Siguiente: Producto de espacios vectoriales Arriba: Espacios vectoriales normados y Anterior: Aplicaciones lineales continuas

Unos espacios ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ particulares

I. El espacio ${\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb{K}},E)$

Sea $E$ un espacio vectorial normado sobre ${\mathbb{K}}$. Puesto que ${\mathbb{K}}$ es un espacio vectorial de dimensión 1 sobre sí mismo, se tiene en virtud del teorema 4.2.5:

$${\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb{K}},E)= {\cal L}( {\mathbb{K}}... ... las aplicaciones lineales ${\mathbb{K}}\to E$).\end{minipage}}$$

$\forall \, \vec u \in E$ sea $A_{ \vec u} \in {\cal L} ({\mathbb{K}},E)$ la aplicación

$$A_{ \vec u} (\alpha) = \colon \alpha \vec u \quad \forall \alpha \in {\mathbb{K}}$$

El isomorfismo lineal $\vec u \mapsto A_{\vec u}$ de $E$ sobre ${\cal L} ( {\mathbb{K}},E)$ ya considerado en el teorema 2.25 preserva las normas, pues, por la fórmula (2) después de las definiciones 4.2.3, vale:

$$\Vert A_{\vec u} \Vert = \mathop{\rm Sup}_{\vert \alpha \vert... ... \alpha \vert =1} \Vert \alpha\vec u \Vert = \Vert \vec u \Vert$$

Se dice que dicho isomorfismo es una ISOMETR´iA LINEAL de $E$ sobre el espacio ${\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb{K}},E)$. Permite identificar dichos espacios normados. Lo indicamos escribiendo:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb K},E) \approx E}$}$$

La isometría inversa es: $A \mapsto A(1)$

II. El espacio ${\cal H}\mbox{\it om}(E,E)$

Sea $E$ un espacio vectorial normado. Consideramos el espacio vectorial normado ${\cal H}\mbox{\it om}(E,E)$ constituído por los endomorfismos lineales continuos de $E$. La ``multiplicación'' $(A,B) \mapsto A \circ B$ hace de ${\cal H}\mbox{\it om}(E,E)$ un álgebra (asociativa y unífera). El elemento uno de esta álgebra es la identidad ${\cal I}_E$.

III. El espacio ${\cal H}\mbox{\it om}(E,{\mathbb{K}})= \colon E^\triangle$

Sea $E$ un espacio vectorial normado. El espacio vectorial normado

$${\cal H}\mbox{\it om}(E,{\mathbb{K}}) = \colon E^\triangle,$$

cuyos elementos son las formas lineales continuas sobre $E$, se llama el DUAL TOPOLÓGICO de $E$.

Si vale según las fórmulas (1), (2) en las definiciones 4.2.3,

$$\fbox{${\displaystyle \Vert \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

y también:

$$\fbox{${\displaystyle \Vert \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Teorema 2.12   Sean $E, F$ espacios vectoriales normados. Si $F$ es un espacio de Banach, también el espacio vectorial normado ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ es un espacio de Banach.

Por ejemplo, si E es un espacio vectorial normado completo o no, su dual topológico $E^\triangle = {\cal H}\mbox{\it om}(E, {\mathbb{K}})$ es siempre un espacio de Banach, pues ${\mathbb{K}}$ ( es decir ${\mathbb{R}}$ o ${\mathbb{C}}$) es un espacio métrico completo.

Siguiente: Producto de espacios vectoriales Arriba: Espacios vectoriales normados y Anterior: Aplicaciones lineales continuas