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Estudio del espacio vectorial tangente $M_m$ en presencia de un mapa admisible de $M$ en $m$

Usando mapas admisibles vamos a obtener resultados de importancia decisiva sobre espacios vectoriales tangentes.

Sea M una variedad $C^k \,(k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \} )$ y sea $m$ un punto de $M$. Sea $n =\colon \mbox{\rm dim}_m\, M$. Usamos un mapa admisible $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ de la variedad $M$ en el punto $m$ y nos fijamos en las subvariedades abiertas $U$ de $M$ y $x(U)$ de ${\mathbb{R}}^n$.

Si $f \in {\cal F}_U (m)$ entonces vale $f \circ x^{-1} \in {\cal F}_{x(U)} (x(m))$. Por cierto la aplicación:

$$f \mapsto f \circ x^{-1}$$ (1)

es una biyección de ${\cal F}_U (m)$ sobre ${\cal F}_{x(U)} \left( x(m)\right)$, siendo la biyección inversa:

$$g \mapsto g \circ x$$ (2)

Se verifica también:

$$\mbox{\rm Dom }(f \circ x^{-1}) = x(\mbox{\rm Dom } f) \quad ... ...} \quad \mbox{\rm Dom }(g \circ x) = x^{-1} (\mbox{\rm Dom } g)$$

La restricción de la biyección (1) a ${\cal C}_U(m)$ es claramente una biyección de ${\cal C}_U$ sobre ${\cal C}_{x(U)} ( x(m))$.

También debido a la definición 5.2.2 y a la demostración del teorema 5.2.5, la restricción de la biyección (1) a ${\cal D}_U (m)$ es una biyección de ${\cal D}_U (m)$ sobre ${\cal D}_{x(U)} (x(m))$.

Teorema 1.4   $\forall \, L \in U_m$ designamos provisionalmente por $x_\ast (m) L$ la funcional ${\cal D}_{x(U)} ( x(m) ) \to {\mathbb{R}}$ definida por:

$$\fbox{${\displaystyle \left( x_\ast (m) L \right) g = \colon L (g \circ x) \quad \forall \, g \in {\cal D}_{x(U)} ( x(m) )}$}$$

$x_\ast (m)$ es un isomorfismo lineal del espacio vectorial tangente $U_m$ sobre el espacio vectorial tangente $x(U)_{x(m)}$.

Demostración

1. Comprobemos que si $L \in U_m$ vale $x_\ast (m) L \in x(U)_{x(m)}$.
   1. $\forall \, g_1,\, g_2 \in {\cal D}_{x(U)} ( x(m) )$ y $\forall \, \alpha_1,\, \alpha_2\in {\mathbb{R}}$ vale:
      $$\begin{eqnarray*} \left( x_\ast (m) L \right)(\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) &=& L... ...ast (m) L \right) g_1 + \alpha_2 \left( x_\ast (m) L \right) g_2 \end{eqnarray*}$$
      
      

   2. $\forall \, g_1,\, g_2 \in {\cal D}_{x(U)} ( x(m) )$ vale:
      $$\begin{eqnarray*} \left( x_\ast (m) L \right)(g_1 g_2) &=& L \left( (g_1 g_2) \c... ...\right) g_1 \\ & & + g_1(x(m)) \left(x_\ast (m) L \right) g_2 \end{eqnarray*}$$
      
      

   3. Supongamos $g_1 \in {\cal D}_{x(U)}( x(m) )$, $g_1 (x(m)) =0$ y $g_2 \in {\cal C}_{x(U)} ( x(m) )$, de ahí que $g_1 g_2 \in {\cal D}_{x(U)} ( x(m) )$. Vale:
      

      $$\left( x_\ast (m) L \right) (g_1 g_2) = L \left( (g_1 g_2) \circ x \right) = L \left( (g_1 \circ x) (g_2 \circ x) \right)$$ (3)

      
      
      Pero las hipótesis sobre $g_1$ y $g_2$ equivalen a: $g_1 \circ x \in {\cal D}_U (m)$, $(g_1 \circ x) (m) = 0$ y $g_2 \circ x \in {\cal C}_U(m)$. De (3) se sigue pues:
      
      $$\left( x_\ast (m) L \right) (g_1 g_2) = (g_2 \circ x)(m) L (g_1 \circ x) = g_2( x(m)) \left( x_\ast (m) L \right) g_1$$
      
      

   Las comprobaciones i), ii), iii) aseguran que la funcional $x_\ast (m) L$ goza de las tres propiedades leibnizianas.

   Así pues, $x_\ast (m) L\! \in x(U)_{x(m)}$ como afirmamos.

2. $\forall \, L^\prime \in x(U)_{x(m)}$ definamos ahora una funcional notada (también provisionalmente) $x_\ast (m)^\prime L^\prime \colon {\cal D}_U (m) \to {\mathbb{R}}$ por
   
   $$\left( x_\ast (m)^\prime L^\prime \right) (f) = \colon L^\prime (f\circ x^{-1}) \quad \forall \, f \in {\cal D}_U (m)$$
   
   
   Simétricamente al inciso a), se ve que si $L^\prime \in x(U)_{x(m)}$, entonces vale $x_\ast (m)^\prime L^\prime \in U_m$.

   Claramente, $x_\ast (m)$ es una aplicación lineal de $U_m$ en $x(U)_{x(m)}$ y $x_\ast (m)^\prime$ es una aplicación lineal de $x(U)_{x(m)}$ en $U_m$.

3. Usando las definiciones obtenemos: $\forall \, L \in U_m$, $\forall \, f \in {\cal D}_U (m)$:
   

   $$\left( \left( x_\ast (m)^\prime \circ x_\ast (m) \right) L \right) f = (x_\ast (m) L ) (f\circ x^{-1})$$

   $$= L (f\circ x^{-1} \circ x) = L f$$ (4)

   
   
   También $\forall \, L^\prime \in x(U)_{x(m)}$ y $\forall \, g \in {\cal D}_{x(U)} ( x(m) )$:
   

   $$\left( \left( x_\ast (m) \circ x_\ast (m)^\prime\right) L^\prime \right) g = (x_\ast (m)^\prime L^\prime) (g \circ x)$$

   $$= L^\prime (g\circ x \circ x^{-1}) g = L^\prime g$$ (5)

   
   
   Al quitar los argumentos, las relaciones (4) y (5) rezan:
   

   $$x_\ast^\prime (m) \circ x_\ast (m) = {\cal I}_{U_m}$$ (6)

   $$x_\ast (m) \circ x_\ast^\prime(m) = {\cal I}_{x(U)_{x(m)}}$$ (7)

   
   
   De (6) y (7) se desprende que $x_\ast (m)$ es un isomorfismo lineal del espacio vectorial tangente $U_m$ sobre el espacio vectorial tangente $x(U)_{x(m)}$ y $x_\ast (m)^\prime$ es el isomorfismo lineal inverso. $\quad\Box$

El simple teorema 6.1.4 combinado con el teorema de Ellis (teorema 4.3.10) conduce a las siguientes observaciones muy importantes.

Observación 1

Usando las identificaciones:

$$U_m \approx M_m \quad {\rm y}\quad x(U)_{x(m)} \approx \left( {\mathbb{R}}^n \right)_{x(m)}$$

establecidas en el teorema 6.1.3, podemos considerar $x_\ast (m)$ como isomorfismo lineal del espacio vectorial $M_m$ tangente a $M$ en el punto $m$ sobre el espacio vectorial $\left( {\mathbb{R}}^n \right)_{x(m)}$ tangente al espacio (afín) ${\mathbb{R}}^n$ en el punto $x(m)$.

Pero por el teorema de Ellis, el espacio vectorial $\left( {\mathbb{R}}^n \right)_{x(m)}$ es a su vez canónicamente isomorfo al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$. Luego $x_\ast (m)$ puede considerarse como isomorfismo lineal de $M_m$ sobre ${\mathbb{R}}^n$. En particular $\mbox{\rm dim }M_m = n$, o sea:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }M_m = \mbox{\rm dim}_m \, M}$}$$

Observación 2

Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ la base natural de ${\mathbb{R}}^n$. El isomorfismo ${\mathbb{R}}^n \to ({\mathbb{R}}^n)x(m)$ del teorema de Ellis identifica $\vec{e}_k$ con la funcional:

$$\partial_{\vec{e}_k} (x(m) = \partial_k (x(m)) \colon {\cal D}(x(m)) \to {\mathbb{R}}$$

(la derivada parcial usual ``con respecto al $k$-ésimo argumento'' en el punto $x(m) \in {\mathbb{R}}^n$).

Al considerar $x_\ast (m)^\prime$ como isomorfismo ${\mathbb{R}}^n \to M_m$ tendremos pues:

$$\fbox{${\displaystyle x_\ast (m)^\prime (\vec{e}_k) = x_\ast (m)^\prime \partial_k (x(m))}$}$$

Introducimos los vectores tangentes ${\partial \over \partial x^k}(m)$ a $M$ en el punto $m$, $k = 1,\ldots n$ por la definición

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\partial \over \partial x^k}(m) ... ...ime \partial_k (x(m)) \quad \forall \, k \in [\![ 1,n ]\!]}$}}$$ (8)

De lo dicho se desprende:

Las funcionales ${\partial \over \partial x^1}(m),\ldots, {\partial \over \partial x^n}(m) \colon {\cal D}(m) \to {\mathbb{R}}$ constituyen una base del espacio vectorial $M_m$ tangente a la variedad $M$ en el punto $m$. Se llama la BASE DE INDUCIDA POR EL MAPA ADMISIBLE $(U,x)$ de la variedad $M$ en el punto $m$.

Explicitemos las funcionales ${\partial \over \partial x^k}(m)$: $\forall \, f \in {\cal D}(m)$ vale:

$${\partial \over \partial x^k}(m) f = x_ \ast (m)^\prime \left... ...f = \partial_k \left( x(m) \right) \left( f\circ x^{-1} \right)$$

o sea, finalmente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\partial \over \partial x^k}(m) f= \partial_k (f \circ x^{-1}) \left( x(m) \right)}$}}$$ (9)

Escribiremos también ${\partial f \over \partial x^k}(m)$ como alternativa a ${\partial \over \partial x^k}(m) f$, con lo cual la última fórmula reza:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\partial f \over \partial x^k}(m... ...artial_k \left( f \circ x^{-1} \right) \left( x(m) \right)}$}}$$ (10)

El número real ${\partial f \over \partial x^k}(m)$ se llama una DERIVADA PARCIAL de $f$ (de PRIMER ORDEN) con respecto al MAPA ADMISIBLE $(U,x)$ de la variedad $M$ en el punto $m$.

Si $(U,x)$ es un mapa admisible de $M$ y $f \colon U \to {\mathbb{R}}$ es una función diferenciable en $U$, la fórmula (10) define una función ${\partial f \over \partial x^k} \colon U \to hr$, la FUNCIÓN DERIVADA PARCIAL CON RESPECTO LA -ÉSIMA COORDENADA LOCAL. Al quitar el argumento $m$ en (10) obtenemos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\partial f \over \partial x^k} =... ...( \partial_k \left( f \circ x^{-1} \right) \right) \circ x}$}}$$ (11)

fórmula válida en $U$.

Nota
Notemos que si $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$, $\left( U,y= (y^1,\ldots, y^n)\right)$ son dos mapas admisibles de $M$ de dominio $U$ y $f \colon U \to {\mathbb{R}}$ es una función diferenciable en $U$, se puede hablar en toda corrección de funciones ${\partial f \over \partial x^k}$ y ${\partial f \over \partial y^i}$ en $U$ como ya hacía Leibniz, cuyas maravillosas notaciones siguen, como veremos más adelante, correctas, pese a unas críticas en el pasado, debidas a la incapacidad de bien interpretarlas.

Teorema 1.5   Sea $M$ una variedad $C^k$ y $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ un mapa admisible de $M$ en un punto m. $\forall \, L \in M_m$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle L = \sum_{i=1}^n \left( L x^i \right) {\partial \over \partial x^i}(m)}$}$$

Demostración
Designemos por $\pi^i \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}$, $i=1,\ldots,n$, las ``proyecciones naturales'':

$$\pi^i ( t^1,\ldots, t^n) = \colon t^i$$

Puesto que $x^i = \pi^i \circ x$, donde $x$ es de clase $C^k$ y $\pi^i$ de clase $C^\infty$, las funciones $x^i \colon U \to {\mathbb{R}}$ son de clase $C^k$ en $U$, a fortiori son diferenciables en $U$ y la fórmula por comprobar tiene sentido.

Por el teorema de Ellis vale $\forall \, L \in M_m$:

$$x_\ast (m) L = \sum_{i=1}^n \left( \left( x_\ast (m) L \right) \pi^i \right) \partial_i (x(m))$$

de donde, operando por $x_\ast (m)^\prime$ y atendiendo a la definición 8 de los vectores tangentes ${ \partial \over \partial x^i }(m)$ en la observación 2:

$$L = \sum_{i=1}^n L (\pi^i \circ x ) {\partial \over \partial ... ...m_{i=1}^n \left( L x^i \right) {\partial \over \partial x^i}(m)$$

$\quad\Box$

Corolario 1.1   Si $M$ es una variedad $C^k$ y $m \in M$, un vector tangente $L$ a $M$ en el punto $m$ está determinado sin ambigüedad si se conoce sus raíces sobre las funciones $f \in C^k (m)$, a fortiori sobre las funciones $f \in C^j (m)$, con $1 \le j \le k$.

Demostración
En efecto, si $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ es un mapa admisible en $m$, en virtud del teorema 6.1.5, para conocer $L$ basta conocer los números $Lx^i$, $i=1,\ldots,n$ y $x^i$ son funciones de clase $C^k$. $\quad\Box$

Teorema 1.6   Con las notaciones antes del teorema 6.1.5 tenemos:

$$\fbox{${\displaystyle {\partial x^i \over \partial x^k} = \delta_k^i}$}$$

Demostración
Usando la fórmula (10) de la observación 2 conseguimos:

$${\partial x^i \over \partial x^k} = \partial_k ( x^i \circ x^{-1}) \circ x = (\partial_k \pi^i ) \circ x = \delta_k^i$$

pues $\partial_k \pi^i = \delta_k^i$. $\quad\Box$

Nota
Existen diferentes métodos para definir y estudiar el espacio vectorial tangente en un punto de una variedad diferenciable. El que elegimos se debe al profesor H. G. ELLIS [16] de la Universidad de Colorado.

Las tentativas de definir los vectores tangentes a $M$ en un punto $m$ como funcionales convencionales sobre cierto tipo de funciones locales en $m$ no son nuevas. En el tomo I de su tratado de grupos de Lie [10], el matemático francés CLAUDE CHEVALLEY supone que $M$ es una variedad analítica y define vectores tangentes a $M$ en $m$ como funcionales sobre el conjunto $C^\omega (m)$ de funciones locales en $m$, cada una analítica en su dominio, postulando que dichas funcionales satisfacen las propiedades leibnizianas 1) y 2).

Es fácil generalizar la definición de Chevalley postulando solamente que $M$ es una variedad $C^\infty$ y sustituyendo $C^\omega (m)$ por $C^\infty (m)$, el conjunto de funciones locales en $m$, cada una de clase $C^\infty$ en su dominio. De nuevo basta exigir que las funcionales consideradas $C^\infty (m) \to {\mathbb{R}}$ gocen de las propiedades leibnizianas 1) y 2). Ellis atribuye la mencionada generalización a H. FLANDERS [17].

Desgraciadamente, si uno insiste en no usar más que las propiedades leibnizianas 1) y 2), resulta imposible una generalización ulterior a variedades $C^k$ con $k$ finito.

En efecto, en el año 1956 el matemático belga G. PAPY [30] probó que si $M$ es una variedad $C^k$ con $k\in {\mathbb{N}}$, el espacio vectorial de las funcionales $C^k (m) \to {\mathbb{R}}$ que satisfacen las propiedades leibnizianas 1) y 2) es de dimensión infinita.

El mérito de Ellis fue el descubrimiento del muy simple resultado c) del teorema 4.3.5 y la consecuente añadidura de la propiedad leibniziana 3) a la definición de vectores tangentes.

El método de Ellis es muy natural y ``geométrico'', muy económico, pues no exige más que la diferenciabilidad de funciones locales consideradas en el solo punto $m$ (¡menos no se puede!) y técnicamente muy cómodo (esperemos que de esto se convencerá el lector a continuación).

Como lo hace patente nuestra redacción, ocurre el hecho (quizá sorprendente) de que el principal teorema de la teoría (teorema 4.3.10) no es un teorema sobre variedades diferenciables, sino uno sobre espacios afines de dimensión finita.

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