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Sea
una variedad
,
un
mapa admisible de
,
un espacio afín normado y
una
aplicación
. Si para cierto punto
existe la
derivada parcial
en el punto
seguiremos notándola:
donde
es el espacio vectorial asociado con el espacio afín
. Si esto ocurre para todo
, tenemos así definida la
función
,
función DERIVADA PARCIAL DE CON RESPECTO AL MAPA ADMISIBLE
de
:
Si
, podemos considerar, por
reiteración, la derivada parcial:
y eventualmente la función
, si existen.
Supongamos que existe en
la derivada parcial segunda:
.
A fortiori existe:
 |
(12) |
La existencia de
equivale
por definición a la de
es decir, por (12), a la de
en
. Finalmente:
o sea:
Más generalmente:
Demostración
Procediendo por inducción, supongamos el resultado ya probado para
(
). Supongamos que existe
en
. A fortiori existe
, luego por hipótesis de inducción existe
en
y vale:
 |
(13) |
Decir que existe
entraña (mediante (13)) que existe:
y vale:
El recíproco se prueba análogamente.
De los teoremas 6.1.7 y 4.5.8 se sigue sin más:
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Guillermo M. Luna
2009-06-14