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con borde
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con borde
Como antes (como en la sección 5.4.2, por mencionar sólo un
caso),
designamos por
la bola euclidiana patrón,
abierta, en
:
donde
es la norma euclidiana, y por
su
adherencia, vale decir, la correspondiente bola cerrada:
Definimos la aplicación
por:
es una biyección y
vale:
Notamos que la aplicación
es la
identidad de
.
es la
restricción a
de la aplicación continua
de
en
, luego
es
continua. A su vez,
es la
restricción a
de la aplicación continua
de
en
, luego
también
es continua.
Así pues,:
es un homeomorfismo de
sobre
.
Como en la sección 5.4.2
consideramos
y para
los conjuntos (hemisferios
abiertos):
y recordamos que la familia
es un recubrimiento
abierto de
.
y
ponemos:
Por ser
un homeomorfismo, la familia
es un
recubrimiento abierto
del espacio
.
Designamos por
la restricción de la aplicación
al conjunto
.
es un homeomorfismo del conjunto
sobre el abierto
de
.
Designamos por
la identidad del intervalo
y volvemos a los
mapas
de
de la
sección 5.4.2.
Recordamos que
es el homeomorfismo
de
sobre
dado por:
Introduzcamos ahora
y
, la
aplicación
que definimos por:
es un homeomorfismo del abierto
de
sobre el abierto (de
segunda especie) del
semiespacio cerrado
de
, o sea, los
pares

,
son mapas de
(de segunda
especie) en el semiespacio cerrado
de
. Véase la figura 5.2.
Figure 5.2:
Bosquejo de los homeomorfismos
:
el cilindro es
y cada plano
(aquí
es el parámetro
en
el texto) corta al cilindro y al hemisferio. El corte en el hemisferio
se proyecta como una esfera en la bola
.
|
Para completar este conjunto de mapas a un atlas de
en
debemos adjuntar un mapa
en el punto cero.
Sea
(bola abierta de
centro 0,
de radio
. Si
es la
translación de vector
,
es una bola
abierta de radio
contenida en
.
Definimos
por:
es un mapa de primera especie de
en el
punto
. La familia
, junto con el mapa
es un atlas
de
en
.
Estudiaremos los correspondientes cambios de mapas.
- Empecemos con los cambios de mapas:
Se tiene
.
vale:
 |
(6) |
de donde:
 |
(7) |
Ahora bien, por lo visto en la sección 5.4.2, la aplicación:
es de clase
. Por lo tanto, la
aplicación:
del abierto
de
en
es de clase
.
La
fórmula (7) dice que
es la
restricción de esta última al abierto
de segunda especie
de
.
Así pues, la aplicación
es de clase
según la definición 4.6.6.
- Consideremos los cambios de mapas
Usando la fórmula (6) obtenemos:
Luego:
 |
(8) |
La fórmula (7)
muestra que el cambio de mapas
es, en efecto, de
clase
.
- Finalmente, consideremos un cambio de mapas:
Por la fórmula (6):
Luego
donde
:
o sea,:
 |
(9) |
La fórmula (9)
muestra que el cambio de mapas
es, en efecto, de
clase
.
De los incisos a), b), y c) se desprende
que el atlas que
construimos sobre
es coherente
.
Define sobre
la estructura de una variedad con
borde de clase
, de dimensión
. La llamaremos
ESTRUCTURA NATURAL DE VARIEDAD CON BORDE
sobre
.
Sea
.
pertenece a un conjunto
y se tiene:
 |
(10) |
pertenece al borde de
si y sólo si la
primera coordenada de
vale cero, o sea,
, es
decir
. Así pues:
Se ve por la fórmula (10) que el mapa
de
inducido por el mapa
de segunda especie
de
no es otro que
.
Así pues,:
La estructura de variedad
inducida sobre la esfera
considerada como borde de
coincide con la
estructura natural de variedad
de
, definida en la sección 5.4.2.

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Guillermo M. Luna
2009-06-14