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Repaso de permutaciones

Se llama PERMUTACIÓN de un conjunto a una biyección de éste sobre sí. $\forall \, n \in {\mathbb{N}}$ designaremos por ${\frak S}_n$ el conjunto de todas las permutaciones del intervalo $[\![ 1,n ]\!]$ de ${\mathbb{N}}$. Mientras trabajemos con $n$ fijo, los elementos del intervalo $[\![ 1,n ]\!]$, o sea los enteros $1,\ldots,n$ los llamaremos D´iGITOS.

La aplicación $(\sigma,\tau) \mapsto \sigma {\scriptstyle \circ }\tau$ de ${\frak S}_n \times {\frak S}_n$ en ${\frak S}_n$ hace de ${\frak S}_n$ un grupo. Este se llama GRUPO SIMÉTRICO DE GRADO $n$. Conforme a una costumbre común escribiremos simplemente $\sigma \tau$ en vez de $\sigma{\scriptstyle \circ} \tau$. El elemento neutro del grupo ${\frak S}_n$ es la aplicación idéntica de $[\![ 1,n ]\!]$ que designaremos por $\iota$. Si $\sigma \in {\frak S}_n$, el elemento inverso $\sigma^{-1}$ de $\sigma$ en el grupo ${\frak S}_n$ no es otro que la biyección inversa de la biyección $\sigma$. $\forall \, \sigma \in {\frak S}_n$ se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle \sigma^{-1} \sigma = \sigma \sigma^{-1} = \iota }$}$$

Teorema 2.1   El orden del grupo ${\frak S}_n$ (es decir, el número de elementos de ${\frak S}_n$) es $n!$.

$$\fbox{${\displaystyle \circ({\frak S}_n)= n!}$}$$

Demostración
Algo más generalmente, probaremos que si $X,\, Y$ son conjuntos de cardinalidad $n$, el número de biyecciones de $X$ sobre $Y$ es $n!$. La demostración la haremos por inducción sobre $n$. Para $n=1$ la afirmación es trivial. Supongamos $n \ge 2$ y el teorema probado para $n-1$. Sean $X=\{ x_1,\ldots,x_n \}$ e $Y=\{ y_1,\ldots,y_n \}$ conjuntos de cardinalidad $n$. $\forall \, k \in [\![ 1,n ]\!]$ sea $A_k$ el conjunto de las biyecciones $f$ de $X$ sobre $Y$ tales que $f(x_n)=y_k$. La cardinalidad de $A_k$ es igual a aquella del conjunto de todas las biyecciones del conjunto $\{ x_1,\ldots,x_{n-1} \}$ sobre el conjunto $Y - \{ y_k \}$. Por hipótesis de inducción esta cardinalidad es $(n-1)!$. El conjunto de todas las biyecciones de $X$ sobre $Y$ es la reunión de los $n$ conjuntos $A_k$, ajenos a pares, cada uno de cardinalidad $(n-1)!$ luego tiene cardinalidad $(n-1)!\, n =n!$. $\quad\Box$

Definición 2.1  

1. Sea $n \ge 2$. Si $x_1,\ldots,x_r$ son $r$ dígitos (elementos de $[\![ 1,n ]\!]$) distintos, se llama CICLO $(x_1,\ldots,x_r)$ a la permutación $\gamma \in {\frak S}_n$ tal que:
   
   $$\left\{ \begin{array}{rcll} \gamma(x_k)&=& x_{k+1} & \forall... ...ox{si} \; x \not\in \{ x_1,\ldots,x_n \} \end{array} \right.$$
   
   

2. Si $\gamma$ es el ciclo $(x_1,\ldots,x_r)$ designaremos$\!^)$ por $\{ \gamma \}$ el conjunto de elementos $\{ x_1,\ldots,x_r \}$. Esta definición es unívoca, o sea el conjunto $\{ \gamma \}$ depende solamente del ciclo $\gamma$ pues $\{ \gamma \} = \left\{ x\in [\![ 1,n ]\!] \bigm\vert \gamma(x) \ne x \right\}$.
3. Una familia finita $(\gamma_1,\ldots, \gamma_N)$ de ciclos se dice AJENA si los correspondientes subconjuntos $\{ \gamma_1 \},\ldots, \{ \gamma_N\}$ de $[\![ 1,n ]\!]$ son ajenos a pares.

   Una condición equivalente reza: Para todo dígito $x \in [\![1,n ]\!]$ existe a lo sumo un índice $k \in [\![ 1, N ]\!]$ tal que $\gamma_k (x) \ne x$.

Lema 2.1   Ciclos ajenos conmutan.

Demostración
Basta probar que si $\gamma_1,\, \gamma_2$ son dos ciclos ajenos vale:

$$\gamma_1 \gamma_2 = \gamma_2 \gamma_1$$ (1)

Si $x\not\in \{ \gamma_1 \}$ y $x\not\in \{ \gamma_2 \}$ vale

$$(\gamma_1 \gamma_2)(x) = (\gamma_2 \gamma_1)(x)=x$$

Supongamos ahora $x\in \{\gamma_1 \}$. Entonces $\gamma_1 x \ne x$, luego $\gamma_2 x =x$ y en consecuencia:

$$\gamma_1 \gamma_2 (x) = \gamma_1(x)$$ (2)

Pero siendo $\gamma_1 (x) \in \{ \gamma_1 \}$ vale también:

$$\gamma_2 \gamma_1 (x) = \gamma_1 (x)$$ (3)

Por (2) y (3) vale:

$$(\gamma_1 \gamma_2)(x)= (\gamma_2 \gamma_1)(x)$$ (4)

Análogamente se ve que vale (4) si $x\in \{ \gamma_2 \}$. Así pues, (1) es cierto. $\quad\Box$

Teorema 2.2   Toda permutación $\sigma \in {\frak S}_n$, $\sigma \ne \iota$ puede representarse como producto (conmutativo) de una familia finita de ciclos ajenos. Tal representación es única a menos del orden de los factores.

Demostración
Sea dada $\sigma \in {\frak S}_n \,,\; \sigma \ne \iota$.

1. En el conjunto $[\![ 1,n ]\!]$ introduzcamos la relación ``$\sim$'' por el convenio:
   
   $$y \sim x \Leftrightarrow \exists m \in {\mathbb{Z}}\; \mbox{tal que} \; y = \sigma^m x$$
   
   
   Rigen las reglas:
   1. $x \sim x \; \forall \, x \in [\![ 1,n ]\!]$ pues $x =\sigma^0 x$.
   2. $y \sim x \Rightarrow x\sim y$ pues $y = \sigma^m x$ implica $x = \sigma^{-m} y$.
   3. Las relaciones $y\sim x$ y $z \sim y$ implican $z \sim x$, pues $y= \sigma^p x$ y $z= \sigma^q y$ implican $z=\sigma^{p+q} x$.
   De ahí se sigue que ``$\sim$'' es una relación de equivalencia en $[\![ 1,n ]\!]$. Las correspondientes clases de equivalencia se llaman las ´ORBITAS de la permutación $\sigma$.

   La órbita de un dígito $x \in [\![1,n ]\!]$ se reduce a $\{ x \}$ si y sólo si $\sigma x =x$ o, como se dice, $x$ ``es invariante por $\sigma$''.

   Una órbita de $\sigma$ reducida a un sólo punto la llamaremos ´ORBITA TRIVIAL. Puesto que $\sigma \ne \iota$, $\sigma$ posee por lo menos una órbita no trivial.

2. Sea $B$ una órbita no trivial de $\sigma$. Fijemos arbitrariamente $x \in B$. $\exists m \in {\mathbb{N}}$ tal que $\sigma^m x =x$, pues, de lo contrario si $p,\, q \in {\mathbb{N}}$ y $p \ne q$ sería $\sigma^p x \ne \sigma^q x$, lo que es imposible por ser $[\![ 1,n ]\!]$ un conjunto finito.

   Sea $r =\colon \mbox{\rm M\'\i n} \{ m \in {\mathbb{N}}\bigm\vert \sigma^m x = x \}$. $r$ es un entero $\ge 2$. $\forall \, m \in {\mathbb{Z}}$ obtenemos por el algoritmo de la división enteros $q$ y $t$ tales que $m = rq + t$ y $0 \le t \le r-1$, de donde:
   

   $$\sigma^m x = \sigma^t \, \sigma^{rq} x= \sigma^t x$$
   
   
   luego $B$ contiene solamente los elementos $x,\, \sigma x,\, \sigma^2 x, \ldots,\sigma^{r-1}x$ y, por minimalidad de $r$, éstos son distintos a pares.

   El entero $r$ depende solamente de $B$, pues es la cardinalidad de $B$. También el ciclo $\gamma =\colon (x, \sigma x, \ldots,\sigma^{r-1} x)$ depende solamente de $B$ pues $\gamma$ es la restricción de $\sigma$ a $B$: $\sigma \bigl\vert _B$. A su vez $B=\{ \gamma \}$.

3. Sea $(B_1,\ldots,B_N)$ la familia de todas las órbitas no triviales de $\sigma$. $\forall \, k \in [\![ 1,n ]\!]$ sea $\gamma_k$ el ciclo definido por $B_k$ como en b) o sea $\gamma_k = \sigma \bigl\vert _{B_k}$. Puesto que $\{\gamma_k \} = B_k$ los ciclos $\gamma_1,\ldots,\gamma_N$ son ajenos. Afirmamos que:
   

   $$\sigma=\gamma_1 \cdots \gamma_N$$ (5)

   
   
   En efecto:
   1. Si $x \not\in B_k \; \forall \, k \in [\![ 1,N ]\!]$ vale $\sigma x =x$ y también $(\gamma_1 \cdots \gamma_N)(x)=x$, pues, $\gamma_k (x)=x \; \forall \, k \in [\![ 1,N ]\!]$.
   2. Supongamos $x \in B_k$ para algún $k \in [\![ 1, N ]\!]$. (Este $k$ es único). Entonces $\gamma_k(x)= \sigma x$ y $\gamma_i (x) = x$ si $i \ne k$. Aplicando, por ejemplo, el lema 1.2.1 obtenemos:
      
      $$(\gamma_1 \cdots \gamma_N)(x)= \gamma_k (\gamma_1 \cdots \widehat{\gamma_k} \cdots \gamma_N) (x) = \gamma_k (x) = \sigma x$$
      
      

   De (i) y (ii) se ve que la relación (5) es cierta.
4. Para probar la unicidad de la representación (5) (la cual, por cierto, no será usada más adelante) supongamos una relación
   

   $$\sigma = \gamma_1^\prime \cdots \gamma_{N^\prime}^\prime$$ (6)

   
   
   donde $\gamma_1^\prime \cdots \gamma_{N^\prime}^\prime$ son ciclos ajenos.

   Si $x \not\in \{ \gamma_k^\prime \} \; \forall \, k \in [\![ 1, N^{\prime} ]\!]$ se verifica:
   

   $$\sigma x =x$$
   
   
   Supongamos que para algún $k \in [\![ 1, N^\prime ]\!]$ se cumple $x \in \{ \gamma_k^\prime \}$. Entonces, por ejemplo, por el lema 1.2.1:
   
   $$\sigma x = \gamma_k^\prime (\gamma_1^\prime \cdots \widehat{\... ...rime}^\prime) (x)= \gamma_k^\prime (x) \in \{\gamma_k^\prime \}$$
   
   
   de donde inmediatamente por inducción:
   
   $$\sigma^m x = (\gamma_k^\prime )^m (x) \in \{ \gamma_k^\prime \} \; \; \forall m \in {\mathbb{N}}$$
   
   
   Esto prueba que $\{ \gamma_k^\prime \}$ es una órbita no trivial de $\sigma$ y $\gamma_k^\prime = \sigma \bigm\vert _{\{ \gamma_k^\prime \} }$.
   Finalmente sea $B$ una órbita no trivial de $\sigma$. Si $x \in B$, vale $x \ne \sigma x$, luego $\exists k \in [\![ 1, N^\prime ]\!]$ tal que $x \in \{ \gamma_k^\prime \}$. De ahí $B = \{ \gamma_k^\prime \}$ o sea $B$ figura entre las órbitas no triviales $\{ \gamma_1^\prime \},\ldots, \{ \gamma_{N^\prime}^\prime \}$. Se ve pues que la representación (6) es la misma que (5). $\quad\Box$

Definición 2.2   Un ciclo $\gamma$ tal que $\{ \gamma \}$ es de cardinalidad 2 se llama TRASPOSICIÓN. En otras palabras, si $i,\, j$ son dígitos distintos, la trasposición $\tau=(i,j)$ es la permutación que satisface:

$$\begin{eqnarray*} &\ & \tau(i)=j \,,\; \tau (j) = i \; \hspace{3em} \mbox{y} \\ ... ...\![ 1,n ]\!] \; \mbox{tal que} \; k \ne i \; \mbox{y} \; k \ne j \end{eqnarray*}$$

Teorema 2.3   Si $n \ge 2$, toda permutación de grado n puede representarse como producto de una familia finita de trasposiciones.

Demostración
Vale $\iota = (1,2)^2$. Podemos pues suponer ahora $\sigma \ne \iota$. En virtud del teorema 1.2.2 basta probar que todo ciclo puede representarse como producto de una familia finita de trasposiciones. Esto se sigue de que si $r \ge 2$ y si $x_1,x_2,\ldots,x_r$ son dígitos distintos a pares, rige la fórmula:

$$(x_1 ,\, x_2,\, x_3, \cdots, x_r)=(x_1,\, x_r)(x_1, \, x_{r-1})\cdots (x_1, \, x_3) (x_1, \, x_2)$$

$\quad\Box$

Advertencia.
La representación de una permutación como producto de trasposiciones está lejos de ser única. P. ej. si $n\ge 3$ tenemos:

$$\iota = (1,2)^2= (1,3)^2=(1,2)^2 (1,3)^2=(1,2)^2 (1,3)^2 (2,3)^2$$

Definición 2.3   Una permutación de grado $n$ se dice TRASPOSICIÓN DE D´iGITOS CONSECUTIVOS si es de la forma $(k,k+1)$ con $k \in [\![ 1, n-1]\!]$.

El teorema 1.2.3 puede mejorarse como sigue:

Teorema 2.4   Si $n \ge 2$, toda permutación puede representarse como producto de una familia finita de trasposiciones de dígitos consecutivos.

Demostración
En virtud del teorema 1.2.3 basta probar que toda trasposición puede expresarse como producto de trasposiciones de dígitos consecutivos. Consideremos dos dígitos: $a$ y $a+r$ con $r \in {\mathbb{N}}$. Observamos que la permutación

$$\sigma= \colon (a+r-1, a+r)(a+r-2,a+r-1) \cdots (a+1,a+2)(a,a+1)$$

transforma $a$ en $a+r$ y los dígitos $a+1,a+2,\ldots, a+r-1; a+r$ respectivamente en $a, a+1,\ldots, a+r-2; a+r-1$. A su vez la permutación

$$\tau = \colon (a, a+1)(a+1,a+2)\cdots(a+r-3,a+r-2) (a+r-2, a+r-1)$$

transforma los dígitos $a, a+1,\ldots, a+r-2; a+r-1$ respectivamente en $a+1,a+2,\ldots, a+r-1; a$ y no desplaza a $a+r$. Luego la permutación $\tau \sigma$ intercambia $a+r$ con $a$ y no desplaza ningún otro dígito, o sea:

$$(a, a+r)= \tau \sigma$$

Pero $\tau \sigma$ es patentemente un producto de trasposiciones de dígitos consecutivos. $\quad\Box$

En el importante teorema que sigue se considera el conjunto de dos elementos $\{ -1, 1 \}$. Podemos mirarlo como p. ej. un subconjunto de ${\mathbb{Z}}$, provisto por la multiplicación inducida por la de ${\mathbb{Z}}$, a saber:

$$1 \cdot 1 = 1 \,, \quad 1 \cdot (-1) = (-1) \cdot 1 = -1 \,,\quad (-1)\cdot (-1) = 1$$

Esta multiplicación hace del conjunto $\{ -1, 1 \}$ un grupo. Nos referiremos a éste simplemente como el GRUPO $\{ -1, 1 \}$.

Teorema 2.5 (y definiciones)   Existe un único homomorfismo $\varepsilon$ del grupo simétrico ${\frak S}_n$ en el grupo $\{ -1, 1 \}$ que satisface:

$$\varepsilon (\sigma) = -1 \quad \mbox{para toda trasposici\'on } \sigma.$$

$\forall \, \sigma \in {\frak S}_n$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle \varepsilon(\sigma)= (-1)^{\nu(\sigma)} }$}$$

donde $\nu(\sigma)$ es el número de pares $(i,j)$ de elementos de $[\![ 1,n ]\!]$ tales que $i<j$ pero $\sigma(i) > \sigma(j)$. Tales pares se llaman las INVERSIONES DE LA PERMUTACIÓN $\sigma$. $\varepsilon (\sigma)$ se llama el SIGNO DE LA PERMUTACIÓN $\sigma$. Será designado en este libro por el símbolo $\mbox{\rm Sgn }\sigma$.

Demostración
Si existe un homomorfismo deseado $\varepsilon$, es necesariamente único. En efecto en virtud del teorema 1.2.3 toda permutación $\sigma \in {\frak S}_n$ puede representarse en la forma $\sigma = \tau_1 \cdots \tau_m$, donde $\tau_1,\ldots,\tau_m$ son trasposiciones. Por ser $\varepsilon$ un homomorfismo vale $\varepsilon(\sigma)= \varepsilon(\tau_1) \cdots \varepsilon(\tau_m)$. Además, puesto que $\varepsilon$ toma el valor $-1$ sobre toda trasposición, se sigue de ahí $\varepsilon (\sigma) = (-1)^m$. Por tanto se conoce el valor de $\varepsilon$ sobre toda permutación, elemento de ${\frak S}_n$.

Probemos la existencia del homomorfismo $\varepsilon$. Pongamos:

$$P = \colon \prod_{i,j \in [\![ 1,n ]\!] \atop i<j} (j-i) \quad \mbox{y}$$ (7)

$$\sigma P = \colon \prod_{i<j} (\sigma(j) - \sigma(i))$$ (8)

Los factores a la derecha de (7) son, a menos del orden y del signo, los mismos que los a la derecha de (8). Más precisamente, el factor $\sigma(j) -\sigma(i)$ es negativo si y sólo si $(i,j)$ es una inversión de $\sigma$. Tenemos pues:

$$\sigma P = \varepsilon(\sigma) P$$ (9)

donde $\varepsilon ( \sigma)= \colon (-1)^{\nu ( \sigma)}$ y $\nu(\sigma)$ es el número de inversiones de la permutación $\sigma$. Más generalmente si $f$ es cualquier aplicación de $[\![ 1,n ]\!]$ en $[\![ 1,n ]\!]$ se verifica:

$$\prod_{i<j} \left( f(\sigma(j))- f(\sigma(i)) \right) = \varepsilon(\sigma) \prod_{i<j} \left( f(j) - f(i) \right)$$ (10)

En efecto, como antes, los factores a la izquierda de (10) son los mismos, a menos del orden y del signo, que los a la derecha y el número de cambios de signo es siempre $\nu(\sigma)$.

Sean $\sigma,\, \tau$ permutaciones arbitrarias, elementos de ${\frak S}_n$. Al escribir (10) con $f= \tau$ obtenemos mediante (9), (8) y (10) y otra vez (7)

$$\begin{eqnarray*} \varepsilon (\tau \, \sigma) P &=& ( \tau \, \sigma) P = \prod... ...tau(i) \right) \\ &=& \varepsilon (\sigma) \varepsilon(\tau) P \end{eqnarray*}$$

De ahí:

$$\varepsilon (\tau \sigma) = \varepsilon(\tau) \cdot \varepsilon(\sigma)$$

Esta relación prueba que $\varepsilon$ es un homomorfismo del grupo ${\frak S}_n$ sobre el grupo $\{ -1, 1 \}$.

Queda por probar que $\varepsilon$ toma valor $-1$ sobre toda trasposición. Sea $\sigma = (a,b)$ una trasposición arbitraria. Aquí $a,b$ son elementos distintos de $[\![ 1,n ]\!]$. Cabe suponer $a<b$ y escribir $b=a+r$ con $r \in {\mathbb{N}}$.

Las inversiones de $\sigma=(a,a+r)$ son:

$$\begin{array}{c} \begin{array}{@{(}l@{;}l@{)\ ,\ (}l@{;}l@{)\... ...+r-1 & a+r \end{array} \\ \mbox{ y }\;\; (a;a+r). \end{array}$$

El número de dichas inversiones es $2r-1$ luego:

$$\varepsilon(\sigma) =(-1)^{2r-1} = -1$$

$\quad\Box$

Definición 2.4   Sea $\sigma \in {\frak S}_n$. $\sigma$ se dice PERMUTACIÓN PAR si $\mbox{\rm Sgn } \sigma =1$. $\sigma$ se dice PERMUTACIÓN IMPAR si $\mbox{\rm Sgn }\, \sigma =-1$. Si representamos $\sigma$ como producto de trasposiciones, $\sigma$ será una permutación par o impar según el número de dichas trasposiciones es par o impar.

De ahí se sigue:

Si representamos una misma permutación de diferentes maneras como producto de trasposiciones, la paridad del número de factores es siempre la misma o sea depende solamente de $\sigma$.

Teorema 2.6   Sean $\sigma,\,\tau \in {\frak S}_n$. El producto $\sigma \, \tau$ es una permutación par si y sólo si ambas $\sigma$ y $\tau$ son permutaciones pares o ambas son impares.

$\sigma \tau$ es una permutación impar si una de las permutaciones $\sigma,\, \tau$ es par y la otra es impar.

La demostración es inmediata.

Notación.
Se designa por ${\frak A}_n$ el conjunto de todas las permutaciones pares de grado $n$.

Teorema 2.7 (y definición)   ${\frak A}_n$ es un subgrupo de ${\frak S}_n$. ${\frak A}_n$ se llama el GRUPO ALTERNADO DE GRADO $n$.

La afirmación se sigue sin más de las implicaciones:

$$\begin{eqnarray*} \sigma,\, \tau \in {\frak A}_n &\Rightarrow& \sigma\, \tau \in... ...\sigma \in {\frak A}_n &\Rightarrow& \sigma^{-1} \in {\frak A}_n \end{eqnarray*}$$

Teorema 2.8   Si $n \ge 2$ el número de permutaciones pares de grado $n$ es igual al número de las impares, luego ambos son $${n! \over 2}$$. Por tanto

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \circ ({\frak A}_n) = { n! \over 2} } }$}$$

Demostración
Sea $\alpha$ una permutación impar fija de grado $n$. La aplicación $\sigma \mapsto \alpha \sigma$ es una biyección de ${\frak S}_n$ sobre sí. Intercambia ${\frak A}_n$ con su complemento. De ahí la conclusión. $\quad\Box$ Existencia y unicidad del álgebra exterior

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