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Aplicaciones lineales continuas

Teorema 2.5   Sean $(E,\Vert\cdot\Vert),\,(F,\Vert\cdot\Vert)$ espacios vectoriales normados y sea $L \colon E \to F$ una aplicación lineal. Las condiciones siguientes son equivalentes a pares:

1. $L$ es continua.
2. $L$ es continua en el punto cero de $E$.
3. $L$ es acotada en una bola de centro $0$ de $E$.
4. Existe $a\ge 0$ tal que:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \Vert L \vec x \Vert \le a \Vert \vec x \Vert \quad \forall \, \vec x \in E}$}$$
   
   

5. $L$ es uniformemente continua.

Pienso que debido a la condición c) muchos autores de libros de análisis dicen ``aplicación lineal acotada'', en vez de ``aplicación lineal continua''. Esta terminología me parece desafortunada, especialmente en libros para principiantes, pues en el sentido estricto de la palabra, ninguna aplicación lineal que no sea la aplicación cero es acotada.

Teorema 2.6   Si $E, F$ son espacios vectoriales normados y $E$ es de dimensión finita, toda aplicación lineal $E \to F$ es continua.

Por contraste se puede probar que si $E$ es de dimensión infinita, siempre existen aplicaciones lineales discontinuas de $E$ en $F$.

Teorema 2.7 (Generalización del teorema 4.2.5)   Sean $E$, $F$, $G$ espacios vectoriales normados y $\Phi \colon E \times F \to G$ una aplicación bilineal. $\Phi$ es continua si y sólo si existe $a\ge 0$ tal que:

$$\fbox{${\displaystyle \Vert \Phi (\vec x,\vec y) \Vert \le a ... ...\Vert \quad \forall \, \vec x \in E,\,\forall \,\vec y \in F}$}$$

Teorema 2.8 (Generalización del teorema 4.2.6)   Si $E$, $F$, $G$ son espacios vectoriales normados y $E$ y $F$ son de dimensiones finitas, toda aplicación bilineal $E \times F \to G$ es continua.

Definición 2.3  

1. Si $(E,\Vert\cdot\Vert),\,(F,\Vert\cdot\Vert)$ son espacios vectoriales normados, designamos por ${\cal H}om\, (E,F)$el conjunto de todas las aplicaciones lineales continuas de $E$ en $F$.
2. Si $L \in {\cal H}om\,(E,F)$, ponemos:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Vert L \Vert = \colon \mbox{\rm ... ... \Vert \vec x \Vert \quad \forall \, \vec x \in E \right\}}$}}$$ (1)

   
   

Esta definición tiene sentido en virtud de la condición $d)$ en el teorema 4.2.4. Se comprueba inmediatamente que si $L \in {\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Vert L \vec x \Vert \le \Vert L \Vert \cdot \Vert \vec x \Vert \quad \forall \vec x \in E}$}}$$ (2)

El símbolo ``Inf'' (ínfimo) en la definición (1) se puede pues legítimamente sustituir por ``Mín''(mínimo).

También se ve fácilmente que $\Vert L \Vert$ admite definiciones alternativas:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Vert L\Vert = \mathop{\rm Sup}_{... ...p{\rm Sup}_{\Vert \vec x \Vert \le 1} \Vert L \vec x \Vert}$}}$$ (3)

Teorema 2.9 (y definición)   Si $(E,\Vert\cdot\Vert),\; (F,\Vert\cdot\Vert)$ son espacios vectoriales normados sobre el cuerpo ${\mathbb{K}}$, el conjunto ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ es un espacio vectorial sobre ${\mathbb{K}}$ y la aplicación $L \mapsto \Vert L\Vert$ según la fórmula (1) de la definición 4.2.3 es una norma de dicho espacio vectorial ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$.

Será la única norma que consideraremos sobre el espacio vectorial ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$. La llamaremos la NORMA SOBRE #MATH4056# INDUCIDA POR LAS NORMAS dadas sobre $E$ y $F$.

Teorema 2.10   La aplicación idéntica ${\cal I}_E$ de un espacio vectorial normado $(E,\Vert\cdot\Vert)$ pertenece a ${\cal H}\mbox{\it om}(E,E)$ y vale:

$$\fbox{${\displaystyle \Vert {\cal I}_E \Vert =1}$}$$

Teorema 2.11   Sean $(E,\Vert\cdot\Vert),\; (F,\Vert\cdot\Vert),\; (G,\Vert\cdot\Vert)$ espacios vectoriales normados. Si $A \in {\cal L} (E,F)$ y $B\in {\cal L}(F,G)$ vale $B \circ A \in {\cal L} (E,G)$ y:

$$\fbox{${\displaystyle \Vert B \circ A \Vert \le \Vert B \Vert \cdot \Vert A \Vert}$}$$

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