forall \, \vec u \in E}$}}$$ (18)

Demostración

Unicidad.

Supongamos que existe la aplicación afín deseada $\Phi$. Aplicando la fórmula (16) arriba con $N=I$ y teniendo en cuenta la condición $\Phi(I)=J$ obtenemos la fórmula (17)

$$\Phi (M) = J + L (M-I) \quad \forall \, M \in {\cal E}$$

De esto se desprende que si $\Phi$ existe, es única.

Existencia.

Definamos una aplicación $\Phi \colon {\cal E} \to {\cal F}$ por la fórmula (17). Es claro que $\Phi(I)=J$. Para dos puntos arbitrarios $M,\, N \in {\cal E}$ vale (17) y

$$\Phi(N) = J + L(N-I)$$ (19)

Al restar (19) de (17) obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} \Phi(M)- \Phi(N) &=& L (\overrightarrow {IM}) - L(\overrightarrow {IN}) \quad \mbox{o sea,} \\ \Phi(M)-\Phi(N) &=& L(M-N) \end{eqnarray*}$$

Así pues, $\Phi$ es una aplicación afín ${\cal E} \to {\cal F}$ y $L$ es su parte lineal. $\quad\Box$

Observación
Sean $E,\, F$ espacios vectoriales considerados, cada uno, como espacio afín sobre sí mismo como en la observación después del enunciado $iii^\prime$) al comienzo de esta sección.

Una aplicación $\Phi \colon E \to F$ será una aplicación afín si y sólo si es de la forma:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Phi (\vec x ) = \vec c + L \vec x \quad \forall \, \vec x \in E}$}}$$ (20)

donde $\vec c \in F$ y $L$ es una aplicación lineal de $E$ en $F$, o sea, $\Phi$ es la compuesta de una aplicación lineal $E \to F$ y de una traslación de $F$.

En esta situación $\Phi_* =L$.

En efecto:

1. De cumplirse (20), tenemos $\forall \, \vec x,\, \vec y \in E$:
   
   $$\Phi(\vec x) - \Phi (\vec y) = L ( \vec x - \vec y)$$
   
   
   lo que prueba que $\Phi$ es una aplicación afín y $L = \Phi_*$.
2. Recíprocamente, sea $\Phi$ una aplicación afín $E \to F$ y sea $L=\colon \Phi_*$. Por la fórmula (17) del teorema 4.1.5 tenemos al escribir $\vec x$ en vez de $M$, $\vec i \in E$ en vez de $I$ y $\vec j \in F$ en vez de $J$:
   $$\begin{eqnarray*} \Phi(\vec x) &=& \vec j + L(\vec x - \vec i) \quad \mbox{ o se... ...=& (\vec j - L \vec i) + L \vec x \quad \forall \, \vec x \in E \end{eqnarray*}$$
   
   
   lo que es efectivamente de la forma (20).

Teorema 1.6   Sean $\cal E,\, F$ espacios afines sobre sendos espacios vectoriales $E,\, F$. Sea $\Phi\colon {\cal E} \to \cal F$ una aplicación afín.

1. $\Phi$ es inyectiva si y sólo si $\Phi_*$ es una aplicación lineal inyectiva $E \to F$.
2. $\Phi$ es superyectiva si y sólo si $\Phi_*$ es una aplicación lineal superyectiva $E \to F$.

Demostración

1. Escribamos:
   

   $$\Phi (M) - \Phi (N) = \Phi_* (M-N) \quad \forall \, M,\, N \in {\cal E}$$ (21)

   
   
   Decir que $\Phi$ es una aplicación inyectiva, es decir que rige la implicación:
   

   $$\Phi(M) - \Phi(N) = 0 \quad \Rightarrow \quad M-N =0$$ (22)

   
   
   Debido a (21), la implicación (22) equivale a la implicación:
   

   $$\Phi_*(M-N)=0 \quad \Rightarrow \quad M-N =0$$ (23)

   
   
   Pero todo vector $\vec u \in E$ puede escribirse (de muchas maneras) como una diferencia $M-N$ con $M,N \in {\cal E}$. Así pues, la implicación (23) equivale a su vez a la implicación:
   

   $$\Phi_* (\vec u ) =0 \quad \Rightarrow \quad \vec u =0$$ (24)

   
   
   y (24) dice que la aplicación lineal $\Phi_*$ es inyectiva. La equivalencia de las implicaciones (22) y (24) prueba, pues, la afirmación a) del teorema.
2. Fijando arbitrariamente un punto $I$ en $\cal E$ escribamos:
   

   $$\Phi (I+ \vec u) = \Phi (I) + \Phi_* (\vec u) \quad \forall \, \vec u \in E$$ (25)

   
   
   (25) implica la relación:
   

   $$\Phi ({\cal E}) = \Phi (I) + \Phi_* (E)$$ (26)

   
   
   (es decir $\Phi ({\cal E}) = \left\{ \Phi (I) + \vec v \bigm\vert \vec v \in \Phi_* (E) \right\}$.) De(26) se deduce que vale:
   
   $$\Phi (E) = {\cal F}\quad \mbox{si y s\'olo si}\quad \Phi_* (E) = F$$
   
   
   con lo cual viene probada la afirmación b) del teorema. $\quad\Box$

Corolario 1.3 (y definición)   La aplicación afín $\Phi\colon {\cal E} \to \cal F$ es una biyección del espacio afín $\cal E$ sobre el espacio afín $\cal F$ si y sólo si $\Phi_*$ es un isomorfismo lineal del espacio vectorial $E$ sobre el espacio vectorial $F$. Tal $\Phi$ se llama un ISOMORFISMO AF´iN DE SOBRE .

Teorema 1.7  

1. Si $\cal E$ es un espacio afín sobre un espacio vectorial $E$, la aplicación idéntica ${\cal I}_{\cal E}$ es una aplicación afín y vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \left({\cal I}_{\cal E} \right)_* = {\cal I}_E}$}$$
   
   
   donde ${\cal I}_E$ es la identidad de $E$.
2. Si $\cal E ,\, F, G$ son espacios afines y $\Phi\colon {\cal E} \to \cal F$, $\Psi \colon {\cal F} \to {\cal G}$ son aplicaciones afines, también $\Psi \circ \Phi \colon {\cal E} \to {\cal G}$ es una aplicación afín y se verifica:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \left( \Psi \circ \Phi \right)_* = \Psi_* \circ \Phi_*}$}$$
   
   

3. Si $\Phi$ es un isomorfismo afín de un espacio afín $\cal E$ sobre un espacio afín $\cal F$, $\Phi^{-1}$ es un isomorfismo afín de $\cal F$ sobre $\cal E$ y vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \left( \Phi^{-1} \right)_* = \left( \Phi_* \right)^{-1}}$}$$
   
   

Demostración

1. $\forall \, M,\, N \in \cal E$ vale:
   
   $${\cal I}_{\cal E} (M) - {\cal I}_{\cal E} (N) = M-N = {\cal I}_E (M-N)$$
   
   
   de donde la afirmación a).
2. Con las notaciones de b) tenemos $\forall \, M,\, N \in \cal E$:
   $$\begin{eqnarray*} (\Psi \circ \Phi ) (M) - (\Psi \circ \Phi) (N) &=& \Psi \left(... ...M-N) \right) \\ &=& \left( \Psi_* \circ \Phi_* \right) (M-N)\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   de donde la afirmación b).
3. Sea $\Phi$ un isomorfismo afín de $\cal E$ sobre $\cal F$. Sean $P,\, Q$ puntos arbitrarios de $\cal F$. Ponemos $M= \colon \Phi^{-1} (P),\; N = \colon \Phi^{-1} (Q)$. La relación $\Phi (M)-\Phi (N)= \Phi_* (M-N)$ equivale a:
   $$\begin{eqnarray*} P-Q &=& \Phi_* \left( \Phi^{-1}(P) - \Phi^{-1} (Q) \right) \qu... ...Phi^{-1} (P) - \Phi^{-1} (Q) &=& \left( \Phi_*\right)^{-1} (P-Q) \end{eqnarray*}$$
   
   
   Esto prueba c). $\quad\Box$

Definición 1.6   Los isomorfismos afines de un espacio afín $\cal E$ sobre sí se llaman TRANSFORMACIONES AFINES (o AUTOMORFISMOS AFINES) de $\cal E$. Del teorema 4.1.7 se sigue que el conjunto de todas las transformaciones afines de $\cal E$, provisto como operación de la composición

$$(\Phi, \Psi) \mapsto \Phi \circ \Psi$$

es un grupo. Este grupo se llama el GRUPO AF´iN de $\cal E$.

Observación (Expresiones analíticas en dimensión finita) Sean $\cal E,\, F$ espacios afines y $\Phi \colon {\cal E} \to {\cal F}$ una aplicación afín.

1. Supongamos que el espacio afín $\cal E$ es de dimensión finita $n$ y provisto de un referencial $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. Para todo punto ${\displaystyle I+ \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i \in \cal E}$ tenemos:
   
   $$\Phi \left( I + \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i \right) = \Phi (I)+ \Phi_*\left( \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i \right)$$
   
   
   de donde, por linealidad de $\Phi_*$, finalmente:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Phi \left( I + \sum_{i=1}^n t^i ... ... \right) = \Phi (I) + \sum_{i=1}^n t^i \Phi_* (\vec{e}_i) }$}}$$ (27)

   
   

2. Supongamos también $\cal F$ de dimensión finita $m$ y provisto de un referencial $(J; \vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_m)$. Pongamos:
   

   $$\Phi (I) = J + \sum_{k=1}^m c^k \vec{f}_k \quad c^k \in {\mathbb{K}}$$ (28)

   $$\Phi_* (\vec{e}_i) = \sum_{k=1}^m a_i^k \vec{f}_k$$ (29)

   
   
   La matriz $\left( a_i^k \right)_{1\le i \le n}^{1 \le k \le m}$ de tipo $m \times n$ es la matriz de la aplicación lineal $\Phi_* \colon E \to F$ con respecto a las bases $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ y $(\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$ de $F$. Llevando (28) y (29) al segundo miembro de (27), obtenemos:
   
   $$\Phi \left( I + \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i \right) = J + \sum... ...m c^k \vec{f}_k + \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m a_i^k t^i \vec{f}_k$$
   
   
   o sea,
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Phi \left( I + \sum_{i=1}^n t^i ... ..._{k=1}^m \left( c^i + \sum_{i=1}^n a_i^k\right) \vec{f}_k }$}}$$ (30)

   
   
   La aplicación afín $\Phi$ transforma, pues, el punto de coordenadas $t^1,\ldots, t^n$ con respecto al referencial $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $\cal E$ en el punto de coordenadas $u^1,\ldots,u^m$ donde:
   
   $$\fbox{${\displaystyle u^k = c^k + \sum_{i=1}^n a_i^k t^i \quad k=1,\ldots,m}$}$$
   
   

No es aquí el lugar para desarrollar la geometría afín propiamente dicha. Sin embargo, hablaremos un poco de ``variedades afines''.

Definición 1.7   Sea $\cal E$ un espacio afín sobre un espacio vectorial E. Una parte no vacía $\cal V$ de $\cal E$ se dice SUBESPACIO AF´iN de $\cal E$ o VARIEDAD AF´iN en $\cal E$ si existe un subespacio $V$ de $E$ tal que la restricción de la aplicación $(A,B) \mapsto \overrightarrow {AB}$ a ${\cal V} \times \cal V$ hace de $\cal V$ un espacio afín sobre el espacio vectorial V. Ya que en este caso ${\displaystyle V = \left\{ \overrightarrow {MN} \in E \bigm\vert M,\, N \in {\cal V} \right\}}$, tal subespacio $V$ si existe es único. Se llama la DIRECCIÓN DE LA VARIEDAD AF´iN $\cal V$ y se escribe:

$$\fbox{${\displaystyle V = \mbox{\rm Dir } \cal V}$}$$

La DIMENSIÓN DE LA VARIEDAD AF´iN $\cal V$ es la de su dirección $V$:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim } {\cal V} = \mbox{\rm dim } V}$}$$

Dos variedades afines ${\cal V}_1 ,\, {\cal V}_2$ de la misma dimensión se dicen VARIEDADES AFINES PARALELAS y se escribe:

$${\cal V}_1 \parallel {\cal V}_2\quad \mbox{si} \quad \mbox{\rm Dir } {\cal V}_1 = \mbox{\rm Dir } {\cal V}_2$$

Las variedades afines de dimensión 0 en $\cal E$ son los subconjuntos de $\cal E$ reducidos a un punto. Las de dimensión 1 se llaman RECTAS. Las de dimensión 2 se llaman PLANOS. Una variedad afín se llama HIPERPLANO si su dirección $V$ es un subespacio maximal en $E$, es decir, $H \ne E$ y el único subespacio de $E$ que contiene a $V$ propiamente es $E$ entero.

Si $\cal E$ es un espacio afín de dimensión finita $n$, un hiperplano de $\cal E$ es simplemente una variedad afín de dimensión $n-1$ en $\cal E$.

$\cal E$ mismo es siempre una variedad afín de $\cal E$. Si $\cal E$ es de dimensión finita $n$, $\cal E$ es la única variedad afín en $\cal E$ de dimensión $n$.

Observación
Sea dado un subespacio $V$ de $E$. Para que un subconjunto no vacío $\cal V$ de $\cal E$ sea una variedad afín de dirección $V$ es necesario y suficiente que:

De esto se sigue sin más:

Teorema 1.8   Sea $\left( {\cal V}_i \right)_{i \in I}$ una familia de variedades afines en $\cal E$. $\forall \, i \in I$ sea $V_i = \colon \mbox{\rm Dir } {\cal V}_i$. Si la intersección $\bigcap_{i\in I} {\cal V}_i$ no es vacía, es una variedad afín en $\cal E$ y se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Dir } \bigcap_{i\in I} {\cal V}_i = \bigcap_{i\in I} V_i }$}$$

Definición 1.8   Sea $\cal K$ una parte no vacía cualquiera de $\cal E$. Existen variedades afines en $\cal E$ que contienen a $\cal K$: Por ejemplo, $\cal E$ entero es una de ellas. Por el teorema 4.1.8, la intersección de todas las variedades afines en $\cal E$ que contienen el conjunto $\cal K$ es una variedad afín en $\cal E$. Se llama la VARIEDAD AF´iN ENGENDRADA POR EL CONJUNTO $\cal K$.

Teorema 1.9   (Existencia y unicidad de variedades afines) Dados un punto $a \in \cal E$ y un subespacio $V$ de $E$ existe una única variedad afín $\cal V$ en $\cal E$ que ``pasa por el punto a'' (es decir, $a \in \cal V$) y tiene V como dirección. Ésta es:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal V} = a + V = \colon \left\{ a + \vec v \bigm\vert \vec v \in V \right\}}$}$$

Demostración

Unicidad.

Supongamos que existe una variedad afín $\cal V$ tal que $a \in \cal V$ y $\mbox{\rm Dir } {\cal V} =V$. En esta situación $\cal V$ es un espacio afín sobre el espacio vectorial $V$. Por el teorema 4.1.3, la aplicación $\vec v \mapsto a + \vec v$ es una biyección de $V$ sobre $\cal V$. Por lo tanto:

$${\cal V} = a + V = \left\{ a + \vec v \bigm\vert \vec v \in V \right\}$$ (31)

de donde la unicidad de $\cal V$.

Existencia. Definimos un subconjunto $\cal V$ de $\cal E$ por la relación (31). Vale $a= a + \vec 0 \in a + V = \cal V$. Resta probar que $\cal V$ es una variedad afín de dirección $V$. Para ello, debemos comprobar la validez de las reglas i) y ii) de la observación después de las definiciones 4.1.7.

i)

Sean $P,\, Q \in \cal V$ o sea $P = a + \vec{v}_1 ,\, Q = a + \vec{v}_2$ con $\vec{v}_1,\, \vec{v}_2 \in V$. Se sigue $\overrightarrow {PQ} = \vec{v}_2- \vec{v}_1 \in V$. Se cumple pues la regla i).

ii)

Sean $P \in \cal V$, o sea $P = a + \vec v$ con $\vec v \in V$ y sea $\vec u \in V$. Tenemos $P+ \vec u = ( a + \vec v ) + \vec u = a + (\vec v + \vec u) \in \cal V$. Se cumple pues también la regla ii). $\quad\Box$

Corolario 1.4   Si $\cal V$ es una variedad afín en $\cal E$, por todo punto $a \in \cal E$ pasa una variedad afín y una sola (de misma dimensión que $\cal V$ y) paralela a $\cal V$.

Se puede mirar este enunciado como un ``postulado de Euclides generalizado''.

Observación
Si $V,\, W$ son subespacios de $E$ tales que $V \subset W$ para las correspondientes variedades afines $a+ V,\, a+ W$ que pasan por el punto $a \in \cal E$, vale:

$$a+V \subset a+W$$

Lema 1.1   Sea ${\displaystyle \left\{ P_0,P_1,\ldots,P_r \right\}}$ un conjunto de $r+1$ punto de $\cal E$. La variedad afín engendrada por este conjunto es:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal V} = \colon P_0 + {\cal L} \left(... ...bigm\vert \lambda_1,\ldots,\lambda_r \in {\mathbb K}\right\}}$}$$

Demostración
Sea $V$ el subespacio $V = \colon {\cal L} ( \overrightarrow {P_0 P_1}, \ldots,\overrightarrow {P_0P_r})$ de $E$. Luego ${\cal V} = P_0 + V$. Por el teorema 4.1.9 $\cal V$ es una variedad afín. Al hacer $\lambda_1 = \cdots= \lambda_r =0$ en la fórmula del enunciado se ve que $P_0 \in \cal V$. Al hacer $\lambda_k=1$ y $\lambda_i =0$ si $i \ne k$ se ve que $P_k \in \cal V$ para $k=1,\ldots,r$. Queda por probar que toda variedad afín $\cal W$ que contiene $P_0,P_1,\ldots,P_r$ contiene $\cal V$. Sea, pues, $\cal W$ tal variedad afín y sea $W = \colon \mbox{\rm Dir } \cal W$. Se puede escribir:

$${\cal W} =P_0 + W$$ (32)

De la regla i) de la observación después de las definiciones 4.1.7 se concluye que $W$ tiene como elementos los vectores $\overrightarrow {P_0P_1},\ldots,\overrightarrow {P_0P_r}$, de ahí que $W \supset V$ y, por ende, de (32): ${\cal W} \supset \cal V$. $\quad\Box$

Sea $\rho$ el rango del sistema $\left( \overrightarrow {P_0P_1},\ldots,\overrightarrow {P_0P_r}\right)$ o sea $\rho= \mbox{\rm dim } V$. Resulta de lo probado que el conjunto de puntos $\{ P_0,P_1,\ldots,P_r \}$ no está contenido en ninguna variedad afín de dimensión menor que $\rho$ y que $\cal V$ es la única variedad afín de dimensión $\rho$ que contiene a dicho conjunto.

En efecto, si existe una variedad afín ${\cal W} \ne \cal V$ que la contiene, (32) implica que $W \ne V$, luego $\mbox{\rm dim }{\cal W} = \mbox{\rm dim } W > \rho$. Sea dicho de paso que ni el subespacio $V$ de $E$ ni el rango del sistema $\left( \overrightarrow {P_0P_1},\ldots,\overrightarrow {P_0P_r}\right)$ dependen del orden de los puntos $P_0,\ldots,P_r$. Se puede, pues, sustituir $P_0$ por cualquiera de los puntos $P_1,\ldots,P_r$.

Teorema 1.10   Por $r+1$ puntos $P_0,P_1,\ldots,P_r$ de $\cal E$, que no pertenecen a una variedad afín de dimensión menor que $r$, pasa una y una sola variedad afín de $\cal E$ de dimensión $r$.

Demostración

1. Si $\mbox{\rm ran }\left( \overrightarrow {P_0P_1} ,\ldots,\overrightarrow {P_0 P_r} \right) < r$, por el lema 4.1.1 $\mbox{\rm dim } {\cal V} < r$ y los puntos $P_0,\ldots,P_r$ pertenecen a $\cal V$.
2. Si $\mbox{\rm ran } \left( \overrightarrow {P_0P_1},\ldots,\overrightarrow {P_0P_r} \right) = r$, por lo dicho arriba $\cal V$ es la única variedad afín en $\cal E$ de dimensión $r$ que contiene al conjunto $\left\{ P_0,P_1,\ldots,P_r \right\}$ y ninguna variedad afín de dimensión menor que $r$ lo contiene. $\quad\Box$

Ejemplos

1. Por dos puntos distintos de $\cal E$ pasa una recta y una sola.
2. Por tres puntos no colineales de $\cal E$ (es decir, no situados en una recta) pasa un plano y uno solo.

Teorema 1.11   Toda aplicación afín $\Phi$ de un espacio afín $\cal E$ en un espacio afín $\cal F$ transforma toda variedad afín $\cal V$ en $\cal E$ en una variedad afín $\Phi ({\cal V} )$ en $\cal F$. Se tiene también:

$$\fbox{${\displaystyle \Phi_* (\mbox{\rm Dir } {\cal V} ) = \mbox{\rm Dir } \Phi ({\cal V})}$}$$

Demostración
Sea $\cal V$ una variedad afín en $\cal E$. Sea $V = \colon \mbox{\rm Dir } \cal V$ y sea $a$ un punto de $\cal V$. La relación:

$${\cal V} = \left\{ a + \vec v \bigm\vert \vec v \in V \right\}$$

entraña:

$$\Phi( {\cal V}) = \left\{ \Phi(a) + \Phi_* (\vec v) \bigm\vert \vec v \in V \right\} = \Phi (a) + \Phi_* (V)$$ (33)

$\Phi_*$ es una aplicación lineal del espacio vectorial $E$ asociado con $\cal E$ en el espacio vectorial $F$ asociado con $\cal F$. Puesto que $V$ es un subespacio de $E$, $\Phi_*(V)$ es un subespacio de $F$. La fórmula (33) dice, pues, que $\Phi ({\cal V} )$ es una variedad afín de $\cal F$ que pasa por el punto $\Phi(a)$ y tiene como dirección:

$$\mbox{\rm Dir } \Phi({\cal V})= \Phi_*(V)= \Phi_*(\mbox{\rm Dir } {\cal V})$$

$\quad\Box$

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