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$S^n$ como borde de ${\overline B}_{n+1}$

Como antes (como en la sección 5.4.2, por mencionar sólo un caso), $\forall \, n \in {\mathbb{N}}$ designamos por $B_n$ la bola euclidiana patrón, abierta, en ${\mathbb{R}}^n$:

$$\fbox{${\displaystyle B_n = \colon \left\{ x \in {\mathbb R}^n \bigm\vert \Vert x \Vert < 1 \right\}}$}$$

donde $\Vert\cdot\Vert$ es la norma euclidiana, y por ${\overline B}_n$ su adherencia, vale decir, la correspondiente bola cerrada:

$$\fbox{${\displaystyle {\overline B}_n = \left\{ x \in {\mathbb R}^n \bigm\vert \Vert x \Vert \le 1 \right\}}$}$$

Definimos la aplicación $\varphi \colon ]-1,0] \times S^n \to {\overline B}_{n+1} - \{ 0 \}$ por:

$$\fbox{${\displaystyle \varphi(\theta, \xi) = \colon (1+ \thet... ...quad \forall \, \theta \in ]-1,0 ] \; \forall \, \xi \in S^n}$}$$

$\varphi$ es una biyección y $\forall \, p \in {\overline B}_{n+1} - \{ 0 \}$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle {\varphi^{-1} (p) = \left( \Vert p\Vert -1, {p \over \Vert p \Vert} \right)}}$}$$

Notamos que la aplicación $\xi \mapsto \varphi( 0, \xi)$ es la identidad de $S^n$. $\varphi$ es la restricción a $]-1,0]\times S^n$ de la aplicación continua $( \theta, \xi) \mapsto (1 + \theta) \xi$ de ${\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}^{n+1}$ en ${\mathbb{R}}^{n+1}$, luego $\varphi$ es continua. A su vez, $\varphi^{-1}$ es la restricción a ${\overline B}_{n+1} - \{ 0 \}$ de la aplicación continua $${ p \mapsto \left( \Vert p \Vert -1, {p \over \Vert p \Vert} \right)}$$ de ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$ en ${\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}^{n+1}$, luego también $\varphi^{-1}$ es continua. Así pues,: $\varphi$ es un homeomorfismo de $]-1,0]\times S^n$ sobre ${\overline B}_{n+1} - \{ 0 \}$.

Como en la sección 5.4.2 consideramos $\forall \, i \in [\![ 1, n+1 ]\!]$ y para $\epsilon = \pm 1$ los conjuntos (hemisferios abiertos):

$$\fbox{${\displaystyle V_i^\epsilon = \left\{ \xi \in S^n \bigm\vert \rm{Sgn}\, \xi^i = \epsilon \right\}}$}$$

y recordamos que la familia $\left( V_i^\epsilon \right)_{1 \le i \le n+1}^{\epsilon = \pm 1}$ es un recubrimiento abierto de $S^n$. $\forall \, i \in [\![ 1, n+1 ]\!]$ y $\epsilon = \pm 1$ ponemos:

$$\fbox{${\displaystyle W_i^\epsilon = \colon \varphi \left( ]-1,0] \times V_i^\epsilon \right)}$}$$

Por ser $\varphi$ un homeomorfismo, la familia $\left( W_i^\epsilon \right)_{1 \le i \le n+1}^{\epsilon = \pm 1}$es un recubrimiento abierto del espacio $\overline{B}_{n+1} - \{0 \}$.

Designamos por $\varphi_i^\epsilon$ la restricción de la aplicación $\varphi$ al conjunto
$]-1,0] \times V_i^\epsilon$. $\varphi^\epsilon_i$ es un homeomorfismo del conjunto $]-1,0] \times V_i^\epsilon$ sobre el abierto $W_i^\epsilon$ de $\overline{B}_{n+1}$.

Designamos por $j$ la identidad del intervalo $]-1,0]$ y volvemos a los mapas $(V_i^\epsilon, x_i^\epsilon)$ de $S^n$ de la sección 5.4.2. Recordamos que $x_i^\epsilon$ es el homeomorfismo de $V_i$ sobre $B_n$ dado por:

$$x_i^\epsilon( \xi^1,\ldots, \xi^{n+1}) = \left( \xi^1,\ldots, \widehat{\xi^i},\ldots, \xi^{n+1}\right)$$

Introduzcamos ahora $\forall \, i \in [\![ 1, n+1 ]\!]$ y $\forall \, \epsilon = \pm 1$, la aplicación
$y_i^\epsilon \colon W_i^\epsilon \to ]-1,0] \times B_n$ que definimos por:

$$\fbox{${\displaystyle y_i^\epsilon = \left( j \times x_i^\epsilon \right) \circ (\varphi_i^\epsilon)^{-1}}$}$$

$y_i^\epsilon$ es un homeomorfismo del abierto $W_i^\epsilon$ de $\overline{B}_{n+1}$ sobre el abierto (de
segunda especie) del semiespacio cerrado $\overline{S}^{(n+1)}$ de ${\mathbb{R}}^{n+1}$, o sea, los $2(n+1)$ pares $(W_i^\epsilon , y_i^\epsilon)$$i \in [\![ 1,n+1 ]\!]$, $\epsilon = \pm 1$ son mapas de $\overline{B}_{n+1}$ (de segunda especie) en el semiespacio cerrado $\overline{S}^{(n+1)}$ de ${\mathbb{R}}^{n+1}$. Véase la figura 5.2.

Figure 5.2: Bosquejo de los homeomorfismos $y_i^\epsilon$: el cilindro es $]-1,0]\times S^n$ y cada plano $z=t$ (aquí $t$ es el parámetro $\theta$ en el texto) corta al cilindro y al hemisferio. El corte en el hemisferio se proyecta como una esfera en la bola $B_n$.

Para completar este conjunto de mapas a un atlas de $\overline{B}_{n+1}$ en $\overline{S}^{(n+1)}$ debemos adjuntar un mapa en el punto cero.

Sea ${W = \colon B\left( 0,{1 \over 2} \right)}$ (bola abierta de centro 0, de radio ${1 \over 2}$. Si $\tau$ es la translación de vector ${ \left( {1 \over 2}, 0 ,\ldots, 0 \right)}$, $\tau (W)$ es una bola abierta de radio ${1 \over 2}$ contenida en $W_1^+$. Definimos $y \colon W \to {\overline S}^{(n+1)}$ por:

$$\fbox{${\displaystyle y = y_1^+ \circ \tau}$}$$

$(W,y)$ es un mapa de primera especie de ${\overline B}_{n+1}$ en el punto $0$. La familia $\left( W_i^\epsilon, y_i^\epsilon \right)_{i \in [\![ 1,n]\!]}^{\epsilon = \pm 1}$, junto con el mapa $(W,y)$ es un atlas de ${\overline B}_{n+1}$ en $\overline{{\frak S}}^{(n+1)}$. Estudiaremos los correspondientes cambios de mapas.

1. Empecemos con los cambios de mapas:
   
   $$y_k^\eta \circ (y_i^\epsilon)^{-1} \colon y_i^\epsilon (W_i^\epsilon \cap W_k^\eta ) \to y_k^\eta (W_i^\epsilon \cap W_k^\eta)$$
   
   
   Se tiene $y_i^\epsilon (W_i^\epsilon \cap W_k^\eta)\ =\ ]-1,0] \times x_i^\epsilon (V_i^\epsilon \cap V_k^\eta) \ \subset\ ]-1,0] \times B_n$.

   $\forall \, (\theta,t^1,\ldots, t^n) \in y_i^\epsilon (W_i^\epsilon \cap W_k^\eta)$vale:
   

   $$(y_i^\epsilon)^{-1} (\theta,t^1,\ldots, t^n) = (1+\theta) (x_i^\epsilon)^{-1} (t^1,\ldots, t^n)$$ (6)

   
   
   de donde:
   

   $$\left( y_k^\eta \circ (y_i^\epsilon)^{-1} \right) (\theta,t^... ..., x_k^\eta \circ (x_i^\epsilon)^{-1}(t^1,\ldots, t^n) \right)$$ (7)

   
   
   Ahora bien, por lo visto en la sección 5.4.2, la aplicación:
   
   $$x_k^\eta \circ (x_i^\epsilon)^{-1} \colon x_i^\epsilon( V_i^\epsilon \cap V_k^\eta) \to x_k^\eta (V_i^\epsilon \cap V_k^\eta)$$
   
   
   es de clase $C^\infty$. Por lo tanto, la aplicación:
   
   $$(t;t^1,\ldots, t^n) \mapsto \left(t, x_k^\eta \circ (x_i^\epsilon)^{-1})(t^1,\ldots, t^n) \right)$$
   
   
   del abierto ${\mathbb{R}}\times x_i^\epsilon (V_i^\epsilon \cap V_k^\eta)$ de ${\mathbb{R}}^{n+1}$ en ${\mathbb{R}}^{n+1}$ es de clase $C^\infty$. La fórmula (7) dice que $y_k^\eta \circ (y_i^\epsilon)^{-1}$ es la restricción de esta última al abierto $]-1,0] \times x_i^\epsilon (V_i^\epsilon \cap V_k^\eta)$ de segunda especie de $\overline{{\frak S}}^{(n+1)}$.

   Así pues, la aplicación $y_k^\eta \circ (y_i^\epsilon)^{-1}$ es de clase $C^\infty$ según la definición 4.6.6.

2. Consideremos los cambios de mapas
   
   $$y_i^\epsilon \circ y^{-1} \colon y(W \cap W_i^\epsilon) \to \break y_i^\epsilon(W \cap W_i^\epsilon).$$
   
   
   Usando la fórmula (6) obtenemos:
   $$\begin{eqnarray*} & & y^{-1} (\theta, t^1,\ldots, t^n) \\ &=& \tau^{-1} (y_1^+)... ...k)^2} -{1 \over 2}, (1+\theta)t^1,\ldots, (1+\theta)t^n \right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   Luego:
   

   $$(y_i^\epsilon \circ y^{-1})(\theta, t^1,\ldots, t^n) = \left... ...} - {1 \over 2}, t^1,\ldots, \widehat{t^i},\ldots, t^n\right)$$ (8)

   
   
   La fórmula (7) muestra que el cambio de mapas $y_i^\epsilon \circ y^{-1}$ es, en efecto, de clase $C^\infty$.
3. Finalmente, consideremos un cambio de mapas:
   
   $$y \circ (y_i^\epsilon)^{-1} \colon y_i^\epsilon ( W \cap W_i^\epsilon) \to y(W \cap W_i^\epsilon)$$
   
   
   Por la fórmula (6):
   $$\begin{eqnarray*} & & (y_i^\epsilon)^{-1}(\theta, t^1,\ldots, t^n) \\ &=& (1+\t... ...i-1}, \sqrt{ 1 - \sum_{k=1}^n (t^k)^2 }, t^i,\ldots, t^n\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   Luego $y\circ (y_i^\epsilon)^{-1}(\theta,t^1,\ldots, t^n)= y_i^+ (s_1,\ldots,s_n)$ donde $\forall j\leq n$:
   
   $$s_j=\left\{\begin{array}{ll} (1+\theta)t^1+ {1 \over 2} &\mbo... ...a)t^j &\mbox{ en cualquier otro caso. } %\\ \end{array}\right.$$
   
   
   o sea,:
   

   $$y \circ (y_i^\epsilon)^{-1}(\theta, t^1,\ldots, t^n) = \left... ...1}, \sqrt{1 - \sum_{k=1}^n (t^k)^2}, t^i ,\ldots, t^n \right)$$ (9)

   
   
   La fórmula (9) muestra que el cambio de mapas $y \circ (y_i^\epsilon)^{-1}$ es, en efecto, de clase $C^\infty$.

De los incisos a), b), y c) se desprende que el atlas que construimos sobre ${\overline B}_{n+1}$ es coherente $C^\infty$. Define sobre ${\overline B}_{n+1}$ la estructura de una variedad con borde de clase $C^\infty$, de dimensión $n+1$. La llamaremos ESTRUCTURA NATURAL DE VARIEDAD CON BORDE sobre ${\overline B}_{n+1}$.

Sea $p \in {\overline B}_{n+1} - \{ 0 \}$. $p$ pertenece a un conjunto $W_i^\epsilon$ y se tiene:

$$y_i^\epsilon (p) = \left( \Vert p\Vert -1 , x_i^\epsilon \left( {p \over \Vert p\Vert } \right) \right)$$ (10)

$p$ pertenece al borde de ${\overline B}_{n+1}$ si y sólo si la primera coordenada de $y_i^\epsilon (p)$ vale cero, o sea, $\Vert p\Vert = 1$, es decir $p \in S^n$. Así pues:

$$\fbox{${\displaystyle {\frak Bd} \left({\overline B}_{n+1}\right) = S^n}$}$$

Se ve por la fórmula (10) que el mapa $\left( \widetilde{W_i^\epsilon}, \widetilde{y_i^\epsilon}\right)$ de ${\frak Bd}( {\overline B}_{n+1})$inducido por el mapa $(W_i^\epsilon , y_i^\epsilon)$ de segunda especie de ${\overline B}_{n+1}$ no es otro que $(V_i^\epsilon, x_i^\epsilon)$. Así pues,:

La estructura de variedad $C^\infty$ inducida sobre la esfera $S^n$ considerada como borde de ${\overline B}_{n+1}$ coincide con la estructura natural de variedad $C^\infty$ de $S^n$, definida en la sección 5.4.2.

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