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Espacios vectoriales normados y espacios afines normados

En este libro damos por conocidos los elementos de la teoría de espacios vectoriales normados. Para referencia precisa, recordaremos unas definiciones fundamentales y enunciaremos sin prueba una serie de resultados en forma de teoremas numerados. El lector que lo desee encontrará demostraciones completas por ejemplo en el primer tomo del tratado de Análisis de J. DIEUDONNÉ [13].

Sea $E$ un espacio vectorial sobre ${\mathbb{K}}$. Una aplicación $\vec x \mapsto \Vert \vec x \Vert$ de E en ${\mathbb{R}}$ se llama una NORMA sobre $E$, si satisface:

La desigualdad del triángulo equivale a la desigualdad:

$$\fbox{${\displaystyle \Bigm\vert \Vert \vec x \Vert - \Vert \vec y \Vert \Bigm\vert \le \Vert \vec x - \vec y \Vert}$}$$

que llamaremos la COMPAÑERA DE LA DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO.

Si $\Vert\cdot\Vert$ es una norma sobre $E$, el par $(E,\Vert\cdot\Vert)$ se llama un ESPACIO VECTORIAL NORMADO. Por un abuso usual de lenguaje, se dice también simplemente que $E$ es un espacio vectorial normado.

Si $E$ se reduce al cuerpo ${\mathbb{K}}$, convenimos en usar como norma sobre él, el valor absoluto (o módulo) en ${\mathbb{K}}$.

Con las notaciones de arriba pongamos:

$$\fbox{${\displaystyle d(\vec x, \vec y) =\colon \Vert \vec x - \vec y \Vert \quad \forall \, \vec x,\vec y \in E}$}$$

La función $d \colon E \times E \to {\mathbb{R}}$ así definida es una distancia sobre el conjunto $E$. Hace de $E$ un espacio métrico, caso particular de un espacio topológico.

Teorema 2.1   Sea $(E,\Vert\cdot\Vert)$ un espacio vectorial normado. Las aplicaciones $\vec x \mapsto \Vert \vec x \Vert$ de E en ${\mathbb{R}}$; $(\vec x, \vec y) \mapsto \vec x + \vec y$ de $E \times E$ en $E$; $(\alpha , \vec x)\mapsto \alpha \vec x$ de ${\mathbb{K}}\times E$ en E son aplicaciones continuas.

Definición 2.1   Dos normas ${\cal N},\, {\cal N}^\prime$ sobre un mismo espacio vectorial $E$ se dicen NORMAS EQUIVALENTES, si definen la misma topología sobre $E$.

Teorema 2.2   Dos normas ${\cal N},\, {\cal N}^\prime$ sobre un mismo espacio vectorial $E$ son normas equivalentes si y sólo si existen números $\alpha >0$ y $\beta >0$ tales que:

$$\fbox{${\displaystyle \alpha {\cal N} \le {\cal N}^\prime \le \beta {\cal N}}$}$$

o sea

$$\fbox{${\displaystyle \alpha {\cal N}(\vec x) \le {\cal N}^\p... ...c x) \le \beta {\cal N}(\vec x) \quad \forall\, \vec x \in E}$}$$

Corolario 2.1   Si $\cal N$ y ${\cal N}^\prime$ son normas equivalentes sobre $E$:

1. Las aplicaciones uniformemente continuas de dominio $E$ o contradominio $E$ son las mismas para $\cal N$ y ${\cal N}^\prime$.
2. $(E,{\cal N})$ es un espacio métrico completo si y sólo si lo es $(E,{\cal N}^\prime)$.
3. Un subconjunto de $E$ es acotado para $\cal N$ si y sólo si es acotado para ${\cal N}^\prime$.

Teorema 2.3 (y definición)   Si $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita, dos normas cualesquiera sobre $E$ son equivalentes. Definen sobre $E$ la misma topología que llamaremos la TOPOLOG´iA NATURAL de $E$.

Por contraste se puede probar que si $E$ es un espacio vectorial de dimensión infinita, hay siempre normas inequivalentes sobre $E$.

Definición 2.2   Un espacio vectorial normado $(E,\Vert\cdot\Vert)$ se llama ESPACIO DE BANACH, si (para la distancia definida por la norma $\Vert\cdot\Vert$) es un espacio métrico completo.

Nota
STEFAN BANACH (1892-1945), gran matemático polaco, fue uno de los pioneros del análisis matemático de este siglo, específicamente del ``análisis funcional''.

Teorema 2.4   Todo espacio vectorial normado de dimensión finita es un espacio de Banach.

Por contraste, un espacio vectorial normado de dimensión infinita puede ser completo o no.

Corolario 2.2 (del teorema 4.2.4)   Un subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial normado $E$ es siempre cerrado en $E$.

Por contraste, un subespacio de dimensión infinita de E puede ser cerrado o no en E.

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