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Espacio vectorial tangente a una variedad con borde

Sean $M$ una variedad con borde y $m \in M$. Imitando la definición al comienzo de este capítulo designamos por ${\cal F}(m)$ el conjunto de todas las FUNCIONES LOCALES EN EL PUNTO $m$ sobre $M$, es decir funciones $f \colon V \to {\mathbb{R}}$ donde $V$ es una vecindad abierta de $m$ en $M$ (que depende de $f$). Consideramos los subconjuntos ${\cal C}(m)$, ${\cal D}(m)$, ${\cal C}^j (m)$ ($1 \le j \le k$) de funciones locales en $m$ respectivamente continuas en $m$, diferenciables en $m$ (según la definición 5.5.8), de clase $C^j$ en su dominio (según la definición 5.5.9). Vale:

$${\cal C}^j (m) \subset {\cal D}(m) \subset {\cal C}(m) \subset {\cal F}(m)$$

Las operaciones (adición, combinación lineal, multiplicación) en ${\cal F}(m)$ se definen como anteriormente. Los conjuntos ${\cal C}(m)$, ${\cal D}(m)$, ${\cal C}^j (m)$ son cerrados con respecto a dichas operaciones. Además, en virtud del teorema 5.5.8:

Si $g \in {\cal D}(m)$, $f\in {\cal D}(m)$ y $f(m) =0$ se tiene $gf \in {\cal D}(m)$

Imitando la definición 6.1.1, designamos por $M_m$ el conjunto de todas las funcionales $L \colon {\cal D}(m) \to {\mathbb{R}}$ que satisfacen las tres propiedades leibnizianas.

Patentemente, como antes, $M_m$ es un espacio vectorial real. Se llama el ESPACIO VECTORIAL TANGENTE A LA VARIEDAD CON BORDE EN EL PUNTO . Sus elementos son los VECTORES TANGENTES A LA VARIEDAD CON BORDE EN EL PUNTO .

Para dichos vectores tangentes sigue en fuerza el teorema 6.1.2 (``LOCALIZACIÓN DE VECTORES TANGENTES''). La demostración correspondiente no sufre ningún cambio.

Si $U$ es una vecindad abierta de un punto $m$ de $M$, se define, como arriba, los conjuntos ${\cal F}_U (m)$, ${\cal C}_U(m)$, ${\cal D}_U (m)$, ${\cal C}_U^j (m)$ de funciones locales en el punto $m$ sobre la subvariedad abierta $U$ de $M$.

Sigue válido sin cambio (y con la misma demostración) el teorema 6.1.3 que permite identificar por un isomorfismo canónico los espacios vectoriales $M_m$ y $U_m$.

Sigue también cierto sin modificación esencial el teorema 6.1.4 que aquí reza:

Teorema 1.9   Todo mapa admisible $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ de $M$ en $m$ induce un isomorfismo $x_\ast (m)$ del espacio vectorial tangente $U_m \approx M_m$ sobre el espacio vectorial tangente $x(U)_{x(m)} \approx \overline{{\frak S} }_{x(m)}$ ($x(U)$ una subvariedad abierta de la variedad con borde $\overline{{\frak S}}$). El isomorfismo $x_\ast (m)$ está dado por:

$$\fbox{${\displaystyle ( x_\ast (m) L ) g = L (g \circ x) \quad \forall \, g \in {\cal D}_{x(U)} (x(m))}$}$$

Ahora aplicamos el teorema 4.6.8 (el TEOREMA DE ELLIS PARA SEMIESPACIOS CERRADOS). Según éste la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u} (x(m))$ es un isomorfismo lineal canónico de ${\mathbb{R}}^n$ sobre el espacio vectorial tangente $\overline{ {\frak S}}_{x(m)}$. Combinando con el isomorfismo $x_\ast (m)^{-1}$ obtenemos un isomorfismo inducido por nuestro mapa de ${\mathbb{R}}^n$ sobre el espacio vectorial tangente $M_m$.

De ahí la primera conclusión:

luego

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim } M_m = n= \mbox{\rm dim } M}$}$$

(Aquí un comentario harto informal: Aun si $m$ pertenece al borde de la variedad $M$, el espacio vectorial tangente $M_m$ es isomorfo a `` ${\mathbb{R}}^n$ entero'' y no, como se podía temer, a algo como un semiespacio de ${\mathbb{R}}^n$.)

En segundo lugar:

El isomorfismo de Ellis transforma la base natural $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de ${\mathbb{R}}^n$ en la base

$$\left( \partial_{\vec{e}_1}(x(m)),\ldots, \partial_{\vec{e}_n... ...ht) = \left( \partial_1(x(m)), \ldots, \partial_n(x(m)) \right)$$

de $\overline{ {\frak S}}_{x(m)}$. Aquí $\partial_1,\ldots,\partial_n$ son las derivadas parciales de primer orden ``usuales''. Según la observación 2, después de la definición 4.6.6 existen y están bien determinadas en todo punto de $\overline{{\frak S}}$.

A su vez las funcionales ${ {\partial \over \partial x^1}(m),{\partial \over \partial x^2} (m), \ldots , {\partial \over \partial x^n}(m)}$ definidas por:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial \over \partial x^k}(m) = \col... ...^{-1} \partial_k (x(m)) \quad \forall \, k \in [\![ 1,n ]\!]}$}$$

constituyen una base del espacio vectorial tangente $M_m$, la BASE DE DICHO ESPACIO INDUCIDA POR EL MAPA ADMISIBLE $(U,x)$.

Como en el caso de variedades sin borde, obtenemos: $\forall \, f \in {\cal D}(m)$:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial \over \partial x^k}(m) f = \partial_k (f \circ x^{-1}) (x(m)) }$}$$

que se suele también escribir:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\partial f\over \partial x^k}(m)= \partial_k (f \circ x^{-1}) (x(m)) }$}}$$ (14)

Si $f \colon U \to {\mathbb{R}}$ es una función diferenciable en $U$, definimos la función
${ {\partial f \over \partial x^k}\colon U \to {\mathbb{R}} }$ por:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\partial f\over \partial x^k} = \partial_k (f \circ x^{-1}) \circ x }$}}$$ (15)

El teorema 6.1.5 y su demostración también se generalizan sin más, a saber:

Si M es una $n$-variedad $C^k$ con borde y $(U,x)$ es un mapa admisible de M en un punto m, vale $\forall \, L \in M_m$:

$$\fbox{${\displaystyle L = \sum_{i=1}^n (Lx^i){\partial \over \partial x^i}(m) }$}$$

Como hicimos en el caso de variedades sin borde, ampliamos el alcance de los operadores ${ \partial \over \partial x^k}$, o sea, usamos las fórmulas (14) y (15) como definiciones, si $f$ es una aplicación diferenciable en $U$ en un espacio afín normado $\cal F$.

Las definiciones de derivadas parciales de orden superior con respecto a una mapa admisible y los teoremas 6.1.7 y 6.1.8 se generalizan sin más.

Como muestra, establezcamos $\forall \, f \in C^2 (U,{\cal F})$ la fórmula:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\partial^2 f \over \partial x^i ... ...ial x^j} = {\partial^2 f \over \partial x^j \partial x^i} }$}}$$ (16)

Por hipótesis, la aplicación $f \circ x^{-1} \colon x(U) \to \cal F$ es de clase $C^2$ en el abierto $x(U)$ de $\overline{{\frak S}}$, es decir, existe un abierto $V$ de ${\mathbb{R}}^n$ tal que $V \cap \overline{{\frak S}} = x(U)$ y una ampliación $\widetilde{f \circ x^{-1}}$ de clase $C^2$ (C.D.) de $f \circ x^{-1}$ al abierto $V$.

Por el teorema de Schwarz tenemos:

$$\partial_{ij} \widetilde{f \circ x^{-1}} = \partial_{ji} \widetilde{f \circ x^{-1}} \quad {\rm en\ } V$$

A mayor abundamiento:

$$\partial_{ij} (f \circ x^{-1}) = \partial_{ji}(f \circ x^{-1}) \quad {\rm en\ }x(U)$$

luego en $U$:

$$\left( \partial_{ij} (f \circ x^{-1}) \right) \circ x = \left( \partial_{ji} (f \circ x^{-1} ) \right) \circ x$$

es decir ${ {\partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j} = {\partial^2 f \over \partial x^j \partial x^i}}$. $\quad\Box$

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