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Generalización del concepto de derivadas parciales con respecto a un mapa admisible. Derivadas parciales de orden superior.

Sea $M$ una variedad $C^k$, $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ un mapa admisible de $M$, $\cal F$ un espacio afín normado y $f$ una aplicación $U \to \cal F$. Si para cierto punto $m \in U$ existe la derivada parcial $\partial_k (f \circ x^{-1})$ en el punto $x(m) \in x(U)$ seguiremos notándola:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial f \over \partial x^k} (m) = \colon \partial _k (f \circ x^{-1} ) (x(m)) \in F}$}$$

donde $F$ es el espacio vectorial asociado con el espacio afín $\cal F$. Si esto ocurre para todo $m \in U$, tenemos así definida la función ${{\partial f \over \partial x^k} \colon U \to F}$, función DERIVADA PARCIAL DE CON RESPECTO AL MAPA ADMISIBLE $(U,x)$ de $M$:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial f \over \partial x^k} = \partial_k (f \circ x^{-1}) \circ x}$}$$

Si $i_1,\ldots, i_r \in [\![ 1,n ]\!]$, podemos considerar, por reiteración, la derivada parcial:

$${\partial^r f \over \partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_r} ... ...al^{r-1} f \over \partial x^{i_2} \cdots \partial x^{i_r} } (m)$$

y eventualmente la función ${{\partial^r f \over \partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_r} } \colon U \to F}$, si existen.

Supongamos que existe en $U$ la derivada parcial segunda: ${ \partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j}$.
A fortiori existe:

$${\partial f \over \partial x^j} = \partial_j (f \circ x^{-1}) \circ x$$ (12)

La existencia de ${{\partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j}= {\partial \over \partial x^i}{\partial f \over \partial x^j} }$ equivale por definición a la de ${\partial_i \left( {\partial f \over \partial x^j} \circ x^{-1} \right) }$ es decir, por (12), a la de $\partial_{ij}(f \circ x^{-1} )$ en $U$. Finalmente:

$${\partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j} = {\partial \o... ...t( {\partial f \over \partial x^j} \circ x^{-1} \right) \circ x$$

o sea:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j} = \partial_{ij} ( f \circ x^{-1} ) \circ x}$}$$

Más generalmente:

Teorema 1.7   Sea $f \colon U \to \cal F$. La derivada parcial de orden r ${\partial^r f \over \partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_r}}$ existe en $U$ si y sólo si existe la derivada parcial $\partial_{i_1 \cdots i_r} (f \circ x^{-1})$ en $x(U)$ y entonces:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial^r f \over \partial x^{i_1} \c... ...{i_r}} = \partial_{i_1 \cdots i_r} (f \circ x^{-1}) \circ x }$}$$

Demostración
Procediendo por inducción, supongamos el resultado ya probado para
$r-1$ ($r \ge 2$). Supongamos que existe ${ {\partial^r f \over \partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_r} }}$ en $U$. A fortiori existe ${\partial^{r-1} f \over \partial x^{i_2} \cdots \partial x^{i_r}}$, luego por hipótesis de inducción existe ${ \partial_{i_2 \cdots i_r} (f \circ x^{-1})}$ en $x(U)$ y vale:

$${\partial^{r-1} f \over \partial x^{i_2} \cdots \partial x^{i_r} } = \partial_{i_2 \cdots i_r}(f \circ x^{-1}) \circ x$$ (13)

Decir que existe ${ {\partial^r f \over \partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_r} }\! = {\partial ... ...al x^{i_1}} {\partial^{r-1} f \over \partial x^{i_2} \cdots \partial x^{i_r} }}$ entraña (mediante (13)) que existe:

$$\partial_{i_1} \left( {\partial^{r-1} f \over \partial x^{i_2... ...irc x^{-1} \right) = \partial_{i_1 \cdots i_r} (f \circ x^{-1})$$

y vale:

$$\begin{eqnarray*} {\partial^r f \over \partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_r}} ... ...c x \\ &=& \partial_{i_1 \cdots i_r} (f \circ x^{-1}) \circ x \end{eqnarray*}$$

El recíproco se prueba análogamente. $\quad\Box$

De los teoremas 6.1.7 y 4.5.8 se sigue sin más:

Teorema 1.8   Sea $M$ una variedad $C^k$, $(U,x)$ un mapa admisible de $M$, $r\in [\![ 1,k ]\!]$ y $f \colon U \to \cal F$ una aplicación de clase $C^r$.

$\forall \, i_1,\ldots i_r \in [\![ 1,n ]\!]$ y $\forall \, \sigma \in {\frak S}_r$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial^r f \over \partial x^{i_{\sig... ...\partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_r} } \quad {\rm en\ }U}$}$$

En particular si $k = r = 2$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial^2 f \over \partial x^i \parti... ...^j \partial x^i } \quad \forall \, i,\, j \in [\![ 1,n ]\!] }$}$$

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