.

En este capítulo estudiaremos una clase particularmente simple e importante de substituciones racionales, aquellas que transforman en sí mismas respectivamente el interior y la circunferencia de un círculo y por consecuencia también el exterior del círculo. Vamos a buscar la expresión general de tal substitución suponiendo primero que para una inversión previa hubieramos transformado el círculo en el semi-plano: $I(z) \geq 0$. $Z = R(z)$ es una substitución buscada, la función $R(z)$ que es evidentemente real para $z$ real tiene todos sus polos sobre el eje real; pues si tuviera un polo $z_0$ en el semi-plano superior, con $z$ describiendo alrededor de $z_0$ una circunferencia infinitamente pequeña, $Z$ describiría un contorno exterior a un círculo de radio infinitamente grande, de manera que habiendo aumentado el argumento de $z-z_0$ en $2\pi$, el de $Z$ hubiera disminuido en $2q\pi\;\;(q \geq 1)$ y el lugar de $Z$ tendría puntos en el semi-plano inferior, lo cual es imposible, ya que $z$ permanece en el semi-plano superior. Además, los polos de $R(z)$ no pueden ser sino polos simples, pues si $z$ describe alrededor del polo real $z_0$ una semi-circunferencia de radio muy pequeño en el semi-plano superior de suerte que el argumento de $z-z_0$ cruze de $0$ a $\pi$, Z describirá una curva exterior a un círculo de radio muy grande de manera que el argumento de $Z$ disminuye aproximadamente en $q\pi$, si $z_0$ es un polo de orden $n$. Si $q \geq 2$, esta curva tendrá puntos en el semi-plano inferior, lo cual es imposible. Veamos de una manera análoga que el infinito es un polo simple de $R(z)$. Tenemos entonces

$$R(z) = kz + h - \sum\frac{A}{z-a},$$

siendo los $a$ reales; lo mismo que las constantes $A, h, k$, ya que

$$A = \lim_{z = a}R(z)(z-a),$$

$$k = \lim_{z = \infty}\frac{R(z)}{z}$$

además de que $R(z)$ es real. Finalmente, afirmamos que las $A$ y las $k$ son positivas, pues para $z = x + iy$ cerca de $a$, la parte principal de $R(z)$ es

$$-\frac{A}{z-a} = -\frac{A(x-a)}{(x-a)^2 + y^2} + \frac{Aiy}{(x-a)^2 + y^2},$$

que se reduce para $x = a, y > 0$ en $$\frac{Ai}{y}$$. Debemos entonces tener $$\frac{A}{y}$$$> 0$, por lo tanto $A > 0$. Lo mismo para $z + iy$ donde $y$ es positiva e infinitamente grande, tenemos $R(Z) = kiy +$ cantidad acotada, por consecuencia $ky > 0$. Claro está que, $k$ puede ser nulo. Entonces el infinito ya no es un polo, de modo que ya no es un punto doble de la substitución.

Recíprocamente, toda fracción racional de la forma anterior responde a la cuestión, ya que estableciendo $Z = X + iY$, se obtiene

$$Y = ky + \sum\frac{Ay}{(x - a)^2 + y^2} \hspace{0.3in} (k \geq 0, A > 0),$$

$Y$ e $y$ son siempre del mismo signo y nulos al mismo tiempo.

Vamos a buscar los puntos dobles de la substitucion estableciendo $k = 0$ lo que debe ser visto como el caso general; de otro modo, siendo el infinito un punto doble, estableceremos

$$\frac{-1}{Z-\alpha} = T, \hspace{0.3in} \frac{-1}{z - \alpha} = t,$$

con $\alpha$ una constante real; tendremos entonces una relación de la misma forma entre $T$ y $t$, dejando de ser un punto doble el infinito si $\alpha$ es convenientemente seleccionada.

Estableceremos entonces

$$R(z) = h - \sum_1^d\frac{A}{z-a}$$

y tendremos que discutir la ecuación

$$z = R(z) = h - \sum\frac{A}{z-a}$$

donde

$$f(z) = R(z) - z = h - z - \sum\frac{A}{z-a} = 0$$

Haremos variar $z$ de $-\infty$ a $+\infty$ señalando los valores de discontinuidad $a$ de $f(z)$; tenemos la tabla de variación siguiente:

Según la cual hay un número impar de raíces reales, al menos una, en cada uno de los intervalos $(a_j, a_{j+1})$, lo que da al menos $d - 1$ raíces reales y distintas, y un número par que no puede ser entonces más que $0$ ó $2$ en los intervalos extremos (el número total de raíces, distintas ó no, es $d + 1$, incluyendo las raíces imaginarias).

La ecuación tiene así $d - 1$ raíces reales y distintas respectivamente en los intervalos $(a_1, a_2), (a_2, a_3), \dots$, y además siguiendo los casos:

$\bf 1^0$ Dos raíces imaginarias conjugadas.

Hay entonces una raíz simple real y única en cada uno de los intervalos $(a_j, a_{j+1})$. Para cada una de estas raíces $\alpha, f(z)$ pasa de negativa a positiva, entonces $f'(\alpha) > 0$ ó $R'(\alpha) >1$. Las $\alpha$ son entonces puntos dobles repulsores. Consideremos enseguida las dos raíces imaginarias conjugadas, entonces los multiplicadores $s$ y $s'$ son igualmente imaginarios conjugados. Según la relación conocida entre los multiplicadores, tenemos

$$\frac{1}{s-1} + \frac{1}{s' + 1} + \sum_1^{d-1}\frac{1}{s_i - 1} + 1 = 0$$

la $\sum$ siendo extendida a los puntos dobles reales para los cuales $s_i$ es real y $> 1$. No consideramos más que substituciones de grado $\geq 2$, entonces $d-1 \geq 1$. Igualando a cero la parte real del primer miembro, tenemos

$$\Re\left( \frac{1}{s-1} \right) + \Re\left( \frac{1}{s'-1} \right) + 1 + P = 0 \hspace{0.3in} ( P > 0)$$

ó

$$2u + 1 + P = 0.$$

Estableciendo

$$\frac{1}{s-1} = u+iv, \hspace{0.3in} \frac{1}{s'-1} = u -iv.$$

Tenemos entonces $u < -\frac{1}{2}$, de donde resulta como sabemos

$$\mid s\mid\ \ = \ \mid s'\mid\ \ < 1.$$

Tenemos dos puntos dobles atractores imaginarios conjugados.

$\bf 2^0$ Dos raíces reales distintas entre ellas y de las anteriores, entonces en total $d + 1$ raíces reales y distintas.

Entonces necesariamente hay o tres raíces reales y distintas en un intervalo $(a_j, a_{j+1})$, o dos raíces reales y distintas en uno de los intervalos extremos. Si hay tres raíces $\alpha < \alpha' <\alpha''$ entre $a_j$ y $a_{j+1}$, para $\alpha$ y $\alpha''$, $f(z)$ es creciente

$$R'(\alpha) > 1, \hspace{0.3in} R''(\alpha'') > 1;$$

para $\alpha'$, $f(z)$ es decreciente y $R'(\alpha') < 1$. Si hay dos raíces reales y distintas en el intervalo $(a_d, +\infty)$, por ejemplo, tendremos $R'(\alpha) >1$ y $R'(\alpha')<1 \;\;(\alpha < \alpha')$. En los dos casos, hay $d$ puntos dobles para los cuales $s$ es real y mayor que $1$, entonces $$\sl\frac{1}{s-1}$$$> 0$. Para el $(d + 1)$-ésimo, tendremos, en virtud de la relación conocida,

$$\frac{1}{s-1} = -1 - {\sum}'\frac{1}{s-1} = -1-P \hspace{0.1in}(P>0),$$

de donde

$$0 < s < 1.$$

Hay entonces un punto doble atractor y sólo uno sobre el eje real.

$\bf 3^0$ Dos raíces reales iguales entre sí o a una de las anteriores, es decir $d - 1$ raíces reales y distintas y una raíz doble.

Para la raíz doble, tenemos $s = R'(\alpha) = + 1$. Vemos fácilmente que $s > 1$ para las otras.

$\bf 4^0$ Dos raíces reales iguales entre sí y a una de las anteriores, es decir, en total una raíz triple perteneciendo entonces a uno de los intervalos $(a_j, a_{j+1})$ y $d - 2$ raíces reales distintas perteneciendo respectivamente a los $d - 2$ intervalos restantes. Para la primera, tenemos $s = R'(\alpha) = + 1$, $R''(\alpha) = 0$. Para las restantes tenemos siempre $s > 1$.

Resumamos estas conclusiones considerando un círculo cualquiera en lugar de la parte superior del semi-plano. Podemos decir que toda substitución racional de grado $d>1$ admitiendo un círculo fundamental $\Gamma$ poseé:

Ya sea $1^0$ dos puntos dobles atractores que son imagen uno del otro con respecto a $\Gamma$ y $d - 1$ puntos dobles repulsores situados sobre la circunferencia;

Ya sea $2^0$ un punto doble atractor y $d$ puntos dobles repulsores, todos situados sobre la circunferencia;

Ya sea $3^0$ un punto doble de multiplicador igual a $+1$ que equivale a dos o a tres puntos dobles iguales y $d - 1$ ó $d - 2$ puntos dobles repulsores, todos sobre la circunferencia.

Señalemos que el multiplicador de un punto doble situado sobre la circunferencia es siempre real y positivo, lo que es poco más o menos a priori. Al contrario de los multiplicadores de los puntos dobles atractores no situados sobre la circunferencia, si existen, pueden tener cualquier valor real o complejo ( con modulo menor que uno).

Podemos entender la noción de substitución en el círculo fundamental considerando también el caso donde $R(z)$ permutan entre si el interior y el exterior del círculo, la circunferencia permanece invariante. Si transformamos la circunferencia en el eje real, tenemos como consecuencia la expresión de $R(z)$ señalando que $-R(z)$ deja invariante el semi-plano superior:

$$R(z) = - kz - h + \sum\frac{A}{z-a},$$

las $A$ y las $k$ siendo aún positivas. Podríamos proseguir como en la discusión anterior de la ecuación $R(z) = z$; pero es inútil. Basta señalar: $1^0$ que siendo permutados entre si los dos semi-planos, no hay punto invariante imaginario; $2^0$ que los puntos dobles situados sobre el eje real tienen sus multiplicadores reales y negativos por la misma razón; que $Z = R_2(z)$ define una substitución en el círculo fundamental del tipo ya estudiado.

Según lo anterior, si $R_2(z)$ es de la primera especie, es decir poseé dos puntos dobles imaginarios, estos puntos forman un ciclo de orden $2$ para $R(z)$. Siendo, además, el resto de los puntos dobles de $R_2(z)$ todos reales y repulsores, igual que para $R(z)$. La substitución propuesta tiene entonces todos sus puntos invariantes sobre el eje real con multiplicadores reales y negativos; tiene además un ciclo atractor de orden $2$.

Si $R_2(z)$ es de la segunda especie, es decir poseé un punto invariante atractor sobre el eje real, siendo los restantes repulsores e igualmente reales. $R(z)$ tiene igualmente un punto invariante atractor de multiplicador comprendido entre $0$ y $-1$ (límites excluidos) y $d$ puntos invariantes repulsores, siendo todos estos puntos reales.

Si $R_2(z)$ es de la especie singular, es decir poseé un punto doble de multiplicador igual a $+1$, $R(z)$ tendrá sobre el eje real un punto doble de multiplicador igual a $-1$ [para el cual ${R''}_2(z) = 0$]. El resto de los puntos dobles son reales y repulsores.

Hay correspondencia entre las diversas especies para los dos tipos de substitución, excepto a la que concierne las substituciones singulares del primer tipo con un punto doble $\alpha$ donde $R'(y) = + 1$, $R''(\alpha) \neq 0$ que no tiene correspondientes en el segundo tipo.

Si $R(z)$ es una función en el círculo fundamental, lo será $R_n(z)$ cualquiera que sea el entero $n$; $R_n(z)$ será del segundo tipo si $R(z)$ cumple lo anterior y si $n$ es impar.

Se obtiene por consecuencia que todos los ciclos de orden $n$ son repulsores y están formados de los puntos reales mientras $n > 2$ o bien $n = 2$, a excepción de las substituciones del segundo tipo de la primera especie.

De una manera general, formando entre ellas substituciones que admiten el mismo círculo fundamental $\Gamma$, en un orden cualquiera, tenemos aún una substitución que admite el mismo círculo fundamental; estas substituciones forman un grupo si les agregamos sus inversas que, naturalmente, no son racionales.

Las propiedades de los puntos dobles que acabamos de estudiar caracterizan las substituciones en el círculo fundamental y permiten expresarlas de alguna otra manera.

Supongamos que $[z, R(z)]$ admite $d - 1$ puntos dobles $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{d - 1}$ situados sobre una circunferencia $\Gamma$, de multiplicadores reales y mayores que $1$, y dos puntos dobles $\alpha, \alpha'$ de multiplicadores $s$ y $s'$ conjugados, siendo $\alpha$ y $\alpha'$ imagen uno del otro con respecto a $\Gamma$; los $s$ están ligados por la relación

$$\frac{1}{s -1} + \frac{1}{s' -1} + \sum_1^{d-1}\frac{1}{s_i - 1} + 1 = 0,$$

que arrastra, como ya lo hemos visto,

$$\mid s\mid\ \; = \;\mid s'\mid\ \; < 1.$$

Decimos que la substitución admite a $\Gamma$ como círculo fundamental. Sabemos en efecto que

$$\frac{1}{R(z) - z} = \frac{1}{(s -1)(z - \alpha)} + \frac{1}... ...z - \alpha')} + \sum_1^{d -1}\frac{1}{(s_i -1)(z - \alpha_i)}.$$

Podemos suponer, sin restar generalidad, que $\Gamma$ es el eje real, entonces $\alpha_i$ real, $\alpha$ y $\alpha'$ imaginarios conjugados. Establecemos $R ( z ) = A$ en la igualdad anterior; tenemos una ecuación en $z$ que tendrá todas sus raíces reales si $A$ es real. En efecto, esta ecuación puede escribirse

$$\sum_1^{d -1}\frac{1}{(s_i -1)(z - \alpha_i)} + \frac{1}{z - A} + \Phi(z) = 0,$$

con $\Phi(z)$ real y acotada para $z$ real, pues es una fracción racional de la forma $$\frac{Cz + C'}{(z - a)^2 + b^2}$$, donde $b>0$. Por otra parte, los coeficientes $$\frac{1}{z - a_i}$$ son positivos ya que $s_i > 1$, al igual que el coeficiente de $$\frac{1}{z - A}$$ que es igual a $1$. Entonces, si consideramos los $d - 1$ intervalos determinados por los $d$ números $(\alpha_1, \alpha_2, \dots,\alpha_{d-1}, A)$; cuando el primer miembro toma valores infinitos de signos contrarios a los dos extremos de un intervalo se anula una vez en este intervalo; así pues tenemos $d - 1$ raíces reales, y como la ecuación es de grado $d$ (a causa de la relación entre los multiplicadores), hay $d$ raíces reales. Entonces $R ( z ) = A$ tiene todas sus raíces reales para $A$ real; pero coincidiendo $Z = R(z)$ con $z$ para $z = \alpha = a + bi$, si $z$ describe un camino cualquiera en el semi-plano superior a partir de $\alpha$, $Z$ permanecerá también en este semi-plano, de otra forma $Z$ atravesaría el eje real en el punto $Z = A$ y la ecuación $R ( z ) = A$ tendría una raíz imaginaria. Por otra parte $R(z)$ tiene coeficientes reales. Entonces $Z = R(z)$ define una substitución en el círculo fundamental y de la primera especie.

Ahora supongamos que todos los puntos dobles están sobre la circunferencia, y que sus multiplicadores son reales y mayores que $1$, en valor algebráico, para $d$ de entre ellos, pero real y comprendido entre $0$ y $1$ para el $(d + 1)^{\mbox{\scriptsize {\'esimo}}}$ como resulta de la relación

$$\frac{1}{s - 1} + \sum_1^d\frac{1}{s_i - 1} + 1 = 0$$

que debemos suponer se satisface. Decimos que tendremos una substitución del primer tipo y de la segunda especie. Lo que lleva a demostrar igual que antes que $R ( z ) = A$ tiene sus raíces reales para $A$ real; esta ecuación puede escribirse

$$\sum_1^d\frac{1}{s_i - 1}\frac{1}{z - \alpha_l} + \frac{1}{z - A} - \frac{1}{1 - s}\frac{1}{z - \alpha} = 0.$$

Tenemos aún $$\frac{1}{s_i - 0}$$$> 0$. Consideremos los $d$ intervalos determinados por $d + 1$ números $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_d, A)$ excluyendo toda vez a aquel, si hay uno, que contenga a $\alpha$. En los $d - 1$ intervalos restantes, el primer miembro es continuo salvo en los dos extremos donde se anula una vez debido a que pasa de $+\infty$ a $-\infty$; entonces las $d - 1$ raíces son reales lo mismo que $d$. Terminamos el razonamiento como antes señalando que $R(z)$, definida por

$$\frac{1}{R(z) - z} = \frac{1}{s - 1}\frac{1}{z - \alpha} + \sum_1^d\frac{1}{s_i - 1}\frac{1}{z - \alpha_i},$$

toma valores de igual signo que $z$ por lo que se refiere a la parte imaginaria en la vecindad de los puntos dobles debido a que $s>0$.

Consideremos finalmente el caso donde damos sobre la circunferencia un punto doble $\alpha$ para el cual

$$s = R'(\alpha) = +1, \hspace{0.3in} R''(\alpha) \neq 0$$

y $d - 1$ puntos dobles para los cuales $s > 1$. Las cosas son un poco menos simples en este caso; la subtitución $R(z)$, admitiendo los puntos dobles dados con sus multiplicadores y de grado $d$, no está completamente determinada y depende de una constante arbitraria. Tenemos en efecto ($\S 2$)

$$\frac{1}{R(z) - z} = \frac{l}{(z - \alpha)^2} + \frac{h}{z - \alpha} + \sum^{d-1}_1 \frac{1}{s_i - 1}\frac{1}{z - \alpha_i},$$

$$h + \sum_1^{d - 1}\frac{1}{s_i - 1} + 1 = 0.$$

Vemos que $l$ permanece indeterminada. Si suponemos a las $\alpha$ sobre el eje real, para que $R(z)$ deje esta recta invariante, falta que $l$ sea real. Tenemos además, en la vecindad de $\alpha$,

$$R(z) = \alpha + (z - \alpha) + \frac{1}{l}(z - \alpha)^2 + \cdots \hspace{0.3in} \left(R''(\alpha) = \frac{2}{l} \right).$$

Suponer a $l$ real lleva a suponer que la tangente a $\Gamma$ coincide con la tangente de rebotadura (rebroussement) a la curva que limita el dominio de convergencia elemental relativo a $\alpha$ ($\S 10$). Bajo esta forma, la condición es invariante con relación a toda transformación conforme^3.1. Si es satisfecha, aún vemos fácilmente que $R(z)$ pertenece a la clase que estudiamos y define una substitución singular de primer tipo. El procedimiento es siempre el mismo. Tenemos que demostrar que

$$\frac{l}{(z - \alpha)^2} + \frac{h}{z - \alpha} + \sum_1^{d ... ...ac{1}{(s_i - 1)}\frac{1}{(z - \alpha_i)} + \frac{1}{z - A} = 0$$

admite $d$ raices reales para $A$ real. Siendo las $s_i - 1$ positivas, aún consideramos los $d - 1$ intervalos determinados por $(\alpha_1, \alpha_2, \dots,\alpha_{d-1}, A)$. Si ninguno de ellos contiene a $\alpha$, vemos que todos contienen una raíz. Si alguno de ellos contiene a $\alpha$, sea por ejemplo $\alpha_1 < \alpha < \alpha_2$ en uno de los dos intervalos ( $\alpha_1, \alpha$) y ( $\alpha, \alpha_2$), el primer miembro pasará de $+\infty$ a $-\infty$ porque llega a ser infinito sin cambiar de signo para $z = \alpha$. Tendremos entonces $d - 1$ e incluso $d$ raíces reales y la conclusión se obtiene.

Dejaremos de lado el caso donde se tiene

$$R'(z) = +1, \hspace{0.3in} R''(z) = 0,$$

que da lugar a una discusión análoga.

Finalmente, para las substituciones de segundo tipo, tendremos resultados semejantes. Por ejemplo, si damos $d + 1$ puntos dobles sobre la circunferencia con $s < -1$ en valor algebráico, tendremos para la fórmula de descomposición en elementos simples una expresión de $R(z)$ que dará una subsitución de segundo tipo y de la primera especie.

Puede ser favorable elegir como círculo fundamental $\Gamma$ al círculo unitario $\mid t\mid \leq1$. Pasemos de este círculo al semi-plano superior del plano de las $Z$ por la transformación

$$t = \frac{z - \beta}{z - \-{\bar\beta}}, \hspace{0.3in} T = \frac{Z - \beta}{Z - \bar{\beta}},$$

siendo $\beta$ y $\bar{\beta}$ imaginarias conjugadas y $\beta$ teniendo su parte imaginaria positiva. La relación $Z = R(z)$ da entonces $T = \Phi(t)$. Es claro que si $\Phi^{(1)}$ y $\Phi^{(2)}$, dejan invariante el círculo $\mid t\mid \leq1$, lo mismo sucede con $\Phi = \Phi^{(1)}\Phi^{(2)}$. A las funciones $\Phi^{(1)}(t)$ y $\Phi^{(2)}$(t) les corresponden $R^{(1)}(z)$ y $R^{(2)}(z)$. Un cálculo simple muestra que la $R(z)$ que corresponde a $\Phi(t) = \Phi^{(1)}\Phi^{(2)}$ está dada por la fórmula

$$R(z) = \frac{R^{(1)}(z)R^{(2)}(z) - \mid\ \beta\mid ^2}{R^{(1)}(z) + R^{(2)}(z) - 2\Re(\beta)}.$$

Si $\beta$ es puramente imaginaria e igual a $bi$, la fórmula llega a dar

$$R(z) = \frac{R^{(1)}(z)R^{(2)}(z) - b^2}{R^{(1)}(z) + R^{(2)}(z)}.$$

Supongamos en particular que $T = \Phi(t)$ tuviera el origen por punto doble; $$\frac{\Phi(t)}{t}$$ siendo holomorfa en el origen, e igual en módulo a la unidad para $\mid t\mid\ = 1$, será más pequeña, en módulo, que la unidad para $\mid t\mid\ < 1$. Entonces $\Psi(t) =$ $$\frac{\Phi(t)}{t}$$ deja $\Gamma$ invariante. Tomemos $\Phi^{(1)}(t) = \Psi(t)$ y $\Phi^{(2)}(t) = t$; les corresponden las funciones $R^{(1)}(z) = \lambda(z)$ y $R^{(2)}(z) = z$. Tenemos entonces

$$R(z) = \frac{z\lambda(z) - b^2}{z + \lambda(z)}.$$

Vamos a deducir de esta fórmula una consecuencia importante a saber que $\mid\ \Phi'(t)\mid$ es superior a la unidad sobre la circunferencia $\Gamma$. Tenemos en efecto

$$\Phi'(t) = R'(z)\left[ \frac{z + bi}{R(z) + bi} \right]^2 .$$

Encontramos para $R'(z)$ la expresión

$$R'(z) =\frac{\lambda'(z)(z^2 + b^2) + b^2 + \lambda^2(z)}{[z + \lambda(z)]^2}$$

Reemplazando $R(z)$ y $R'(z)$ por sus valores en función de $\lambda(z)$ en la expresión de $\Phi'(t)$, encontramos después de algunas reducciones

$$\Phi'(t) = \frac{\lambda'(z)(z^2 + b^2) + \lambda^2(z) + b^2}{[\lambda(z) + bi]^2}.$$

Para $\mid t\mid\ = 1$, $z$ es real al igual que $\lambda(z)$; tenemos entonces

$$\mid\ \Phi'(t)\mid\ = 1 + \lambda'(z)\frac{z^2 + b^2}{\lambda^2(z) + b^2}.$$

Conocemos la expresión de $\lambda(z)$:

$$\lambda(z) = kz + h - \sum\frac{A}{z - a} \hspace{0.3in} (k, A, > 0)$$

entonces

$$\lambda'(z) = k + \sum\frac{A}{(z - a)^2}$$

$\lambda'(z)$ es entonces positiva para $z$ real. La expresión de $\mid\ \Phi'(t)\mid$ muestra entonces que $\mid\Phi'(t)\mid\ \geq 1$. Se afirma que jamás tendremos $\mid\Phi'(t)\mid\ = 1$. Para ello faltaría que $z$ ó $\lambda(z)$ llegarán a ser infinitas. Ahora bien, cuando $z$ llega a coincidir con un polo $a$, encontramos que el valor límite de $\Phi'(t)$ es igual a $1 +$ $$\frac{a^2 + b^2}{A}$$$> 1$. Para $z = \infty$, obtenemos el valor límite $1 + \frac{1}{K}$ si $K$ no es nulo, y $1 +$ $\sum\displaystyle\frac{A}{b^2 + h^2}$ si $K = 0$.

Entonces siempre tenemos

$$\mid\Phi'(t)\mid\ > C > 1 \hspace{0.2in}{\mbox{para}}\hspace{0.2in} \mid t\mid\ = 1.$$

Las consideraciones anteriores permiten resolver el problema límite de la iteración, es decir encontrar el conjunto obtenido de los consecuentes de un punto, por la substitución de las diversas especies que hemos considerado.

Consideremos primero una substitución de primer tipo y de primera especie. La cual admite dos puntos dobles atractores que supondremos están, como antes, en el origen y en el punto en el infinito, el círculo $\Gamma$ siendo $\mid t\mid \leq1$.

Sea $Z = R(z)$ esta substitución. Se tiene que los consecuentes de todo punto situado en el círculo $\gamma$ concéntrico a $\Gamma$ de radio más pequeño tienden uniformemente a cero. En efecto, el módulo máximo para $\mid z\mid\ = \rho$ de $$\frac{R(z)}{z}$$ siendo una función creciente cuando $\rho$ varía de $0$ a $1$ para $\mid z\mid\ = 1$, tenemos uniformemente

$$\mid R(z)\mid\ < c\mid z\mid \hspace{0.3in} (0 < \mid c\mid\ < 1)$$

en $\gamma$. Los consecuentes de un punto de $\gamma$ permanecen en $\gamma$ y tenemos

$$\mid z_n\mid\ < c^n\mid z\mid , \hspace{0.3in} \lim z_n = 0$$

uniformemente en $\gamma$. Igual, en el exterior de todo círculo de radio más grande que $1$, $z_n$ tiende uniformemente hacia el infinito.

Inversamente, dado un conjunto cerrado cualquiera $K$ los antecedentes de todo punto de $E$ tienden uniformemente hacia la circunferencia, suponiendo que $E$ no contiene los puntos dobles $0$ e $\infty$. Pues, si fuera de otra manera, habría antecedentes de diversos puntos de $E$ de rango indefinidamente creciente, exteriores a la corona $(1-a, 1+a)$ e interiores, por ejemplo, al círculo $\Gamma$. Sean $z', z'', \dots$ estos antecedentes, tendríamos entonces:

$$\begin{array}{rcl} R_{n_1}(z') & = & \xi', \\ R_{n_2}(z'') ... ... \\ &\vdots &\\ R_{n_p}[z^{(p)}] & = & \xi^{(p)}. \end{array}$$

Pero siendo $\mid z^{(p)}\mid$ para $p$ suficientemente grande $< 1 - a$, implica que $R_{n_p}(z) < C^{n_p}\mid 1 - a\mid, \;\;( C < 1 )$, cantidad que tiende hacia cero con $$\frac{1}{n_p}$$; o los $\xi$ siendo puntos de $E$, tenemos por hipótesis

$$\mid\ \xi^{(p)}\mid\ > K > 0;$$

con lo que tenemos una contradicción.

Podemos precisar más la manera en que los antecedentes de un punto se aproximan a la circunferencia.

Consideremos la circunferencia $\gamma$ de centro $0$ y de radio $\rho < 1$. Se cumple que si $\rho$ es suficientemente cercano a $1$, las diferentes ramas de $R_1(z)$ se permutan circularmente cuando $z$ describe $\gamma$. Supongamos a $r$ superior en módulo a todas las raíces de $R(z) = 0$, y sea $\gamma_{-1}$ la curva (comprendida entre $\gamma$ y $\Gamma$) descrita por una determinación de $R_{-1}(z)$ cuando $z$ describe a $\gamma;\;\ \gamma_{-1}$ se cierra cuando $z$ describe $v$ veces $\gamma$; recíprocamente, si $z$ describe $\gamma_{-1}$ una sola vez, $R(z)$ describe $v$ veces $\gamma$ en el sentido directo, su argumento aumenta en $2z\pi$ el cual debe representar el número de ceros de $R(z)$ comprendida en el interior de $\gamma_{-1}$, multiplicada por $2\pi$. Entonces este número es al menos $1$ (ya que $v \geq 1$); entonces $\gamma_{-1}$, rodea el origen y, por consecuencia, ya que es exterior a $\gamma$, todos los puntos raíces de $R(z) = 0$. Tenemos $v = d$, grado de $R(z)$, y las $d$ ramas de $R_{-1}(z)$ se permutan circularmente cuando $z$ describe $\gamma$; esto subsiste cuando deformamos $\gamma$ sin atravesar los puntos críticos de $R_{-1}(z)$.

Consideremos entonces la corona $(\gamma, \Gamma)$ que no contiene punto crítico alguno de $R_{-1}(z)$, ni por consecuencia de $R_{-n}(z)$, y tracemos un corte, por ejemplo, siguiendo un radio; los $R_{-n}(z)$ llegan a ser uniformes en el dominio así obtenido $\delta$. Los antecedentes $\delta_{-1}$ del dominio $\delta$ son cuadriláteros curvilineos yuxtapuestos en la corona comprendida entre $\gamma_{-1}$ y $\Gamma$; los antecedentes $\delta_{-2}$ del dominio $\delta$, es decir los antecedentes inmediatos de los $\delta_{-1}$, son cuadrilateros curvilíneos yuxtapuestos en la corona comprendida entre $\gamma_{-2}$ y $\Gamma$ y así sucesivamente, las curvas $\gamma_{-1}, \gamma_{-2}, \dots, \gamma_{-n}, \dots$ desarrollandose mutuamente y tendiendo hacia $\Gamma$. Se afirma que las dimensiones lineales de las $\delta$ tienden hacia cero junto con $\frac{1}{n}$; ya que la diferencial del arco del contorno de $\delta_{-n}$ está designada por $d\sigma_{-n}$ tenemos para un delta $\delta_{-n}$ y un $\delta_{-(n-1)}$ convenientemente asociados

$$d\sigma_{-(n-1)} =\ \mid R'(z)\mid d\sigma_{-n},$$

siendo $z$ un punto de $\sigma_{-n}$. Pero hemos demostrado en el parágrafo anterior que $\mid R'(z)\mid\ > K > 1$ sobre $\Gamma$ y, por consecuencia, en una corona alrededor de $\Gamma$. Como las curvas $\gamma_{-n}$ tienden hacia $\Gamma$, tendremos para $n > n'$

$$d\sigma_{-n} < \frac{1}{K}d\sigma_{-(n-1)},$$

la misma relación aplicandose a las longitudes finitas de los contornos de $\delta_{-n}$ y $\delta_{-n-1}$; estas longitudes decrecen entonces como los términos de una progresión geométrica convergente y tienden cero. En particular, los lados de los cuadriláteros $\delta_{-n}$ yuxtapuestos sobre la circunferencia tendiendo a cero cuando su número $d^n$ crece indefinidamente tendrán por puntos límites todos los puntos de la circunferencia; sucederá lo mismo para los dominios superficiales $\delta_{-n}$. Si tomamos un punto $m$ sobre la circunferencia, en la parte de $\Gamma$ comprendida en un círculo de centro $m$ y de radio $\epsilon$ arbitrariamente pequeno, habrá un dominio $\delta_{-n}$; para $n$ suficientemente grande.

Los mismos fenómenos se producen para el exterior del círculo en razón de la simetría con relación al círculo. Entonces el $n$-ésimo consecuente de un dominio circular de radio tan pequeño como lo queramos, teniendo su centro en un punto cualquiera de la circunferencia $\Gamma$, cubrirá para un valor finito de $n$ toda una corona de grosor finito rodeando $\Gamma$. Pero los consecuentes de orden $p$ de esta corona recubrirán todo el plano para un valor finito de $p$, excepto quizá el entorno de los dos puntos dobles $0$ e $\infty$, esta última excepción produciendose solamente si estos puntos no tienen más antecedente que ellos mismos, es decir son puntos excepcionales de los cuales hemos hablado en el Capítulo I; esto no tendrá lugar mas que para $R( z ) = Az^d$. De lo que se puede concluir:

$1^0$ El consecuente de orden $n$ de un dominio arbitrariamente pequeño rodeando un punto de la circunferencia cubrirá todo el plano para un valor finito de $n$ (excepto, en el caso donde $R( z ) = Az^d$, el interior de un círculo de radio arbitrariamente pequeño y el exterior de un círculo arbitrariamente grande de centro $0$);

$2^0$ El consecuente de orden $n$ de un arco tan pequeño como se quiera de la circunferencia la recubrirá completamente para un valor finito de $n$.

Así el conjunto derivado de los antecedentes de un punto cualquiera del plano (salvo los dos puntos excepcionales, si existen) está formado por toda la circunferencia.

Conocemos entonces el conjunto derivado de los antecedentes y de los consecuentes de un punto del plano de una manera muy precisa, salvo él de los consecuentes de un punto de la circunferencia; la búsqueda del conjunto derivado de los consecuentes de un punto de $\Gamma$ es un problema de naturaleza aritmética que se relaciona a la aproximación de los inconmensurables y que no buscaremos a profundidad aquí. Solamente mostraremos, sobre ejemplos, cuales son las principales circunstancias que pueden presentarse.

Consideremos entonces los consecuentes de un punto $m$ de $\Gamma$; estos puntos son todos distintos a menos que $m$ sea el antecedente de un punto doble o periódico; tales antecedentes son densos sobre $\Gamma$ y para cada uno de ellos el conjunto $E'$ derivado de los consecuentes de $m$ puede ser visto como formado por los puntos de un ciclo, o como no conteniendo ningún punto, según veamos, formando parte o no de $E'$ los puntos donde son iguales una infinidad de consecuentes. Éste es en general el primer punto de vista que parece ser el más natural de adoptar.

Voy a demostrar que los mismos puntos periódicos son densos sobre $\Gamma$. En efecto, siendo $\sigma$ un arco cualquiera de $\Gamma$, existe una rama de la función $R_{-h}(z)$, para $h$ suficientemente grande, que da como imagen de $\sigma$ el arco $\sigma_{-h}$, completamente interior a $\sigma$ cuando transformamos por $R_{-h}$ el arco $\sigma$ y el arco $\sigma_{-h}$, que ahí está contenido, obtenemos como imagen de $\sigma_{-h}$ un arco $\sigma_{-2h}$ interior a $\sigma_{-h}$; el arco $\sigma_{-2h}$ tendrá en su contorno una transformada $\sigma_{-3h}$ y así sucesivamente; los arcos $\sigma_{-nh}$ encajados los unos en los otros y de longitudes tendiendo a cero como los términos de una progresión geométrica convergente tienden hacia un punto $\xi$; como siempre se tiene simbólicamente

$$\sigma_{(n-1)h} = R_h(\sigma_{-nh}),$$

se tiene también

$$\xi = R_h(\xi).$$

El punto $\xi$ forma parte entonces de un ciclo cuyo orden es un divisor de $h$; con el arco $\sigma$ siendo arbitrario, vemos que todo punto de $\Gamma$ es punto periódico o límite de puntos periódicos; siempre es límite de puntos periódicos y de periodo indefinidamente creciente ya que no hay un número finito de tales puntos cuyo periodo no sobrepase un número dado.

Podemos señalar que aquí siempre hay puntos de periodo $n$ cualquiera que sea $n$; en efecto, como no hay puntos periódicos cuyo multiplicador sea de la forma $e^{\textstyle\frac{2pi\pi}{q}}$, el caso de excepción examinado en el parágrafo 3 no se presenta y las ecuaciones $R_n(z) = z$ no tienen más que raíces simples. El número $P(n)$ de los puntos periódicos de orden $n$ se obtienen entonces haciendo la inversión de la fórmula

$$\sum_{\delta/n}P(n) = d^n + 1,$$

donde la sumatoria es extendida a los divisores^3.2 $\delta$ de $n$ ; de lo que obtenemos, como sabemos,

$$P(n) = \sum_{\delta/n}\mu(\delta)\left[ d^{\mbox{$\normalsiz... ..._{\delta/n}\mu(\delta)d^{\mbox{$\normalsize\frac{n}{\delta}$}}$$

donde $\mu(\delta)$ es la función aritmética bien conocida igual a $\pm1$ o a $0$, según si $\delta$ es un producto de un número par o impar de factores primos distintos o divisible por un cuadrado; tenemos, además, $\mu(1) = 1$. Obtenemos así:

$$P(n) = \sum\mu(\delta)d^{\mbox{$\normalsize\frac{n}{\delta}$}} \equiv 0 \hspace{0.3in}(\mbox{mod }n),$$

siendo $$\frac{P(n)}{n}$$ el número de los ciclos de orden $n$. Esta propiedad aritmética se relaciona a los teoremas de Fermat y de Euler.

Tenemos entonces en todo arco de $\Gamma$ una infinidad numerable de puntos periódicos para los cuales por consiguiente $E'$ se reduce a un número finito de puntos.

Vamos a mostrar que podemos encontrar igualmente en todo arco de $\Gamma$ puntos para los cuales $E'$ está formado por la circunferencia completa. Consideremos una infinidad numerable de arcos de $\Gamma$ sea $\sigma, \sigma', \sigma'', \dots$ que escribiremos en el siguiente orden, tal que cada uno de ellos figure una infinidad de veces:

$$\sigma, \;\; \sigma', \;\; \sigma, \;\; \sigma', \;\; \sigma... ...gma'', \;\; \sigma''', \;\; \sigma, \;\; \sigma', \;\; \dots .$$

Hay un antecedente de $\sigma$ contenido en $\sigma'$: sea $\sigma_{-a_1}$ el primer arco que satisface esta condición; hay un antecedente de $\sigma_{-a_1}$ contenido en $\sigma$, sea $\sigma_{-a_2}$; de igual manera hay un antecedente de $\sigma_{-a_2}$ contenido en $\sigma'$, sea $\sigma_{-a_3}$; un antecedente de $\sigma_{-a_3}$ en $\sigma''$, sea $\sigma_{-a_4}$; elegiremos enseguida un antecedente de $\sigma_{-a_4}$ no solamente interior a $\sigma$, sino también interior a $\sigma_{-a_2}$ que ha sido ya introducido en $\sigma$ y así sucesivamente. Formamos entonces la tabla siguiente:

$$\begin{array}{llllllllllll} \sigma & \sigma' & \sigma & \sig... ...gma_{-a_7} & \sigma_{-a_8} & \sigma_{-a_9} & \dots \end{array}$$

en la cual los términos de la segunda línea designan arcos interiores a aquellos que están inscritos encima; además, aquellos $\sigma_{-a_n}$ que están inscritos abajo de $\sigma$ se encajan unos en otros; finalmente, cada uno de los $\sigma_{-a_n}$ es un consecuente de todos aquellos que están inscritos a su derecha.

Los arcos

$$\begin{array}{llllllll} \sigma, & \sigma_{-a_2}, & \sigma_{-... ...dots, & \sigma_{-a_{\frac{n(n+1)}{2}- 1}}, & \dots, \end{array}$$

encajados unos en otros y tendiendo a cero, tienen un punto límite $\xi$ interior a cada uno de ellos. $\xi$ tiene entonces consecuentes de rango tan elevado como queramos, contenido en $\sigma^{(K)}$ cualquiera que sea $K$.

Hay así puntos de $E'$ en $\sigma, \sigma', \sigma'', \dots$; si estos arcos han sido elegidos de manera que hubiera una infinidad que fueran completamente exteriores unos de otros, $E'$ contendría una infinidad de puntos.

Para fijar las ideas, consideremos la infinidad numerable de los arcos que tienen por término medio los puntos de argumento $2\pi\displaystyle\frac{p}{q}$ y de longitud $$\frac{1}{q}$$, tomando todos los pares de enteros $p$ y $q$ tales que $p < q$, no primos entre ellos; habrá puntos de $E'$ en todos los arcos que tienen por mitad un punto dado $2\pi\displaystyle\frac{p}{q}$ y una longitud $$\frac{1}{Nq}\;(N = 1, 2, 3, \dots)$$; este punto es entonces de $E'$ o límite de puntos de $E'$; pues bien es $E'$ el cual es cerrado y comprende así toda la circunferencia ya que encierra todos los puntos de argumento comensurable a $2\pi$.

Así $E'$ puede comprender toda la circunferencia o estar formado de un número finito de puntos. Pueden producirse casos intermedios; pero es conveniente señalar que $E'$ siendo un conjunto invariante que comprende los consecuentes de todos sus puntos comprenderá toda la circunferencia si comprende un arco tan pequeño como queramos. Si lo anterior no tiene lugar, $E'$ es por todas partes, discontinuo. Vamos a mostrar sobre un ejemplo que $E'$ puede ser un conjunto perfecto discontinuo. Consideremos la substitución $Z = z^3$, y un punto $z_0$ de argumento $\Theta_0$ sobre la circunferencia $\Gamma$ tal que $$\frac{\Theta_0}{2\pi}$$ se escribe en el sistema de numeración de base $3$ no empleando más que las cifras $0$ y $2$; $$\frac{\Theta_0}{2\pi}$$ pertenece entonces al conjunto perfecto $P$, ejemplo clásico debido a Cantor de un conjunto perfecto que no es denso en ningún intervalo. Los valores de $$\frac{\Theta_0}{2\pi}$$ correspondiendo a los consecuentes del punto de $z_0$ se obtienen desplazando la coma hacia la derecha y, anulando la parte entera en el desarrollo que corresponde al punto inicial; los números obtenidos pertenecen siempre a $P$. Llamemos $\Pi$ al conjunto perfecto de puntos de la circunferencia que corresponde a $P$; los puntos de $E$ siendo de $\Pi$, al igual que los puntos de $E'$ ya que $\Pi$ es perfecto. Podemos elegir $\Theta$ de manera que $E'$ sea idéntica a $\Pi$. Consideremos los números que se escriben empleando solamente las cifras $0$ y $2$ un número finito de veces y son ordenados en una serie lineal tal que cada uno de ellos figure una infinidad de veces: $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \dots$. Basta establecer

$$\frac{\Theta_0}{2\pi} = 0, \hspace{0.3in}(\alpha)0(\beta)00(\gamma)000(\delta)0000(\varepsilon), \dots,$$

llamando a $(\alpha),(\beta),(\gamma),\cdots$ las series de cifras en número limitado que pertenecen respectivamente a la expresiónes de $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ en el sistema de base $3$; intercalemos un número creciente de ceros entre estos grupos de cifras. Vemos, fácilmente que para esta elección los consecuentes de $z_0$ tendrán por límites todas los extremos de arcos contiguos a $\Pi$ correspondiendo a los números $\alpha, \beta, \gamma, \dots$; como todo punto de $\pi$ es límite de estos últimos puntos, tendremos $E' = \Pi$.

Podemos formar de una manera análoga ejemplos donde $E'$ es un conjunto reducible. Pero $\Pi$ resulta de lo que hemos visto en el parágrafo 15 que un conjunto cerrado y además invariante para la substitución dada sobre la circunferencia, este conjunto no será en general el derivado de los consecuentes de un punto; ya que el conjunto formado por dos puntos dobles distintos es un conjunto cerrado e invariante y sabemos que si un conjunto $E'$ encierrra estos dos puntos, encierra una infinidad del resto.

Bastan estos ejemplos para mostrar que el estudio del conjunto $E'$ es un problema de naturaleza aritmética al cual podríamos aplicar los métodos de Borel-Lebesgue para la medida de los conjuntos, y que reclaman de nuevas investigaciones; pero en todos los casos hemos probado superabundantemente que los puntos límites de los consecuentes de un punto $s$ de la circunferencia son funciones discontinuas de $z$ en cada punto de ésta.

Pasamos ahora al estudio de las substituciones de primer tipo y de segunda especie. Estando confinado el punto doble atractor al infinito, podemos establecer

$$R(z) = kz + h - \sum\frac{A}{z - a} \hspace{0.3in} (A > 0, \;k > 1),$$

de donde

$$R'(z) = k + \sum\frac{A}{(z - a)^2}.$$

Tenemos entonces sobre el eje real

$$R'(k) > k > 1.$$

Estableciendo

$$Z = R(z) = X + iY,$$

tenemos

$$\left\{ \begin{array}{l} X = kx + h - \sum\frac{A(x - a)}{(x... ...\ Y = ky + \sum\frac{Ay}{(x - a)^2 + y^2}. \end{array}\right.$$

Tenemos constantemente

$$\mid Y\mid\ > k\mid y\mid, \hspace{0.1in} \mid y_n\mid\ > k^n\mid y\mid,$$

de donde resulta que $\lim y_n= \infty$ uniformemente para $y > y_0 > 0$. Tenemos, además,

$$\mid X\mid\ > k'\mid x\mid\ \hspace{0.3in}(k' > 1)$$

cuando $\mid x\mid$ sobrepasa $P$. Consideremos, por ejemplo, un rectángulo teniendo por centro el origen con lados paralelos a los ejes y de longitudes $2P$ y $2\eta$, siendo $\eta$ elegida de manera que tuvieramos en este rectángulo

$$\mid R'(z)\mid\ > k' > 1,$$

lo que es imposible para $\eta$ suficientemente pequeña ya que $R'(z) > k$ sobre el eje real.

En toda la región $\cal{D}$ del plano exterior al rectángulo y sobre el contorno, tenemos

$$\left\{ \begin{array}{lr} \mid X\mid\ > k'\mid x\mid \\ & (k > 1, k' > 1), \\ \mid Y\mid\ > k\mid y\mid \end{array}\right.$$

de donde concluimos que el dominio ${\cal{D}}_1 = R({\cal{D}})$ es interior a $\cal{D}$ y que los consecuentes $z_n$ de un punto $z$ de $\cal{D}$ tienden uniformemente hacia el infinito. Podemos si así lo queremos, deformar el contorno del rectángulo de tal manera para obtener un contorno analítico $C$ a la tangente continua sin que las dos propiedades anteriores dejen de ser exactas. Vemos además que los puntos críticos de $R_1(z)$ los cuales son los consecuentes inmediatos de los ceros de $R'(z)$ serán exteriores a $C$. Cuando $z$ describe $C$, las $d$ ramas de la función $R_1(z)$ vuelven a tomar cada una su valor inicial después de que $z$ recorrido un contorno completo sobre $C$; las $d$ curvas así descritas son interiores a $C$ ya que los consecuentes de un punto de $C$ o exterior a $C$ son exteriores a $C$. Dichas curvas no se cortan a sí mismas ni entre ellas ya que las $R_1(z)$ son las inversas de una misma función uniforme además de que el mismo $C$ es un contorno simple. Decimos que son exteriores las unas a las otras. Sea $C_1$ una de ellas correspondiendo a una rama de $R_1(z)$ que llamamos $f(z)$ y que es holomorfa en el interior y sobre el contorno de $C$; sean, además, $z'$ un punto interior a $C$ y ${z'}_{-1} = f(z')$. La variación del argumento $f(z) - f(z')$ será cero ó $2\pi$ según si ${z'}_{-1}$ es exterior o interior a $C_{-1}$; o bien es diferente de cero ya que $z'$ es un punto raíz de

$$f(z) - f(z') = 0.$$

Con lo que es entonces igual a $2\pi$. Por lo tanto a un punto $z'$ interior a $C$ corresponde un punto $z_{-1}'$ interior a $C_{-1}$ y sólo uno, y viceversa. Hay aplicación conforme y biunívoca del interior de $C_{-1}$ sobre el interior de $C$.

Lo mismo tiene lugar para las $d$ curvas distintas $C_{-1}^{(1)}, C_{-1}^{(2)},\dots, C_{-1}^{(d)}$. Estas curvas son entonces exteriores unas de otras , pues si un punto $\xi$ estuviera por ejemplo a la vez en el interior de $C_{-1}^{(1)}$ y sobre el contorno $C_{-1}^{(2)}$, tendríamos a la vez $R(\xi)$ interior a $C$ y $R(\xi)$ sobre $C$.

Consideremos el interior de $C$ con la curvas $C_{-1}^{(1)}, C_{-1}^{(2)},C_{-1}^{(3)}$, (tomando por ejemplo $d=3$) y haciendo de nuevo la aplicación de esta figura sobre $C_{-1}^{(1)}$, después sobre $C_{-1}^{(2)}$, después sobre $C_{-1}^{(3)}$. El interior de $C$ siendo aplicable de una manera biunívoca sobre el interior de $C_{-1}^{(1)}$, a las tres curvas $C_{-1}^{(1)}, C_{-1}^{(2)},C_{-1}^{(3)}$ corresponderán tres nuevas curvas interiores a $C_{-1}^{(1)}$ y al interior de las primeras curvas el interior de las segundas. Sean $C_{-2}^{(1)}, C_{-2}^{(2)}, C_{-2}^{(3)}$ estas tres nuevas curvas. Obtendremos de igual forma, con la aplicación de $C$ sobre $C_{-1}^{(2)}$, las tres curvas $C_{-2}^{(4)}, C_{-2}^{(5)}, C_{-2}^{(6)}$ interiores a $C_{-1}^{(2)}$. Finalmente aplicando $C$ sobre $C_{-1}^{(2)}$, obtenemos $C_{-2}^{(7)}, C_{-2}^{(8)}, C_{-2}^{(9)}$ interiores a $C_{-1}^{(3)}$. Las curvas $C_{-2}$ limitan así nueve dominios acotados sin punto en común cuyo conjunto constituye la región antecedente de orden $2$ del interior de $C$. De una manera general, el antecedente de orden $k$ del interior de $C$ estará formado por el interior de $3^k$ curvas:

$$C_{-k}^{(1)}C_{-k}^{(2)}\dots C_{-k}^{(3^k)}$$

pudiendo distribuirse en $3^{k-1}$ grupos de tres curvas respectivamente interiores a las curvas de rango anterior y exteriores unas de otras. El dominio antecedente de $\cal{D}$ será el dominio complementario extendiendose hacia el infinito de una sola pieza y de orden de conexión $3^k$.

En el caso que nos ocupa, todas estas curvas cortan el eje real en dos puntos ya que todos los antecedentes de un punto real son reales.

El dominio abierto de convergencia de las $R_{-n}(z)$ hacia el infinito es el conjunto de los puntos perteneciendo a todos los dominios

$${\cal{D}}_{-n}({\cal{D}}_{-1}<{\cal{D}}_{-2}<\cdots <{\cal{D}}_{-n})$$

que acabamos de definir. Comprende todo el plano salvo los puntos interiores a una infinidad de curvas $C_{-n}$; sea $P$ este último conjunto. Decimos que es perfecto y por todas partes dicontinuo. Tenemos, en efecto, las curvas $C_{-n}$ que son interiores a $C$:

$$\mid R'(z)\mid\ < k' < 1.$$

Entre los diferenciales de los arcos de una curva $C_{-n}$ y de su consecuente inmediato que es una curva $C_{-(n-1)}$, tenemos la relación

$$d\sigma_{-(n-1)} = d\sigma_{-n}\mid R'(z)\mid\ \hspace{0.2in} (z \mbox{ sobre } C_{-n}),$$

de donde

$$d_{-n}\sigma < \frac{1}{k'}d_{-(n-1)}.$$

Entre las longitudes finitas de las curvas $C_{-n}$ y $C_{-(n-1)}$, tenemos la misma relación:

$$l_{-n}, \frac{1}{k'}l_{-(n-1)},$$

de donde

$$l_{-n} < \frac{l_0}{{k'}^n}, \hspace{0.3in} \lim_{n = \infty}l_{-n} = 0.$$

Las longitudes de las curvas $C_{-n}$ tienden hacia cero con $$\frac{1}{n}$$. Por otra parte, toda curva $C_{-n}$ encierra curvas de rangos $n + 1,\; n + 2,\; n + 3,\; \dots$ respectivamente, de las cuales cada una es interior a la anterior; existe entonces un punto interior común que pertenece a $P$.

Así los puntos de $P$ pueden estar encerrados en el interior de un número finito de curvas, a saber las $d^n$ curvas $C_{-n}$ de las cuales cada una tiene una longitud tan pequeña como queramos para $n$ suficientemente grande y que contiene todos o al menos uno de los puntos. De lo anterior se sigue que $P$ es perfecto y discontinuo en cada punto. Primero $P$ es cerrada, pues si $\xi$ punto límite de los puntos $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ de $P$ no perteneciera a $P$, $\xi$ sería para un cierto valor de $n$ exterior a todas las curvas $C_{-n}$; siendo entonces $h$ la distancia más corta de $\xi$ a las curvas $C_{-n}$ y los puntos $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ siendo interiores a las $C_{-n}$, la distancia de $\xi$ a $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ sería mayor o igual a $h$; $\xi$ no sería entonces punto límite de $P$. $P$ es perfecto, pues estando $\alpha$ encerrada en una curva $C_{-n}^{(i)}$ y a su vez esta encerrando en su interior al menos dos curvas distintas y exteriores una de otra $C_{-(n+1)}$, $\alpha$ estará contenida igualmente en una de éstas últimas, sea ${C'}_{-(n+1)}$. Pero otra curva ${C''}_{-(n+1)}$ igualmente interior a $C_{-n}^{(i)}$ contiene al menos un punto $\beta$ de $P$ necesariamente distinto de $\alpha$ y la distancia $\alpha\beta$ es inferior al diámetro $l$ de la curva $C_{-n}^{(i)}$ que es tan pequeña como queramos para $n$ suficientemente grande. $P$ es discontinua en cada punto, ya que si $\alpha$ y $\beta$ son dos puntos de $P$, podemos encerrarlos en curvas $C_{-n}$ cuyo diámetro sea inferior a la semi-distancia de $\alpha\beta$; $\alpha$ y $\beta$ son entonces encerrados en dos curvas $C_{-n}$ y ${C''}_{-n}$ distintas y exteriores una de la otra y toda línea poligonal uniendo $\alpha\beta$ y teniendo por vértices puntos de $P$ tendrá al menos un lado igual a la distancia más corta de una de las curvas $C_{-n}$ en el conjunto $P$, o a la distancia más corta de dos curvas $C_{-n}$.

En el caso actual, al conjunto $P$ pertenece por completo al eje real ya que todas las curvas $C_{-n}$ cortan el eje real en dos puntos.

La elección es evidente a priori ya que hemos visto al inicio de este análisis que $z_n$ tiende hacia el infinito cuando $z$ es imaginaria y que el conjunto $P$ es el conjunto de puntos para los cuales esta convergencia no tiene lugar. Habríamos podido servirnos de esta observación para construir el conjunto $P$. En efecto, consideremos la raíz más grande (real) $\lambda$ de la ecuación $R(z) = z$, comprendida entre el último polo $a$ hacia la derecha y $+\infty$, y de igual manera la más pequeña raíz $\mu$ comprendida entre el último polo $a$ hacia la izquierda y $-\infty$, y veamos el conjunto de las dos semi-rectas $(\lambda, +\infty)$ y $(\mu, -\infty)$ como constituyendo un segmento único conteniendo el punto en el infinito. En este segmento, $z_n$ converge hacia el infinito (excepto en los extremos). Pues, para $z = \lambda$, tenemos $z < z_1 < \cdots < z_n < \cdots, \lim_{n = \infty} z_n = +\infty$, y para $z < \mu, z > z_1 > z_2 \dots > z_n \dots$ (en valor algebráico) y

$$\lim_{n = \infty} z_n = + \infty.$$

Los puntos del eje real que pertenecen al dominio $D_\infty$ de convergencia hacia el infinito son el segmento $\lambda\mu$ y sus antecedentes, extremos no comprendidos; tenemos así una infinidad numerable de intervalos sin puntos en común de dos a dos y sin extremos comunes, contiguos a un conjunto perfecto que es el conjunto $P$ del cual probaremos fácilmente la discontinuidad. Pero el análisis anterior es preferible por que es aplicable a casos donde $P$ no es lineal.

Consideremos un punto $m$ de $P$ y un círculo $c$ de radio $\varepsilon$ teniendo por centro $m$. Para un valor conveniente del entero $n$, el diámetro de las curvas $C_{-n}$ será inferior a $\varepsilon$; el círculo $c$ conteniendo $m$ contendrá entonces un dominio ${\cal A}_(-n)$ acotado por una curva $C_{-n}^{(i)}$ y que es un antecedente de rango $n$ del interior de ${\cal A}$ de la curva $C$. El $n$-ésimo consecuente del círculo $c$ cubrirá entonces ${\cal A}$. Por otra parte, siendo ${\cal A}$ el complemento del dominio (abierto) ${\cal D}$, ${\cal A}_p + {\cal D}_p$ recubre todo el plano; como ${\cal D}_p$ para $p$ suficientemente grande es exterior a un círculo de radio tan grande como queramos, ${\cal A}_p$ cubrirá todo el plano excepto quizá el exterior de este círculo; pero ${\cal A}_p {\cal A}_1$ contiene ${\cal A}_{p'}$, si $p'<p$, y como ${\cal A}$ encierra un polo $R(z)$, contiene el exterior de un cierto círculo de centro $O$. Entonces ${\cal A}$ para $p$ suficientemente grande cubre todo el plano. Como $c_n$ cubre ${\cal A}$, $c_{n+p}$ cubre todo el plano. Así:

El $n^{\mbox{\scriptsize {\'esimo}}}$ consecuente de un dominio tan pequeño como lo queramos rodeando un punto de $P$ cubre todo el plano para un valor finito de $n$.

Todo punto de $P$ es así límite de los antecedentes de un punto cualquiera del plano. Veamos por otra parte inmediatamente que $P$ contiene los consecuentes y antecedentes de todos sus puntos. Contiene también los puntos dobles y periódicos además de $z = \infty$. Aún podremos demostrar que $P$ es límite de puntos periódicos; que contiene, puntos tales que el conjunto derivado de sus consecuentes sea idéntico a $P$, etc. No cabe insistir, pues encontraremos en el Capítulo siguiente (que será publicado posteriormente) teoremas más generales.

Es interesante saber si $P$ es de medida lineal nula, esta propiedad interviene en el estudio de las funciones uniformes que admiten a $P$ como conjunto de sus singularidades esenciales. Para que lo anterior tenga lugar basta que la suma de las longitudes de las curvas $C_{-n}$ tienda a cero con $$\frac{1}{n}$$. Lo que sucederá siempre que tengamos $k > d$ [grado de $R(z)$], condición en absoluto necesaria. Además no alcanzé a reconocer si $P$ puede ser de medida no nula.

En resumen, dada una substitución en el círculo fundamental de segunda especie, los consecuentes de un punto cualquiera del plano convergen hacia el punto doble atractor situado sobre la circunferencia, exceptuando los puntos de un conjunto perfecto $P$ por todas partes discontinuo situado igualmente sobre la circunferencia; este conjunto que es invariante, goza de la propiedad de que cada uno de sus puntos es límite de los antecedentes de un punto cualquiera del plano. En todo dominio cerrado no conteniendo ningún punto en común con $P$, la convergencia es naturalmente uniforme.

Consideremos ahora el caso singular donde hay sobre la circunferencia un punto doble de multplicador igual a $+1$, contando por dos puntos dobles iguales. La substitución puede entonces llevarse a la forma

$$Z = R(z) = z + h - \sum\frac{A}{z -a},$$

donde las $a$ son reales, las $A$ positivas al igual que $h$ si los ejes están convenientemente orientados. Tenemos entonces

$$X = x + h - \sum\frac{A}{(x - a)^2 + y^2}$$

$$Y = y + \sum\frac{A}{(x - a)^2 + y^2}$$

En todo dominio acotado no teniendo ningún punto en común con el eje real, $z_n$ tiende uniformemente hacia el infinito. En efecto, tenemos para un punto fuera de este eje por ejemplo sobre:

$$y_{n+1} > y_n > \dots, > y > 0,$$

$y_n$ tiende hacia un límite finito o infinito. Si es finito, tenemos en virtud de la igualdad

$$y_{n + 1} - y_n = y_n\sum\frac{A}{(x_n - a)^2 + n^2}$$

un límite infinito para $x_n$. Entonces en todos los casos, $z_n$ tiende hacia el infinito; $z_n$ se encuentra entonces, a partir de un cierto rango, en un dominio limitado por una paralela al eje imaginario y donde hay convergencia uniforme hacia el infinito ($\S$ 8); estando $z_p$ en el interior de un dominio de convergencia uniforme, lo mismo ocurre para $z$; y sabemos que una serie de funciones que converge uniformemente en todos los puntos de un dominio, es decir en dominios parciales rodeando cada punto, converge uniformemente en todo el dominio.

Hay entonces convergencia uniforme en toda parte acotada de un dominio definido por $y > t_0 > 0$ ó $y < -y_0 < 0$. Sabemos que también hay convergencia en todo dominio cerrado definido por $x \geq x_0$ para $x_0$ suficientemente grande. Podríamos considerar el dominio de los puntos para los cuales tenemos una de estas tres desigualdades y buscar sus antecedentes sucesivos como en el parágrafo anterior. Nos conformaremos con examinar lo que sucede sobre el eje real. Sea $\lambda$ el último punto doble a distancia finita a la derecha de los polos $a$, las $z_n$ convergen hacia el infinito cuando $z$ es interior al segmento $(\lambda, +\infty)$, y recíprocamente los consecuentes de todo punto $z$ tal que $z_n$ tienda hacia el infinito se encuentran a partir de un cierto rango en el interior de este segmento, a excepción de los antecedentes del punto en el infinito. El conjunto de los puntos $z$ del eje real para los cuales hay convergencia uniforme para las $R_n(z)$ hacia el infinito es el conjunto de los puntos interiores al segmento $(\lambda, +\infty)$ y a todos sus antecedentes. Estos segmentos todos descritos en el mismo sentido [ya que $R'(z)$ es positiva para $z$ real] entonces no tienen puntos en común de dos en dos y ni extremos comunes; son contiguos a un conjunto perfecto $P$. Decimos que $P$ es no denso, es decir que todo segmento conteniendo en su interior un punto de $P$ encierra antecedentes de puntos de $\sigma$. En efecto, si $z$ es un punto de $P$ que no sea un antecedente del punto en el infinito, sus consecuentes serán interiores una infinidad de veces a un segmento acotado, por ejemplo aquel que tiene por extremos el polo $a$ el más a la izquierda y el punto doble $\lambda$. Pues si $z$ está a la izquierda de las $a$, tenemos

$$z_1 - z = R(z) - z = h - \sum\frac{A}{z-a} > 0 \hspace{0.2in}(z < z_1),$$

y si todas las $z_n$ permanecieran a la izquierda de las $a$, tenderían hacia un único punto límite $b$ tal que $b = R(b)$, es decir hacia un punto doble y no a la izquierda de las $A$. Entonces el último polo hacia la izquierda $a'$ será rebasado y tendremos un $z_p$ interior al segmento precipitado, ya que $z_p$ no puede rebasar a $\lambda$, extremo del segmento de convergencia $\sigma$.

Dicho lo anterior, tenemos

$$R'(z) = 1 + \sum\frac{A}{(z-a)^2}.$$

Entonces $R'(z) > 1$ para $z$ real y $R'(z) > k > 1$ en todo segmento acotado.

Sea entonces $s$ un segmento conteniendo el punto $z$. Si los segmentos consecuentes $s_1, s_2, \dots, s_n, \dots$ fueran constantemente exteriores a $\sigma$, jamás contendrían polos $a$ y serían todos descritos en el mismo sentido, $\alpha_n$ y $\beta_n$ extremos de izquierda y de derecha de $s_n$; siendo los consecuentes respectivos de $\alpha$ y de $\beta$, extremos de izquierda y de derecha de $s$; las longitudes de los segmentos $s_n$ creciendo constantemente debido a que $R'(z) > 1$; además, $\alpha_n$ siendo una infinidad de veces interior a un segmento acotado $(a', \lambda)$ y $\beta_n$ no rebasando $\lambda$, tendremos una infinidad de veces

$$\mbox{ longitud } s_{n+1} > k \mbox{ longitudes }s_n \hspace{0.3in} (k > 1),$$

ya que $s_n$ está completamente en el segmento $(a', \lambda)$ para estos valores de $n$. Se sigue que la longitud del segmento $s_n$ crecería indefinidamente y sobrepasaría por consiguiente la del segmento $(a', \lambda)$. Hay una contradicción. Debemos entonces suponer que los $s_n$ invaden a partir de un cierto rango el segmento $\sigma$. $P$ es no denso y cada uno de sus puntos es límite de segmentos contiguos, antecedentes de $\sigma$. Igual demostraremos sin dificultad que los consecuentes de un segmento conteniendo un punto de $P$ cubren cada uno todo el eje real a partir de un rango finito; de lo que se sigue que cada punto de $P$ es límite de antecedentes de un punto cualquiera del eje real. Aún es verdad que cada punto de $P$ es límite de antecedentes de un punto cualquiera del plano, pero dejaremos esta demostración de lado por el momento. Podemos decir en resumen que dada una substitución del círculo fundamental $\Gamma$ teniendo sobre la circunferencia un punto doble $\alpha$ para el cual $R(\alpha) = +1,\; R''(\alpha) \neq 0$ el dominio de convergencia uniforme de las substituciones iteradas hacia $\alpha$ comprende todo el plano salvo los puntos de un conjunto perfecto no denso de puntos de la circunferencia la cual forma la frontera de este dominio y contiene el mismo punto $\alpha$. Consideremos ahora el caso donde tenemos un punto doble $\alpha$ con

$$R'(\alpha) = +1, \hspace{0.3in} R''(\alpha) = 0.$$

La substitucion se lleva entonces a la forma

$$R(z) = z - \sum\frac{A}{z-a} \hspace{0.3in}(A > 0),$$

la constante $h$ en todo momento siendo nula. Las fórmulas

$$X = x - \sum\frac{A(x-a)}{(x-a)^2 + y^2}$$

$$Y = y\left[ 1 + \sum\frac{A}{(x-a)^2 + y^2} \right]$$

permiten establecer como anteriormente que $\lim z_n = \infty$ cuando $z$ es exterior al eje real y también uniformemente en toda parte acotada del semi-plano superior o del semi-plano inferior; pero estos dos dominios de convergencia son distintos y las $z_n$ no pueden converger uniformemente en ningún dominio encerrando en su interior un punto del eje real. Lo anterior resulta de lo que ha sido dicho en el Capítulo II ($\S$ 11). Lo verificamos aquí señalando que si $z$ es real tenemos $z_1 < z$ si $z$ está a la derecha de las $a$ y $z_1 > z$ (en valor algebráico) si $z$ está a la izquierda de las $a$, por consiguiente $\mid z_{n+1}\mid\ <\ \mid z_n\mid$, cuando $\mid z_n\mid$ es suficientemente grande; $z_n$ solamente puede entonces tender hacia el infinito si $z$ es uno de los antecedentes (en infinidad numerable) del punto en el infinito. Dejaremos de lado aquí la demostración del hecho de que los consecuentes de un segmento del eje real terminen por recubrirlo completamente, la demostración es análoga a aquella del parágrafo anterior.

Vemos que las substituciones de este género son un caso límite de aquellas de segunda especie, los dos puntos dobles atractores siendo iguales a uno situado sobre la circunferencia; los llamaremos entonces substituciones singulares de primera especie. Al contrario de aquellas examinadas anteriormente $[R'(\alpha) = +1, R''(\alpha) = 0]$ deben ser vistas como substituciones singulares de segunda especie.

Finalmente, la extensión de los resultados obtenidos en las substituciones de segundo tipo, aquellas que permutan entre si el interior y el exterior de un círculo, es demasiado simple para insistir.

Señalemos que lo que ha sido dicho en el Capítulo I ($\S$ 6) a propósito de los dominios invariantes encuentra aquí su aplicación, que especialmente el interior y el exterior del círculo fundamental quienes constituyen dos dominios completamente invariantes encierran cada uno la mitad de los puntos críticos de la función inversa.

Vamos a mostrar ahora que los métodos utilizados para estudiar las substituciones teniendo un círculo fundamental se aplican a un gran número de casos. Consideremos por ejemplo la substitución ($\S$ l5):

$$Z = z^2 + 5$$

Hemos señalado que dicha substitución admite el único punto doble atractor $z = \infty$, siendo el resto de los puntos dobles o periódicos repulsivos. Por otra parte, los $z_n$ convergen uniformemente hacia el infinito en el dominio definido por $\mid z\mid\ > 4$ este dominio encierra su consecuente y contiene por otra parte los dos puntos críticos de la función inversa

$$R_{-1} = \sqrt{z - 5}$$

que son el punto en el infinito y el punto $z = 5$. De lo que resulta que el análisis del parágrafo 21 es aplicable aquí. El dominio de convergencia hacia el infinito, que es el dominio límite de los antecedentes del dominio inicial comprende todo el plano salvo los puntos interiores a una infinidad de curvas $C_{-n}$, idénticas desde el punto de vista del Analysis situs a aquellas examinadas en este parágrafo. Las dimensiones de estas curvas tienden aún hacia cero, pues tendremos sobre cada una de ellas a partir de un cierto rango

$$\mid R'(z)\mid\ > k > 1.$$

Podemos tomar aquí $k = 2$. En efecto, $R'(z) = 2z$ y, para $\mid z\mid\ \leq 1$, $R(z) \geq 4$. El dominio antecedente de rango $1$ del dominio inicial ${\cal D}$ comprende entonces el dominio $\mid R(z)\mid\ \geq 2$ sobre las curvas $C_n$ tendremos por lo tanto a partir de $n = 2$

$$\mid R'(z)\mid\ > k > 2.$$

De lo que resulta que no solamente las longitudes de las curvas $l_{-n}$ tienden hacia cero, sino que la suma de sus longitudes puede hacerse tan pequeña como se quiera para un valor conveniente de $n$. El conjunto perfecto $P$ de los puntos que son interiores a una infinidad de curvas $C_{-n}$ aquí es entonces no solamente discontinuo, sino de longitud nula. Vemos aquí que $P$ no está sobre una curva simple, pues contiene dos puntos dobles $\alpha = -$ $$\frac{1 \pm i\sqrt{19}}{2}$$ cuyos multiplicadores son imaginarios: $s = 2\alpha = 1 \pm i\sqrt{19}$; $P$ siendo perfecto encierra puntos $\beta$ cercanos a $\alpha$; si calculamos los antecedentes de $\beta$ por medio de la rama de la función inversa $\sqrt{z - 5}$ igual a $\alpha$ para $z = \alpha$, estos antecedentes tienden a $\alpha$ agrupandose sobre una curva en espiral teniendo a $\alpha$ por punto asíntoto, de manera que el argumento de $\beta_{-n} - \alpha$ tuviera más de dos valores límites distintos. Ninguna curva pasando en $\alpha$ y conteniendo los puntos de $P$ puede entonces tener una tangente única. Transformando la configuración obtenida alrededor de $\alpha$, para las substituciones $Z = R_{-n}(z)$ obtenemos configuraciones análogas en torno de los antecedentes de $\alpha$ que son densos sobre $P$.

Obtenemos resultados semejantes sobre numerosos ejemplos de polinomios, por ejemplo de la forma $z^m + a$, si $\mid a\mid$ es suficientemente grande.

Ahora aquí están ejemplos en los cuales $R(z)$ no es un polinomio. Basta tomar $R(z) =$ $$\frac{z}{z^m + 2}$$ $(m \geq 2)$. Para $m = 2$, tenemos una substitución en el círculo fundamental ya estudiada. No sucede así para $m > 2$. En efecto, tenemos el punto doble atractor $z= 0$, y los puntos dobles definidos para $z^m = -1$, situados sobre la circunferencia $\mid z\mid\ = 1$, y que son repulsores, pues

$$R'(z) = \frac{2 - (m - 1)z^m}{(z^m + 2)^2},$$

y toma el valor $m+1$ para $z = (-1)^\frac{1}{m}$. Si hubiera un círculo fundamental, este sería el círculo $\mid z\mid\ \leq 1$ y debería tener un punto doble en el infinito conjugado de $z= 0$, lo cual no sucede.

Los consecuentes de un punto $z$ convergen hacia cero para $\mid z\mid\ < 1$ y uniformemente en todo círculo de radio $<1$. Pues, para que $\mid R(z) \mid$ sea inferior a $\mid z\mid$, basta que $\mid z^m + 2\mid$ sea $> 1$, entonces $\mid z\mid\ < 1$. Para $\mid z \mid\ < r < 1$, tendremos $\mid R(z)\mid\ < k\mid z\mid\ \;(k < 1)$. Los puntos críticos de la función $R_{-1}(z)$ son por una parte el punto en el infinito, pues para $Z = 0$, la ecuación $$\frac{z}{z^m + 2}$$$= Z$ admite una raíz nula y $m-1$ raíces infinitas; por otra parte, los puntos que se obtienen haciendo $R'(\zeta) = 0, c = R(\zeta)$. Tenemos así

$$\zeta^m = \frac{2}{m - 1},\;\;\; \mid c\mid\ = \frac{1}{m}\l... ...{2} \right)^{1 -\frac{1}{m}} \hspace{0.2in} (\mid c\mid\ < 1).$$

Consideremos un círculo de radio apenas inferior a $1$ conteniendo en su interior los puntos $c$. Sea $\Gamma$ este círculo; busquemos cual será el dominio antecedente inmediato o todo o al menos la parte de este dominio que es de una sola pieza con el origen y que comprende por consiguiente $\Gamma$ en su interior; la cual comprenderá la parte positiva del eje real, pues cuando $z$ varía de $0$ a $+\infty$, $R(z)$ varía de $0$ a $0$ pasando por un máximo igual a $\mid c \mid$ para $z = \left( \displaystyle\frac{2}{m-1} \right)^\frac{1}{m}$, entonces interior a $\Gamma$. Dado lo anterior, consideremos el dominio acotado por la circunferencia $\Gamma$ de la cual hemos extraído un arco en la vecindad de $z = 1$; dos paralelas al eje real de una y otra parte de este eje que trazaremos hasta la circunferencia $\mid z \mid\ = 2$ y que asumiremos suficientemente próximas para que la banda así obtenida a la derecha de $\Gamma$ tenga su consecuente interior a $\Gamma$, finalmente, la circunferencia $\mid z \mid\ = 2$, suprimiendo el arco comprendido entre las dos paralelas. Tenemos así un contorno simple $C$ dividiendo el plano en dos regiones simplemente conexas: una región no acotada (que es una parte del antecedente inmediato del interior de $\Gamma$) comprendiendo los puntos críticos de $R_{-1}(z)$, y teniendo como consecuente inmediato una región que le es completamente interior; por otra parte una región interior a $C$ donde todas las funciones $R_{-n}(z)$ son holomorfas. El exterior de $C$ es un dominio de convergencia uniforme hacia el punto atractor $z= 0$. Nos encontramos así en las condiciones de la aplicación del parágrafo 21. Decimos que tendremos sobre las curvas $C_{-n}$ a partir de un cierto rango

$$\mid R'(z)\mid\ > K > 1.$$

En efecto, podemos escribir

$$R'(z) = -\left[ (m - 1) - \frac{2}{z^m} \right]R^2(z)z^{m-2}.$$

Supongamos que hubieramos tomado el radio del círculo $\Gamma$ rigurosamente igual a $1$. Si $z$ está sobre la curva $C_{-n} (n \geq 1)$, debemos suponer el argumento de $z^m$ comprendido entre $+\frac{\pi}{2}$ y $+3\frac{\pi}{2}$ (extremos excluidos), si no tendríamos

$$\mid 2 + z^m\mid\ \geq \sqrt{5}, \hspace{0.3in}R(z) \leq \frac{z}{\sqrt{5}}\leq\frac{2}{\sqrt{5}} < 1,$$

y $z_1$ sería interior a $C$

El argumento de $-\displaystyle\frac{2}{z^m}$ está entonces comprendido entre $-\displaystyle\frac{\pi}{2}$ y $+\displaystyle\frac{\pi}{2}$ y tenemos

$$\left\vert (m-1) - \displaystyle\frac{2}{z^m} \right\vert > \sqrt{(m - 1)^2 + \frac{1}{2^{2m - 2}}}$$

Además

$$\mid R^2(z)z^{m-2}\mid\ \geq 1.$$

Tenemos entonces

$$R'(z) > K > m - 1,$$

y, como podemos tomar el radio de $\Gamma$ tan cercano a $1$ como queramos, la desigualdad anterior tiene lugar cuando este radio es convenientemente elegido.

Así entonces las $z_n$ convergen hacia cero en un dominio que tiene por frontera un conjunto perfecto por todos lados discontinuo. No sabemos si, en el caso actual, la longitud de este conjunto es nula, pero en todos los casos su área es nula, pues la relación de los elementos de área de un dominio limitado por una curva $C_{-n}$ y de dominio consecuente será inferior a $$\frac{1}{(m - 1)^2}$$, y como cada $C_{-(n-1)}$ engendra $mC_{-n}$, tenemos^3.3

$$\sum\mbox{\'area}\ C_{-n} < \frac{m}{(m-1)^2}\sum\mbox{\'area}\ C_{-(n-1)},$$

y como $$\frac{m}{(m-1)^2}$$$(m \geq 3)$ es $<1$, estas sumas de áreas decrecen en progresión geométrica; se obtiene la conclusión.

Señalemos rápidamente el ejemplo que sigue:

$$R(z) = \frac{z^2}{z^3 + 2}.$$

Aquí todos los puntos críticos de la función inversa son interiores al círculo de convergencia $(\mid z\mid\ < 1)$. Estos son los puntos $z= 0$ y $z^3 =$ $$\frac{2}{3^3}$$. Una circunferencia de radio poco inferior a $1$ jugará aquí el rol de la curva $C$. Para demostrar que $\mid R' ( z)\mid$ es mayor estricto que $K$ ($K > 1$) sobre las $C_{-n}$, operamos como antes, señalando que el argumento de $z^3$ esta comprendido entre $$\frac{\pi}{2}$$ y $$\frac{3\pi}{2}$$ cuando $z$ está sobre $C_1$. Tendremos enseguida

$$\begin{array}{ccc} R'(z) = \left( \frac{4}{z^3} - 1 \right) ... ...id\ < \sqrt{3}, & \mid R(z)\mid\ > 1 - \varepsilon. \end{array}$$

Entonces:

$$\mid R'(z)\mid\ > K > 1.$$

El conjunto frontera del dominio de convergencia es por todas partes discontinuo. Tenemos aquí tres puntos dobles repulsores, de los cuales dos son de multiplicador imaginario.

En resumen, podemos decir que dada una substitución racional $[ z \mid R(z)]$ que contiene un punto doble atractor, si podemos encontrar una curva que divida el plano en dos regiones, de las cuales una contiene el punto doble atractor y los puntos críticos de la substitución inversa, y tal que la substitución dada la transforme en otra que le sea completamente interior, de manera que sea parte del dominio de atracción del punto doble, si además, sobre las curvas antecedentes de $C$, tenemos a partir de cierto rango

$$\mid R'(z)\mid\ > k > 1,$$

el dominio total del punto doble tiene por frontera un conjunto perfecto por todas partes discontinuo; este conjunto es de medida lineal nula si $k$ es superior al grado $d$ de $R(z)$, de medida superficial nula si $k > \sqrt{d}$.

Veremos en el capítulo siguiente que ciertas condiciones enunciadas aquí son redundantes.

No es inútil hacer a propósito de este teorema algunas observaciones complementarias. Primero tener interés en tener para las curvas antecedentes del parágrafo 21 un sistema de numeración que no sea arbitrario. Si designamos por $R_{-1}^{(0)}, R_{-1}^{(1)}, \dots, R_{-1}^{(d-1)}$ las determinaciones de la función inversa, uniformes y distintas en el interior de $C$, es natural designar por el grupo de cifras $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n?})$ la curva $C_{-n}$ que se deriva de $C$ por la substitución $R_{-1}^{(\alpha_1)}\left[R_{-1}^{(\alpha_2)}\left[R_{-1}^{(\alpha_3)}\left[ \dots z\right]\right]\right]$ ; de esta manera vemos enseguida que: $1^0$ para que dos curvas $C_{-n}$ y $C_{-n'}(n' > n)$ sean interiores una en otra, es necesario y suficiente que el grupo de cifras o índice de $C_{-n'}$ comienze por las cifras de $C_{-n}$; $2^0$ que los índices de los consecuentes de $C_{-n}$ se obtienen suprimiendo sucesivamente $1, 2, 3, \dots$ cifras a la izquierda de su índice; $3^0$ que los antecedentes de $C_{-n}$ se obtienen agregando cifras a la izquierda del índice. Enseguida infinidad de cifras harán corresponder el punto interior común a todas las curvas teniendo por índices sucesivos los grupos de $1, 2, 3, \dots$ primeras cifras de la serie; de esta manera, hay correspondencia biunívoca entre los puntos de $P$ y las series infinitas de cifras en cuestión. A esta serie de cifras corresponde además el número comprendido entre $0$ y $1$, tal que la serie de estas cifras representativas después de la coma en el sistema de numeración en base $d$ sea la serie propuesta, siendo biunívoca la correspondencia, excepto para una infinidad de número racionales que pueden escribirse de dos maneras, a saber aquellos que pueden escribirse de manera que no tengan ceros a partir de un cierto rango y que también podemos escribir no empleando más que la cifra $d - 1$ a partir de un cierto rango.

Vemos así que $P$ tiene la potencia del continuo; no hemos hecho mas que repetir, en un caso particular, la demostración clásica de esta propiedad de los conjuntos perfectos, pero aquí el modo de representación adoptado para $P$ está en relación estrecha con las propiedades de invarianza de este conjunto con relación a la substitución dada. En particular, a las fracciones periódicas simples les corresponden los puntos periódicos, a las fracciones periódicas mixtas los antecedentes de estos puntos. Si dejamos de lado los desarrollos que se terminan por cero repetido indefinidamente, tenemos una correspondencia biunívoca entre los números reales $(0 < t \leq 1)$ por una parte y los puntos de $P$ por la otra, con la exclusión de los antecedentes de uno de los puntos dobles que no son representados. A dos puntos de $P$ infinitamente cercanos corresponden dos valores de $t$ infinitamente cercanos; la recíproca no es válida, la cantidad compleja que corresponde a un punto de $P$ siendo una función discontinua de $t$ para los valores de $t$ en representación ambigua, pero continua por todas partes. Si establecemos $z = f(t)$ conviniendo que $f(t +1) = f(t)$, tenemos $R(z) = f(dt)$. Con la ayuda de estas observaciones, demostramos inmediatamente: $1^0$ que todo punto de $P$ es límite de puntos periódicos; $2^0$ que hay, en la vecindad de cada punto de $P$, puntos tales que el conjunto derivado de sus consecuentes sea idéntico a $P$, etc. ( cf. $\S$ 20 ).

Otra observación que tiene lugar, es que la existencia de un dominio de convergencia en la frontera por todas partes discontinua no es un caso singular, es decir que esta circunstancia se producirá sin que haya des-i-gual-da-des particulares entre los coeficientes de la función $R(z)$; basta que estos coeficientes varien en un dominio conveniente. Consideremos una substitución racional de grado $d$ para la cual el hecho se produce, por ejemplo una substitución en el círculo fundamental de la segunda especie no singular y sea una curva $C$ que divide el plano en dos regiones gozando de las propiedades indicadas con anterioridad, el exterior de $C$ conteniendo los puntos críticos de $R_{-1}(z)$ y el punto doble atractor. Si hacemos variar los coeficientes de $R(z)$, los $2(d-1)$ puntos críticos de $R_{-1}(z)$, que se obtienen igualando a cero el discriminante de la ecuación $R(y)=z$, variarán de una manera continua y permanecerán exteriores a $C$ para una variación suficientemente pequeña de los coeficientes. Como por otra parte $R(z)$ es una función uniformemente continua de $z$ y de los coeficientes en el dominio ${\cal D}$ exterior a $C$, la propiedad consistiendo, en que ${\cal D}_1 = R({\cal D})$ es interior a ${\cal D}$ subsistirá igualmente; por una razón análoga, aún tendremos $\mid R'(z)\mid\ > K' > 1$ sobre $C$ y en su interior $(K' < K)$. Decimos que, en ${\cal D}$ las $R_n(z)$ convergerán hacia un punto doble atractor. En efecto, tal punto doble existe aún en ${\cal D}$, ya que las raíces de la ecuación $R_n(z) = z$ y los multiplicadores correspondientes $s = R'(z)$ son funciones continuas de los coeficientes; sean $\alpha$ el punto doble y $z_0$ un punto interior a $C$. Las funciones $$\frac{1}{R_n(z) - z_0}$$ siendo acotadas en su conjunto en ${\cal D}$ y tendiendo uniformemente hacia $$\frac{1}{\alpha - z_0}$$ en un pequeño círculo de centro $\alpha$ interior a ${\cal D}$ tenderán uniformemente hacia esta constante en todo el dominio ${\cal D}$^3.4. Entonces los $R_n(z)$ convergen hacia $\alpha$ en ${\cal D}$ y finalmente en el dominio teniendo por frontera el conjunto discontinuo $P$.

Podemos precisar más cuando $R(z)$ es un polinomio: basta que el término constante de $R(z)$ sea suficientemente grande, el resto de los coeficientes siendo dados para que la substitución $[ z \mid R(z)]$ entre en la categoría anterior. Establezcamos

$$R(z) = A_0z^d + A_1z^{d - 1} + \cdots + A_{d-1}z + t = A(z) + t, \hspace{0.2in} R'(z) = A'(z),$$

siendo $t$ un parámetro. La desigualdad $\mid R'(z)\mid\ \leq K\ \;(K > 1)$ define uno o más dominios acotados $E$, que son fijos cuando $t$ varía. Sea $M$ el máximo^3.5 de las distancias de estos dominios al origen. Tomamos siempre $\mid t\mid\ > M$. Siendo lo anterior, para que tuvieramos $\mid R(z)\mid\ >\ \mid z\mid$, basta que $\mid z\mid$ sea superior a la raíz positiva de la ecuación

$$\mid A_0\mid x^d - \mid A_1\mid x^{d-1} - \dots - [\mid A_{d-1}\mid + 1]x - \mid t\mid\ = 0$$

Sea $r$ esta raíz; en el dominio ${\cal D}$: $\mid z\mid\ \geq r' > r$, las $R_n(z)$ convergen uniformemente hacia el infinito. Si por otra parte, tomamos $z$ en $E$, tenemos

$$\mid z_1\mid\ = \mid R(z)\mid\ \geq\ \mid t\mid\ - M.$$

Para que $z_1$ estuviera en un dominio tal como ${\cal D}$, basta que $\mid t\mid\ - M > r$, es decir, con $\mid t\mid\ = \rho$ estableciendo que

$$\mid A_0\mid (\rho - M)^d - \mid A_1\mid (\rho - M)^{d-1} - \cdots - [\mid A_{d-1} + 1\mid ](\rho - M) - \rho > 0$$

El coeficiente de $\rho^d$ siendo positivo en el primer número, lo que tendrá lugar cuando $\rho$ sea superior a $L, L > M$ siendo, por ejemplo, la raíz positiva más grande del primer número.

Tomaremos entonces $\mid t\mid\ > L$, y $r'$ suficientemente cercano a $r$ para que la desigualdad $\mid R'(z)\mid\ \leq K$ conlleve a $\mid R(z)\mid\ > r'$, lo cual es posible en virtud del análisis anterior; ${\cal D}$ contiene entonces los consecuentes de los dominios $E$ y en particular los consecuentes inmediatos de los puntos raíz de $R'(z) = 0$ que junto con el punto al infinito constituyen los puntos críticos de $R_{-1}(z)$. Además, sobre las curvas antecedentes del contorno $C$ de ${\cal D}$, tenemos $\mid R'(z)\mid\ > K > 1$, a partir del primer rango. Estamos entonces en el caso donde la frontera del dominio de convergencia hacia el infinito es en todas partes discontinuo (y de longitud nula si $K > d$).

Ahora vamos a estudiar ejemplos de substituciones racionales con dos puntos dobles atractores, cuyos dominios respectivos son simplemente conexos de una sola pieza, y separados por una curva como en las substituciones en el círculo fundamental de primera especie.

Tomemos, por ejemplo $R(z) =$ $$\frac{z + z^d}{2}$$ $\ (d\geq 2)$. Aquí tenemos dos puntos dobles atractores, el punto en el infinito y el origen. Constatamos fácilmente que el dominio del punto en el infinito comprende el exterior de todo círculo $C$ de radio superior a $3^{\textstyle\frac{1}{d-1}}$ y que en un dominio como éste tenemos: $\mid z_1\mid\ > K'\mid z\mid\ \; ( K' > 1)$. De igual manera, el dominio del origen comprende el interior de todo círculo $C$ de radio más pequeño que $1$, en el cual tendremos: $\mid z_1\mid\ > k\mid z\mid,\; ( k < 1)$. Los puntos críticos de $R_{-1}(z)$ son el punto en el infinito en torno al cual se permutan circularmente las $d$ ramas de $R_{-1}(z)$ y los puntos $c = R(\zeta)$, $R'(\zeta) =$ $$\frac{1 + d\zeta^{d-1}}{2}$$$= 0$, lo que da $d - 1$ puntos críticos simples, todos interiores a $C$, si tomamos el radio de $C$ superior a $\left( \frac{1}{d}^\frac{1}{d-1} \right)$.

Los valores de $R_{-1}(z)$ se permutan circularmente sobre las circunferencias $C$ y $C'$. De lo que podemos deducir fácilmente que las curvas antecedentes de $C$ son curvas simples de una sola pieza ${C'}_{-1}, {C'}_{-2}, \dots,$ tales que ${C'}_{-n}$ sea interior a ${C'}_{-(n-1)}$ y comprendiendo todas el origen en su interior, de manera que $z_{-n}$ regrese a su punto de partida sobre $C'_{-n}$, habiendo aumentado su argumento en $2\pi$ cuando $z$ a hecho $d^n$ veces el contorno de $C'$ en el sentido directo.

De igual forma, las curvas antecedentes de $C$ son curvas que se desarrollan, mutuamente comprendiendo siempre el origen en su interior y permaneciendo exteriores a las curvas $C'_{-n}$. Los dominios antecedentes del interior de $C$ y del exterior de $C'$ son así dominios simplemente conexos cada vez más grandes, limitados por las curvas $C_{-n}$ y ${C'}_{-n}$; vamos a ver en un momento que la distancia entre las curvas $C_{-n}$ y ${C'}_{-n}$ tiende uniformemente a cero.

Para precisar la manera en la cual las cosas suceden, tracemos en la corona $(C, C')$, donde las funciones $R_{-n}(z)$ son analíticas pero no uniformes, el corte $ab$ orientado según el segmento del eje real positivo; $ab$ contiene entonces el punto doble repulsor $z = 1$, y la rama de $R_{-n}(z)$, que es igual a $1$ para $z = 1$, permanece real para $z$ situado sobre $ab$, de manera que los segmentos antecedentes de $ab$ obtenidos a través de esta función, son encajados unos en otros y tienden hacia el punto doble $z = 1$. Designaremos por $R_{-1}^{(0)}(z), R_{-1}^{(1)}(z), \dots, R_{-1}^{(d-1)}(z)$ las ramas $d$ de la función $R_{-1}(z)$ obtenidas sucesivamente partiendo de un punto del corte con la determinación inicial igualmente situada sobre el corte, y regresando en torno al origen en el sentido directo. En el dominio inicial $\delta$, constituido por la corona donde trazamos el corte, corresponden así $d$ dominios $\delta_{-1}$ que asignaremos como índices superiores $(0, 1,2, \dots, d-1)$ y que están constituidos por cuadriláteros curvilíneos reunidos en la corona comprendida entre $C_{-1}$ y ${C'}_{-1}$, sin que dichos dominios tengan puntos interiores en común, aunque dos dominios de índices $j$ y $j + 1$ (ó $0$ y $d - 1$) sean continuos siguiendo una línea transversal antecedente del corte $ab$. Los dominios antecedentes inmediatos de las $\delta_{-1}$, es decir los dominios $\delta_{-2}$, serán obtenidos a través de la aplicación de $\delta$ junto con los dominios $\delta_{-1}$, que están contenidos en el orden en que los encontramos, sucesivamente sobre $\delta_{-1}^{(0)}, \delta_{-1}^{(1)}, \delta_{-1}^{(2)}, \dots$. Estos dominios $\delta_{-2}$ reunidos en la corona $(C_{-2}, {C'}_{-2})$ tendrán por índices sucesivos en el orden en que los encontramos

$$\begin{array}{cccc} (0,0), & (0,1), & \dots, & (0, d-1), \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccc} (1,0) (1,1), \dots, (1, d-1), (2,0), \dots, (d-1, d-1), \end{array}$$

dos dominios sucesivos siendo contiguos siguiendo una transversal antecedente de rango $2$ del corte $ab$; el primero y el último son igualmente contiguos siguiendo un segmento de $ab$. De una manera general, los dominios $\delta_{-n}$ o, lo que es lo mismo, los puntos $a_{-n}$ y $b_{-n}$ estarán designados por un índice formado de $n$ cifras $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$, lo que significa que el $\delta_{-n}$ en cuestión se reduce, de $\delta$ por la substitución

$$R_{-1}^{(\alpha_1)}\left[ R_{-1}^{(\alpha_2)} \left[ R_{-1}^{(\alpha_3)}[\dots(z)]\right]\right].$$

Vemos como en el parágrafo 23, que: $1^0$ para que dos dominios $\delta_{-n}$ y $\delta_{-n'},\;(n' > n)$ sean interiores en sentido amplio uno al otro, es necesario y suficiente que el índice $\delta_{-n'}$ comience por las cifras del índice de $\delta_{-n}$; $2^0$ que los índices de los concecuentes de $\delta_{-n}$ se obtienen suprimiendo sucesivamente $1, 2, 3, \dots$ cifras a la izquierda de su índice; $3^0$ que los antecedentes de $\delta_{-n}$ se obtienen agregando cifras a la izquierda de su índice. Además, en el presente caso, dos dominios $\delta_{-n}$, son limítrofes si uno de los índices se deduce del otro aumentando la última cifra del primero en una unidad, con la convención de que si esta última cifra es $d - 1$, reemplazamos $(d-1)+1$ sobre $d$ por cero, aumentando la cifra anterior en una unidad, y recomenzando la operación en caso de ser necesario. Finalmente un dominio $\delta_{-n}$ tendrá una parte de frontera en común con un $\delta_{-(n-1)}$ si la última cifra de su índice es cero o $d - 1$, y solamente en ese caso.

Vemos además claramente como los dominios $\delta_{-n}$ son reunidos, considerando, en lugar del ejemplo estudiado, lo siguiente, $R(z) = z^d$, que da

$$z_{-n} = {\displaystyle\rho}^{\textstyle\frac{1}{d^n}}{\disp... ...\frac{2iN\pi}{d^n}} \hspace{0.3in} (\mbox{para }z = \rho > 0).$$

Los dominios $\delta_{-n}$ son entonces limitados por las circunferencias concéntricas y los segmentos de radios angularmente equidistantes; pero desde el punto de vista del Analysis situs, todo sucede como en el presente ejemplo.

Estudiemos ahora el conjunto límite de los dominios $\delta_{-n}$, es decir el conjunto de los puntos interiores en sentido amplio a una infinidad de estos dominios. Decimos que, las dimensiones de estos dominios tienden uniformemente a cero con $$\frac{1}{n}$$. En efecto, basta demostrar, según un razonamiento ya empleado, que tenemos

$$\mid R'(z)\mid\ > K > 1$$

en estos dominios a partir de un cierto rango. Ahora bien ésto tiene lugar, pues tomamos primero el radio de $C$ igual a $1$; tendremos entonces sobre la curva $C_{-1}$:

$$R'(z) = \frac{1 + dz^{d-1}}{2}\ \ \ \mbox{y} \ \ \ \mid z\mid\ \geq 1,$$

de donde

$$\mid R'(z)\mid\ \geq \frac{d-1}{2}.$$

Si $d\geq 4$, tenemos entonces $\mid R'(z)\mid\ \geq \frac{3}{2}$ sobre $C_{-1}$ ; entonces

$$\mid R'(z)\mid\ > K > 1,$$

igual si el radio de $C$ es poco inferior a $1$.

Los cálculos elementales que omitimos muestran que ésto aún se cumple para $d = 2$ ó $3$. Las longitudes de los contornos de los dominios $\delta_{-n}$ tienden así uniformemente hacia cero con $$\frac{1}{n}$$; de lo que se sigue que el conjunto límite de los puntos de la corona $(C_{-1}, {C'}_{-n})$ es un conjunto perfecto, bien conectado, sin puntos interiores. A toda serie infinita de enteros $(\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n \dots)$ podemos hacer corresponder el punto de este conjunto $P$ que es interior en sentido amplio a los dominios teniendo por índices $(\alpha_1), (\alpha_1 \alpha_2), \dots, (\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n),\dots$, que son interiores en sentido amplio unos a otros. A dos series de enteros distintas corresponderán en general dos puntos distintos, lo contrario tiene lugar sólo si estas dos series representan el mismo número comprendido entre $0$ y $1$ en el sistema de numeración en base $d$. En efecto, resulta de aquello que a sido dicho anteriormente que el orden de sucesión de los dominios $\delta_{-n}$ es el mismo que el orden natural de los números

$$\left( \frac{\alpha_1}{d} + \frac{\alpha_2}{d^2} + \cdots + \frac{\alpha_n}{d^n} \right)$$

que corresponden al índice $(\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n)$. Si dos de estos números difieren en al menos dos unidades del $n^{\mbox{\scriptsize {\'esimo}}}$ orden, entonces corresponden a dos dominios de rango $n$ sin puntos comunes y sin frontera común. Si dos números $t$ y $t'$ son distintos, sus valores aproximados por default a $$\frac{1}{d^n}$$ que difieren cerca de dos unidades al menos para un cierto valor de $n$, los puntos $p$ y $p'$ del conjunto $P$ que les hacemos corresponder se encontrarán en dos dominios $\delta_{-n}$ y ${\delta'}_{-n}$ completamente separados; $p$ y $p'$ son distintos. Si el número $t$ es de la forma $$\frac{N}{d^n}$$ le corresponderá de cualquier manera que lo escribamos en el sistema de base $d$ un mismo punto $p$ de $P$ que es un antecedente del punto doble repulsor $z = 1$, los dominios $\delta_{-n}$ a los cuales es interior en sentido amplio estando entonces todos contiguos siguiendo una transversal antecedente del corte $ab$. Sin embargo, debemos señalar que a los dos valores de $t = 0$ y $t=1$ les corresponde el mismo punto $z = 1$.

A dos valores de $t$ infinitamente cercanos corresponderán dos puntos infinitamente cercanos, estos dos puntos perteneciendo a un mismo dominio $\delta_{-n}$ para un valor infinitamente grande de $n$, y las dimensiones de $\delta_{-n}$ tienden hacia cero con $$\frac{1}{n}$$.

Así, hay correspondencia continua y biunívoca entre los puntos del conjunto $P$ y los números comprendidos entre $0$ y $1$. Los puntos de $P$ forman una curva representada por una ecuación de la forma

$$z = f(t),$$

$f(t)$, función imaginaria de la variable real $t$, continua en el intervalo $(0, 1)$. Tenemos $f(1) = f(0)$ y podemos convenir que $f(t +1) = f(t)$. Tenemos entonces

$$R(z) = f(d.t),$$

esta propiedad muestra que el estudio del conjunto de los consecuentes de un punto de la curva se lleva a aquella de los números obtenidos desplazando la coma hacia la derecha en la representación de un número $t\; (0<t<1)$ en el sistema de numeración en base $d$.

Vemos en definitiva que, gracias a la introducción de un corte invariante pasando por un punto doble repulsor, hemos podido hacer el estudio de la frontera de los dominios de atracción de los dos puntos dobles ( $0$ e $\infty$) de la misma manera que en el caso recien examinado donde la frontera es discontinua.

En el presente caso, tenemos una separación del plano en dos regiones simplemente conexas por una línea continua; son las regiones de convergencia respectivas a los dos puntos dobles; vemos fácilmente que todo punto de la línea frontera es límite de los antecedentes de un punto cualquiera del plano, excepto el punto al infinito. Mas precisamente, el consecuente de orden $n$ de un dominio circular tan pequeño como queramos teniendo por centro un punto de la frontera cubre todo el plano, salvo el exterior de un círculo de radio arbitario, para un valor finito de $n$.

El ejemplo anterior puede ser fácilmente generalizado. Supongamos que dos puntos dobles atractores de una substitución racional (siempre podemos suponer el origen y el infinito) pueden ser respectivamente rodeados de dos contornos simples sin puntos dobles $C$ y $C'$ gozando de las propiedades siguientes: los consecuentes de un punto de $C$ o interior a $C$ son interiores a $C$, los consecuentes de un punto de $C'$ o exterior a $C'$ son exteriores a $C'$; sobre $C$ y $C'$, todas las determinaciones de $R_{-1}(z)$ se permutan circularmente. Existe entonces (Chap. I, $\S$ 6) $d - 1$ puntos críticos de $R_{-1}(z)$ en el interior de $C$ así como en el exterior de $C'$, entonces no hay puntos en la corona $(C, C')$. Los antecedentes de $C$ y $C'$ son curvas simples de una sola pieza, las coronas $(C_{-n}, {C'}_{-n})$ son interiores a aquellas de rango menor; supondremos que tenemos en estas coronas, a partir de un cierto rango,

$$\mid R'(z)\mid\ > k > 1.$$

El análisis hecho anteriormente es aplicable en este caso; vamos a mostrar que aún existe un corte invariante en $(C, C')$, constituido por una línea rectificable que tiene un segmento único en

$$(C_{-n}, C_{-(n-1)})\ \ \ \mbox{\'o}\ \ \ ({C'}_{-n}, {C'}_{-(n-1)}).$$

Sean $a$ un punto de $C$, $p$ el punto de $C_{-1}$ el más próximo a $a$, $q$ el punto de $C_{-1}'$ el más próximo a $p$, y $b$ el punto de $C'$ el más próximo a $q$; la línea quebrada $apqb$, formada de tres segmentos de recta contenidos respectivamente en $(C, C_{-1}), (C_{-1}, {C'}_{-1}), ({C'}_{-1}, C')$, es una línea simple sin puntos dobles que designaremos simplemente por $ab$; si $z$ describe $ab$, una rama de $R_{-1}(z)$ describe $a_{-1} b''_{-1}$ formada de arcos algebráicos contenidos en $(C_{-1}, {C'}_{-1})$; podemos unir $aa_1$ y $bb_1$ por líneas quebradas contenidas respectivamente en $(C, C_{-1})$ y $(C', {C'}_{-1})$ sin atravesar $ab$; describamos entonces la línea sin punto doble $a_{-1}abb_{-1}, R_{-1}(z)$ describirá otra línea sin punto doble formada de arcos algebráicos $a_{-2}a_{-1}b_{-1}b_{-2}$; tenemos

$$\begin{array}{cc} R(a_{-2}) = a_{-1}, & R(b_{-2}) = b_{-1}; \end{array}$$

$z$ describiendo esta última línea, $R_{-1}(z)$ describe $a_{-3}a_{-2}b_{-2}b_{-3}$ y así sucesivamente; obtendremos en la $n$-ésima operación

$$a_{-n}a_{-(n-1)}b_{-(n-1)}b_{-n},$$

línea sin puntos dobles, con

$$\begin{array}{cc} R(a_{-n}) = a_{-(n-1)} & R(b_{-n}) = b_{-(n-1)}. \end{array}$$

Las líneas $(a_{-i}, a_{-(i+1)})$ deduciendose cada una de la que sigue por la substitución $[z, R(z)]$, tendremos

$$\mbox{longitud }(a_{-n}, a_{-(n-1)}) < \frac{A}{K^n},$$

y, a fortiori,

$$\mid a_{-n} - a_{-(n-1)}\mid\ < \frac{A}{K^n}.$$

Siendo la serie $\sum\mid a_{-n} - a_{-(n-1)}\mid$ absolutamente convergente, tenemos

$$\begin{array}{lcr} & \lim a_{-n} = \omega, & \\ R(\omega) = \omega, & & \mid R'(\omega)\mid\ > 1. \end{array}$$

Además, las longitudes de las curvas $a_{-n} b_{-n}$ tendiendo hacia cero por la misma razón que $a_{-(n-1)}a_{-n}$, los puntos $b_{-n}$ tienden hacia el mismo punto doble $\omega$. Las líneas $aa_{-1}, a_{-1} a_{-2},\dots, a_{-n}a_{-(n+1)}, \dots, bb_{-1},b_{-1}b_{-2}, \dots$ constituyen por su reunión un corte de la corona $(C, C')$ invariante por la substitución dada, teniendo un segmento único en las coronas $(C_{-(n-1)},$ $C_{-n})({C'}_{-(n-1)}, {C'}_{-n})$, de longitud finita y sin punto doble, que tendrá en $\omega$ un punto asíntoto si $R'(\omega)$ es imaginario, pero jugando en todos los casos el mismo rol que el corte rectilíneo del ejemplo anterior. Los dominios de los dos puntos dobles atractores $O$ y $O'$ aún son dominios simplemente conexos separados por una curva sin punto doble

$$z = f(z) \hspace{0.2in} (0 \leq t \leq 1)$$

$f(t)$ función imaginaria de la variable real $t$, tal que, si convenimos que $f(t +1) = f(t)$, tendríamos la ecuación funcional

$$[f(t)]= f[d.t] \mbox{ ($d$, grado de $R$)}.$$

Aún señalaremos que el caso examinado aquí no es un caso singular, las mismas circunstancias se presentan si damos incrementos suficientemente pequeños, a los coeficientes de $R(z)$.

Dejaremos de lado por el momento los casos, límites de los anteriores, donde hay un punto doble de multiplicador igual a $+1$, y vamos a estudiar substituciones cuya iteración conduce a considerar dominios de un caracter diferente a aquellos examinados hasta el momento. Estos nuevos ejemplos se deducen del resto fácilmente de las substituciones en el círculo fundamental por una transformación algebraica de segundo orden.

Nos proponemos el problema siguiente: encontrar una substitución racional para la cual existe un conjunto de puntos completamente invariantes formado por un arco de círculo; este arco debe entonces contener los consecuentes y antecedentes de todos sus puntos. Podemos, por medio de una transformación homográfica previa, reemplazar este arco por el semi-eje real positivo. Sea $Z = R(z)$ la substitución buscada; $z$ y $R(z)$ toman simultáneamente valores reales positivos o nulos.

Establezcamos $w = \sqrt{z},\; w$ será real para $z$ real positivo; si $z$ no está sobre $Ox$, $w$ estará, por ejemplo, en el semi-plano superior; $R(z)$ o $Z$ siendo igualmente exterior a $Ox$, $W = \sqrt{Z}$ estará afuera del eje real; tomamos $W$ en el semi-plano superior como $w$. Si $w$ varía permaneciendo en el semi-plano superior, igual sucederá para $W$, estos dos puntos llegando al mismo tiempo al eje real. De lo que se sigue que la función $W(w)$ así definida es racional. Tenemos, en efecto, $W = \sqrt{R(w^2)}$ y los puntos críticos de esta función de $w$ son los ceros y los polos de $R(w^2)$. $R(w^2)$ llega a ser nula o infinito para $w^2 = a^2$, $a$ siendo real. Si $a$ es finita y diferente de cero y si $a^2$ es una raíz de orden impar de $R(z)$, tendremos

$$R(w^2) = (w^2 - a^2)^{2q+1}P(w^2) \hspace{0.3in} [P(a^2) \neq 0],$$

$$W = \sqrt{R(w^2)} = (w - a)^{q+\frac{1}{2}}H(w),$$

$H(w)$ siendo holomorfa y no nula para $w=a$. Si $w$ describe un semi-círculo de radio infinitamente pequeño en el semi-plano superior en torno de $a$ como centro, de manera que el argumento de $(w-a)$ crece de $0$ a $\pi$, aumentando el argumento de $W$ en un múltiplo impar de $$\frac{\pi}{2}$$, entonces $W$ no permanece sobre el eje real. Luego falta que $a$ sea raíz de orden par de $R(z)$, $W$ es entonces una función unifome de $w$ para $w = \pm a$. La misma observación si $a^2$ es un polo. Finalmente, si uno de los puntos $0$ o $\infty$ es un cero o un polo de $R(z)$, $\sqrt{R(w^2)}$ es uniforme en ese punto. Tenemos entonces

$$W = R_1(w),$$

siendo $R_1$ racional y dejando invariantes esta substitución al eje real y al semi-plano superior. Entonces somos llevados a una substitución en el círculo fundamental. Por lo tanto, establezcamos ($\S$ 16)

$$W = kw + h - \sum\frac{A}{w-a},$$

las constantes del segundo miembro siendo reales, $A$ y $k$ positivas, y busquemos las condiciones para que, reemplazando $W$ por $\sqrt{Z}$ y $w$ por $z$, obtengamos una relación de la forma $Z = R(z)$. Para lo cual es necesario y suficiente que las dos expresiones conjugadas

$$k\sqrt{z} + h - \sum\frac{A}{\sqrt{z} - a}$$

$$-k\sqrt{z} + h + \sum\frac{A}{\sqrt{z} - a}$$

sean iguales y de signo contrario, es decir que tendríamos, cualquiera que sea $z$,

$$2h + \sum\frac{A}{\sqrt{z} + a} - \sum\frac{A}{\sqrt{z} - a} = 0$$

ó

$$h - \sum\frac{Aa}{z - a^2} = 0.$$

Para que ésto tenga lugar, falta que las $a$ sean de dos en dos iguales y de signo contrario (una de las $a$ puede ser nula). Los dos términos $$\frac{A}{w - a}$$ y $$\frac{A'}{w + a}$$ proporcionan entonces en la expresión anterior una contribución igual a $$\frac{(A' - A)a}{z - a^2}$$. Si $a \neq 0$, deberemos tener $A=A'$. Además, $h=0$. La expresión de $R_1(w)$ será entonces

$$R_1(w) = kw - \sum\frac{2Aw}{w^2 - a^2} = w\left[ k - \sum\frac{2A}{w^2 - a^2}, \right]$$

las constantes $A, a, k$ siendo reales, positivas o nulas.

De lo que deducimos

$$Z = z\left[ k - \sum\frac{2A}{z - a^2}, \right]^2 = R(z).$$

Tal es la expresión general de las substituciones que satisfacen a las condiciones del problema.

Si damos a $z$ tal que no esté situada sobre la parte positiva del eje real, le corresponden dos valores de $w = \pm \sqrt{z}$, fuera del eje real; sean $w$ uno de ellos, $w_1 = R_1(w),\dots, w_n = R_1(w_{n-1}), \dots$; los puntos $w_n$ permanecen del mismo lado del eje real y tienden hacia el punto límite $\alpha$ situado sobre el eje real, o bien fuera, según la especie de la substitución $R_1$. Los puntos $z_n = w_n^2$, que se deducen de $z$ por iteración de la substitución $R(z)$, tienen entonces por límite al punto $\alpha^2$, vemos fácilmente que $\alpha^2$ siempre es real.

Si $R_1$ es de la segunda especie, con un punto atractor único sobre el eje real, hay sobre este eje una infinidad numerable de segmentos contiguos en un conjunto perfecto $P$ en el interior de los cuales las $w_n$ convergen hacia $\alpha$. Le corresponde una infinidad numerable de segmentos situados sobre $Ox$, contiguos a un conjunto perfecto $\Pi$ sobre los cuales las $z_n$ convergen hacia $\alpha^2$. $\Pi$ es por todas partes discontinuo; los consecuentes de un segmento que contienen un punto de $\Pi$ terminan por recubrir completamente $Ox$. Nada hay en este caso esencialmente nuevo. Al contrario, si $R_1$ es de la primera especie hay convergencia para todo el plano hacia el punto $-c^2$ ( $\alpha = ci$ siendo un imaginario puro), salvo sobre la parte positiva del eje real que forma la frontera continua del dominio de convergencia. Tenemos entonces un dominio de convergencia de alguna otra naturaleza a la de los encontrados hasta aquí. Encontraremos fácilmente las condiciones que deben satisfacer las constantes $A, a, k$ para que ésto sea así. Si por ejemplo suponemos todas las $a$ diferentes de cero, estas condiciones son

$$0 < k < 1, \hspace{0.3in} k + \sum\frac{2A}{a^2} > 1.$$

Dejaremos de lado la discusión de la posición de los puntos dobles que no presentan dificultades.

Si ahora efectuamos sobre $Z$ y $z$ una misma transformación homográfica cualquiera, obtenemos la expresión general de las substituciones que dejan invariante un arco de círculo $pq$ y el dominio no acotado que tiene a este arco por frontera; si existe un punto doble exterior a $pq$, éste es entonces un punto doble atractor sobre la prolongación de $pq$ y cuyo dominio comprende todo el plano a excepción del corte $pq$. En todos los casos, demostramos fácilmente que la substitución inversa $R_{-1}(z)$ admite $d - 1$ puntos críticos exteriores a $pq$, los $d$ valores de esta función se permutan circularmente sobre un contorno rodeando $pq$ y cercano a este arco; igualmente hay puntos críticos sobre $pq$ equivalentes a $d$ puntos críticos simples y que son todos iguales a los puntos $p$ y $q$ (excepcionalmente a uno solo de estos puntos, si $R$ es de segundo grado). Describiendo $z$ el arco $pq$, $R(z)$ describe $d$ veces este mismo arco en el mismo sentido mientras no alcanze los extremos $p$ y $q$. Tenemos, entre $p$ y $q$, uno de los cuatro sistemas de relaciones:

$$\begin{array}{lll} \mbox{(I) } & R(p)=p, & R(q)=q, \\ \mbox{... ... & R(q)=q, \\ \mbox{(IV) } & R(p)=q, & R(q)=p. \\ \end{array}$$

Todo lo cual es muy fácil de verificar mismo que resulta de que $R_{-1}(z)$ no puede tener puntos críticos interiores a $pq$.

Como ejemplo, busquemos si existen polinomios dejando invariante el segmento $(-1, +1)$ del eje real y el dominio exterior a este segmento. Sea $Z = R(z)$ un polinomio respondiendo a la cuestión. Si establecemos

$$w = \sqrt{\frac{1-z}{1 + z}},\hspace{0.3in} W = \sqrt{\frac{1-Z}{1 + Z}},$$

deducimos $W = R_1(w)$, que deja invariante el eje real y el semi-plano superior; siendo $R$ un polinomio, $R_1$ debe admitir los puntos dobles $w = \pm i$ correspondiendo a $z = \infty$; además, estos dos puntos dobles deben ser puntos excepcionales no teniendo otros antecedentes mas que ellos mismos. Si establecemos

$$\frac{w-i}{w+i} = t \hspace{0.3in} \frac{W-i}{W+i} = T,$$

la relación $W = R_1(w)$ llega a ser $T = P(t)$; $P(t)$ teniendo por círculo fundamental el círculo $(\mid t\mid\ \leq 1)$ con los puntos excepcionales cero e infinito, tenemos necesariamente

$$P(t) = e^{ia}t^m \;\;\;\;\;\; \mbox{ $a$\ real, $m$\ entero $> 0$}.$$

Si establecemos

$$t = i\varphi, \hspace{0.3in} T = e^{i(m\varphi + a)} = e^{i\varphi},$$

lo cual da

$$w = \tan\frac{\varphi}{2}, W = \tan\frac{\Phi}{2},$$

$$z = \frac{1-w^2}{1 + w^2} = \cos\varphi, Z = \cos\Phi = \cos(m\varphi + a).$$

Somos llevados a buscar la condición para que $\cos(m\varphi + a)$ sea una función racional de $\cos\varphi$. Basta que $a$ sea un múltiplo de $\pi$. Los polinomios buscados son entonces aquellos que expresan $\pm \cos m\pi$ en funcion de $\cos\varphi = z$. Tenemos así una representación paramétrica cómoda que pone en evidencia las propiedades de las subtituciones iteradas.

Finalmente señalamos que es posible formar ejemplos análogos de substituciones que tienen un punto doble atractor con un dominio cuya frontera está constituida por una curva de Jordan no cerrada, esta curvatura no siendo un arco del círculo sino una curva no analítica. A la inversa de los casos tratados al inicio de este Capítulo, este caso es singular, es decir suponemos siempre satisfechas ciertas relaciones entre los coeficientes de la substitución. Regresaremos posteriormente sobre este sujeto.

FIN DEL TOMO XLVII.