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Aplicaciones afines continuas

Sean ${\cal E},\, {\cal F}$ espacios afines normados de sendos espacios vectoriales asociados $E$ y $F$. $\Phi \colon {\cal E} \to {\cal F}$ una aplicación afín. Escribiendo:

$$\Phi (M+ \vec u) = \Phi(M) + \Phi_* (\vec u) \quad \forall \, M \in {\cal E} \; \forall \, \vec u \in E$$

vemos inmediatamente que $\Phi$ es continua en cualquier punto $M \in \cal E$ si y sólo si $\Phi_*$ es continua en el punto cero. De ahí:

Teorema 2.18   La aplicación afín $\Phi$ es continua, si es continua en un punto de $\cal E$.

Del teorema 4.2.5 (enunciado b)) fluye también:

Teorema 2.19   La aplicación afín $\Phi \colon {\cal E} \to {\cal F}$ es continua si y sólo si su parte lineal $\Phi_*$ es una aplicación lineal continua de $E$ en $F$.

Junto con el teorema 4.2.6 esto trae consigo:

Teorema 2.20   Si $\cal E$ es un espacio afín normado de dimensión finita, toda aplicación afín ${\cal E} \to \cal F$ es continua.

Finalmente vale:

Teorema 2.21   Si ${\cal E},\, \cal F$ son espacios afines normados, toda aplicación afín continua $\Phi\colon {\cal E} \to \cal F$ es uniformemente continua.

Esto se sigue de la fórmula:

$$\Vert \Phi (M) - \Phi (N) \Vert = \Vert \Phi_* (\overrightarrow {NM}) \Vert$$

y de que $\Phi_*$ es continua en el punto cero.

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