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Producto de espacios afines normados

Empecemos por un concepto algebraico. Sean ${\cal E}_1,\, {\cal E}_2$ espacios afines sobre un cuerpo conmutativo arbitrario ${\mathbb{K}}$ y sean $E_1,\, E_2$ sus sendos espacios vectoriales asociados. Consideremos el producto cartesiano ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$, conjunto de todos los pares $(p_1,p_2)$ con $p_1 \in {\cal E}_1,\, p_2 \in {\cal E}_2$.

Si $p=\colon (p_1,p_2) ,\, q= \colon (q_1,q_2)$ son elementos arbitrarios de ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$, definimos el vector $\overrightarrow {pq}$ del espacio vectorial producto $E_1 \times E_2$ por:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \overrightarrow {pq}= \colon \lef... ...verrightarrow {p_1 q_1}, \overrightarrow {p_2 q_2} \right)}$}}$$ (8)

Afirmamos que la definición (8) hace de ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ un espacio afín sobre el espacio vectorial $E_1 \times E_2$. En efecto:

1. Supongamos $\overrightarrow {pq}=0$, equivalentemente: $\overrightarrow {p_1q_1}=0$ y $\overrightarrow {p_2 q_2}=0$. Esto implica $q_1=p_1$ y $q_2=p_2$, o sea, $p=q$.
2. Sean $a=\colon (a_1,a_2),\, b=\colon (b_1,b_2),\, c=\colon (c_1,c_2)$ tres elementos arbitrarios de ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$. Vale:
   $$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {ab}+ \overrightarrow {bc} &=& (\overrightarro... ...1 c_1}, \overrightarrow {a_2 c_2}) \\ &=& \overrightarrow {ac} \end{eqnarray*}$$
   
   
   Se verifica, pues, la relación de Chasles en ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$.
3. Sean dados $p=(p_1,p_2) \in {\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ y $\vec u = (\vec{u}_1,\vec{u}_2) \in E_1 \times E_2$ arbitrarios. Existen puntos $q_1 \in {\cal E}_1,\, q_2 \in {\cal E}_2$ tales que: $\overrightarrow {p_1 q_1} = \vec{u}_1,\, \overrightarrow {p_2 q_2} = \vec{u}_2$. Para $q=\colon (q_1,q_2) \in {\cal E}_1 \times {\cal E}_2$, vale:
   
   $$\overrightarrow {pq} = (\overrightarrow {p_1 q_1}, \overrightarrow {p_2 q_2})= (\vec{u}_1,\vec{u}_2) = \vec u$$
   
   
   Se cumplen, pues, los axiomas de los espacios afines para el conjunto ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ y el espacio vectorial $E_1 \times E_2$.

El espacio afín ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$, de espacio vectorial asociado $E_1 \times E_2$ se llama el PRODUCTO DEL ESPACIO VECTORIAL AF´iN POR EL ESPACIO VECTORIAL AF´iN .

Volvemos al convenio:

$$\fbox{${\displaystyle {\mathbb K}= {\mathbb R}\;\; \mbox{o}\;\; {\mathbb C}}$}$$

Sean ${\cal E}_1,\, {\cal E}_2$ espacios afines normados. Los espacios vectoriales asociados correspondientes $E_1$ y $E_2$ están provistos de sendas normas ${\cal N}_1,\, {\cal N}_2$ y por consiguiente, el espacio vectorial producto $E_1 \times E_2$ de la norma $\cal N$ dada por:

$${\cal N}(\vec{x}_1,\vec{x}_2) = \mbox{\rm M\'ax } \left({\cal N}_1 (\vec{x}_1), {\cal N}_2 (\vec{x}_2) \right)$$

luego ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ es un espacio afín normado. Se llama el PRODUCTO DEL ESPACIO VECTORIAL AF´iN NORMADO POR EL ESPACIO VECTORIAL AF´iN NORMADO .

Observación
Sean $d_1,\, d_2$ las distancias en sendos espacios ${\cal E}_1,\, {\cal E}_2$ y $d$ la distancia inducida en ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$. Vale:

$$\begin{eqnarray*} d_1 (p_1, q_1) &=& {\cal N}_1 (\overrightarrow {p_1 q_1}) \qua... ...rightarrow {p_2 q_2}) \quad \forall \, p_2,\, q_2 \in {\cal E}_2 \end{eqnarray*}$$

luego:

$$d\left( (p_1,q_1),(p_2,q_2) \right) = {\cal N} (\overrightarr... ...ow {p_1 q_1} ) , {\cal N}_2 (\overrightarrow {p_2 q_2}) \right)$$

o sea:

$$\fbox{${\displaystyle d\left( (p_1,p_2), (q_1, q_2) \right) = \mbox{\rm M\'ax }\, \left( d_1(p_1,q_1), d_2 (p_2,q_2) \right)}$}$$

Así pues, el espacio métrico ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ es el producto de los espacios métricos ${\cal E}_1$ y ${\cal E}_2$. También el espacio topológico ${\cal E}_1 \times {\cal E}_2$ es el producto de los espacios topológicos ${\cal E}_1$ y ${\cal E}_2$.
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