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Unos espacios ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ particulares

I. El espacio ${\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb{K}},E)$

Sea $E$ un espacio vectorial normado sobre ${\mathbb{K}}$. Puesto que ${\mathbb{K}}$ es un espacio vectorial de dimensión 1 sobre sí mismo, se tiene en virtud del teorema 4.2.5:

\begin{displaymath}{\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb{K}},E)= {\cal L}( {\mathbb{K}}...
... las aplicaciones lineales ${\mathbb{K}}\to E$).\end{minipage}}\end{displaymath}

$\forall \, \vec u \in E$ sea $A_{ \vec u} \in {\cal L} ({\mathbb{K}},E)$ la aplicación

\begin{displaymath}A_{ \vec u} (\alpha) = \colon \alpha \vec u \quad \forall \alpha \in {\mathbb{K}}\end{displaymath}

El isomorfismo lineal $\vec u \mapsto A_{\vec u}$ de $E$ sobre ${\cal L} ( {\mathbb{K}},E)$ ya considerado en el teorema 2.25 preserva las normas, pues, por la fórmula (2) después de las definiciones 4.2.3, vale:

\begin{displaymath}\Vert A_{\vec u} \Vert = \mathop{\rm Sup}_{\vert \alpha \vert...
... \alpha \vert =1} \Vert \alpha\vec u \Vert = \Vert \vec u \Vert\end{displaymath}

Se dice que dicho isomorfismo es una ISOMETR´iA LINEAL de $E$ sobre el espacio ${\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb{K}},E)$. Permite identificar dichos espacios normados. Lo indicamos escribiendo:

\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle {\cal H}\mbox{\it om}({\mathbb K},E) \approx E}$}\end{displaymath}

La isometría inversa es: $A \mapsto A(1)$

II. El espacio ${\cal H}\mbox{\it om}(E,E)$

Sea $E$ un espacio vectorial normado. Consideramos el espacio vectorial normado ${\cal H}\mbox{\it om}(E,E)$ constituído por los endomorfismos lineales continuos de $E$. La ``multiplicación'' $(A,B) \mapsto A \circ B$ hace de ${\cal H}\mbox{\it om}(E,E)$ un álgebra (asociativa y unífera). El elemento uno de esta álgebra es la identidad ${\cal I}_E$.

III. El espacio ${\cal H}\mbox{\it om}(E,{\mathbb{K}})= \colon E^\triangle$

Sea $E$ un espacio vectorial normado. El espacio vectorial normado

\begin{displaymath}{\cal H}\mbox{\it om}(E,{\mathbb{K}}) = \colon E^\triangle,\end{displaymath}

cuyos elementos son las formas lineales continuas sobre $E$, se llama el DUAL TOPOLÓGICO de $E$.

Si $\mathop{\vtop{\ialign{ ... vale según las fórmulas (1), (2) en las definiciones 4.2.3,

\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle \Vert \mathop{\vtop{\ialign{ ...

y también:

\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle
\Vert \mathop{\vtop{\ialign{ ...

Teorema 2.12   Sean $E, F$ espacios vectoriales normados. Si $F$ es un espacio de Banach, también el espacio vectorial normado ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ es un espacio de Banach.

Por ejemplo, si E es un espacio vectorial normado completo o no, su dual topológico $E^\triangle = {\cal H}\mbox{\it om}(E, {\mathbb{K}})$ es siempre un espacio de Banach, pues ${\mathbb{K}}$ ( es decir ${\mathbb{R}}$ o ${\mathbb{C}}$) es un espacio métrico completo.


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Guillermo M. Luna
2009-06-14