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Aplicaciones multilineales alternadas

Definición 1.1   Sean $E_1, \ldots, E_r;\;F$ espacios vectoriales. Una aplicación $f \colon E_1 \times \ldots \times E_r \to F$ se dice ser una APLICACIÓN -LINEAL si $\forall k \in \lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack$ y $\forall \vec{x}_1 \in E_1, \ldots ,\vec{x}_{k-1} \in E_{k-1}$, $\vec{x}_{k+1} \in E_{k+1}, \ldots, \vec{x_{r}} \in E_r$, fijados arbitrariamente, la aplicación

$$\vec{u} \mapsto f(\vec{x}_1,\ldots, \vec{x}_{k-1}, \vec{u},\vec{x}_{k+1}, \ldots, \vec{x}_r)$$

es una aplicación lineal de $E_k$ en $F$. Explícitamente $\forall k \in \lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack$, rige la regla:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{r} f(\vec{x}_1,\ldots, \v... ...2 , \vec{x}_{k+1}, \ldots, \vec{x}_r) \end{array}\end{array}}$}$$

(Una aplicación multilineal es el aspecto más general de ``producto'').

Si $X$ es un conjunto y $r \in {\mathbb{N}}$, designemos por $X^r$ la POTENCIA CARTESIANA $r$-ésima de $X$, vale decir el producto cartesiano $X_1 \times \ldots \times X_r$, donde $X_i=X \hspace{3mm} \forall i \in \lbrack\!\lbrack 1,r\rbrack\!\rbrack$. Explícitamente $X^r$ es el conjunto de todos los $r$-uplos $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ con $\vec{x}_i \in X \hspace{3mm} \forall i \in \lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack$.

Definición 1.2   Sean $E, F$ espacios vectoriales y $r \in {\mathbb{N}}$. Una aplicación $r$-lineal $f \colon E^r \to F$ se dice APLICACIÓN -LINEAL ALTERNADA si se anula, $f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=0$, cada vez que (por lo menos) dos argumentos consecutivos entre $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r$ son iguales; explícitamente $\exists i \in \lbrack\!\lbrack 1,r-1 \rbrack\!\rbrack$ tal que: $\vec{x}_{i+1}=\vec{x}_i$.

Una aplicación $r$-lineal alternada $E^r \to {\mathbb{K}}$ se dice una FORMA -LINEAL ALTERNADA sobre $E$.

Notamos que en la definición 2.1.1 el conjunto $E_1 \times \cdots \times E_r$, en particular el conjunto $E^r$ en la definición 2.1.2, no está provisto de ninguna estructura algebraica. El conjunto de todas las aplicaciones $r$-lineales alternadas de $E^r$ en $F$ es un espacio vectorial sobre ${\mathbb{K}}$. Lo designamos por:

$$\mbox{\rm Alt}_r(E,F)$$

Por convención:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{l} \mbox{\rm Alt}_0(E,F)=... ...icaciones lineales de $E$ en $F$.\end{minipage}} \end{array}}$}$$

Teorema 1.1   Si $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ y $\sigma \in {\frak S}_n$ vale la fórmula:

$$\fbox{${\displaystyle f(\vec{x}_{\sigma(1)},\ldots,\vec{x}_{\... ...(r)})=(\mbox{\rm Sgn } \sigma) f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)}$}$$

Demostración
La demostración es esencialmente idéntica a la del teorema 1.15. Por la comodidad del lector la reproducimos in extenso. Procedemos por inducción sobre el entero $m$, número mínimo de trasposiciones de dígitos consecutivos cuyo producto es $\sigma$.

1. Caso $m=1$: En este caso $\sigma$ es una trasposición de dígitos consecutivos, digamos $\sigma = (i,i+1)$ con $i \in \lbrack\!\lbrack 1,r-1 \rbrack\!\rbrack$.

   Fijando arbitrariamente $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{i-1},\vec{x}_{i+2}, \ldots,\vec{x}_r \in E$, definimos la aplicación $\varphi \colon E \times E \to F$ por:
   

   $$\varphi (\vec{u},\vec{v}) =\colon f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{i-1},\vec{u} ,\vec{v},\vec{x}_{i+2},\ldots,\vec{x}_r)$$
   
   
   Entonces $\varphi \in \mbox{\rm Alt}_2(E,F)$. En particular $\forall \vec{u} \in E$ vale:
   

   $$\varphi (\vec{u},\vec{u})=0$$ (1)

   
   
   Debemos probar:
   

   $$\varphi (\vec{v},\vec{u})= - \varphi (\vec{u},\vec{v}) \hspace{5mm} \forall \vec{u},\vec{v} \in E$$ (2)

   
   
   Ahora bien, por la bilinealidad de $\varphi$ y la regla (1):
   
   $$0=\varphi(\vec{u}+\vec{v},\vec{u}+\vec{v})=\varphi(\vec{u},\v... ...\vec{v}) + \varphi(\vec{v},\vec{u}) + \varphi(\vec{v},\vec{v})$$
   
   
   o sea, $0=\varphi(\vec{u},\vec{v}) + \varphi(\vec{v},\vec{u})$, probando (2).
2. Supongamos $m \geq 2$ y el resultado ya probado para $m-1$.

   Sea $\sigma = \tau_1 \cdots \tau_{m-1} \tau_m$, donde $\tau_1, \cdots, \tau_m$ son trasposiciones de dígitos consecutivos y $m$ es el entero mínimo para el cual una tal representación sea posible. Pongamos $\rho =\tau_1\cdots \tau_{m-1}$. $m-1$ es el mínimo entero para el cual tal representación de $\rho$ es posible. Vale: $\sigma = \rho \tau_m$.

   Definimos $\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_r \in E$ por $\vec{y}_{_K} = \colon \vec{x}_{\rho(k)}$ para $k=1,\ldots,r$. Por el inciso a) se verifica:
   

   $$f(\vec{x}_{\sigma(1)},\ldots,\vec{x}_{\sigma(r)}) = f(\vec{x}_{\rho \tau_m (1)},\ldots,\vec{x}_{\rho \tau_m (r)})$$

   $$= f(\vec{y}_{\tau_m (1)},\ldots,\vec{y}_{\tau_m (r)})$$

   $$= (\mbox{\rm Sgn } \tau_m) f(\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_r)$$ (3)

   
   
   Por otra parte, por hipótesis de inducción:
   

   $$f(\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_r)= f(\vec{x}_{\rho (1)},\ldots,\... ...ho (r)})= (\mbox{\rm Sgn } \rho) f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$$ (4)

   
   

   Finalmente por (3) y (4).

   $$\begin{eqnarray*} f(\vec{x}_{\sigma(1)},\ldots,\vec{x}_{\sigma(r)})&=& (\mbox{\r... ..._r)\\ &=&(\mbox{\rm Sgn } \sigma) f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \end{eqnarray*}$$
   
   
   $\quad\Box$

Corolario 1.1   Sea $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$. Sea $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ un $r$-uplo de vectores de $E$ tal que dos (por lo menos) entre los vectores $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ sean iguales. Vale:

$$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=0$$

Teorema 1.2   Si $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ y $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ es un $r$-uplo linealmente dependiente de vectores de $E$, vale:

$$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=0$$

Demostración
Cambiando la numeración si es necesario, podemos suponer que el vector $\vec{x}_r$ es una combinación lineal de los vectores $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{r-1}$, o sea, que se verifica una relación:

$$\vec{x}_r= \sum_{i=1}^{r-1} \lambda_i \vec{x}_i \hspace{5mm} \mbox{con} \hspace{3mm} \lambda_i \in {\mathbb{K}}$$

De ahí:

$$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) = f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{r-1},\sum_{i=1}^{r-1} \lambda_i \vec{x}_i)$$

$$= \sum_{i=1}^{r-1} \lambda_i f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_i\ldots, \vec{x}_{r-1},\vec{x}_i)$$ (5)

En cada término a la derecha de (5) hay dos argumentos iguales. Por el corolario precedente todos estos términos son nulos. Se sigue pues de (5):

$$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=0$$

$\quad\Box$

Corolario 1.2   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $r \in {\mathbb{N}}$ tal que $r>n$. Entonces, para todo espacio vectorial $F$:

$$\mbox{\rm Alt}_r(E,F) =\{ 0 \}$$

Ejemplos de aplicaciones multilineales alternadas

A. Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y $r \in {\mathbb{N}}$. La aplicación $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \mapsto \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r$ es una aplicación r-lineal alternada de $E^r$ en el espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}E$.

B. Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita n, provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. La aplicación:

$$(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n) \mapsto \frac{\vec{x}_1 \wedge \... ...\wedge \vec{x}_n}{\vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n}\;,$$

determinante del $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ con respecto a la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$, es una forma $n$-lineal alternada sobre $E$.

C. Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión $n$ provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ y $r \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$. Para todo $r$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ de vectores en $E$ pongamos:

$$\vec{x}_{_K} = \sum_{i=1}^n x_k^i \vec{e}_i \hspace{9mm} k=1,\ldots,n$$

e introduzcamos la matriz

$${\cal X}=\colon \left( x_k^i \right)_{1 \leq k \leq r}^{1 \leq i \leq n} \qquad\mbox{de tipo $n \times r.$}$$

Fijemos $H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ tal que $\vert H\vert=r$.

Afirmamos que la aplicacion de $E^r$ en ${\mathbb{K}}$:

$$(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)\mapsto X_{\lbrack\!\lbrack 1,r ... ...^H\quad (\mbox{menor de orden $r$\ de la matriz ${\cal X}$}),$$ (6)

es una forma $r$-lineal alternada sobre $E$.

Consideremos, en efecto, el complemento $H^\prime =\colon \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack - H$ y los subespacios $E_H,E_{H^\prime}$ de $E$ de sendas bases $(\vec{e}_i)_{i \in H},(\vec{e}_j)_{j \in H^\prime}$. Se tiene:

$$E=E_H \oplus E_{H^\prime}$$ (7)

Sea $\pi_{H}$ la proyección de $E$ sobre $E_H$ relativa a la descomposición (7), vale decir: $\pi_{H}(\vec{x}_{H}+\vec{x}_{H^\prime})=\colon \vec{x}_{H}$ si $\vec{x}_{H} \in E_H$ y $\vec{x}_{H^\prime} \in E_{H^\prime}.$

Escribamos explícitamente $H=\{ i_1,\ldots,i_r \} \hspace{3mm} i_1<\cdots < i_r$. El menor $X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^H$ no es otro que el determinante del $r$-uplo $(\pi_{H} \vec{x}_1,\ldots,\pi_{H} \vec{x}_r)$ de vectores de $E_H$ con respecto a la base $(\vec{e}_{i_1},\ldots,\vec{e}_{i_r})$ de $E_H$. La aplicación (6) puede escribirse, pues, como:

$$(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \mapsto \frac{\pi_{H} \vec{x}_1... ... \vec{x}_r}{\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r}}$$ (8)

Sea $k$ un índice arbitrario en $\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack$. Al fijar arbitrariamente $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{k-1}$, $\vec{x}_{k+1},\ldots,\vec{x}_r$ consideremos la aplicación:

$$\vec{u} \mapsto \frac{\pi_{H} \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge... ... \vec{x}_r}{\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r}}$$ (9)

La aplicación (9) está compuesta de la aplicación lineal $\pi_{H} \colon E \rightarrow E_H$ y de la aplicación:

$$\vec{y} \mapsto \frac{\pi_{H} \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge ... ...} \vec{x}_r}{\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r}}$$

de $E_H$ en ${{\mathbb{K}}}$, igualmente lineal. La aplicación (8) es pues $r$-lineal.

Patentemente se anula si dos de los $\vec{x}_i$ son iguales.

Por lo tanto (8), o, equivalentemente, (6) es efectivamente una aplicación $r$-lineal alternada. $\quad\Box$

Lema 1.1   Sean $r \in {{\mathbb{N}}}$ y $H,K \subset {{\mathbb{N}}}$ tales que $\vert H\vert=\vert K\vert=r$. Escribimos:

$$\begin{eqnarray*} H &=& \{ i_1,\ldots,i_r \}, \hspace{5mm} i_1< \cdots <i_r \\ K &=& \{ j_1,\ldots,j_r \}, \hspace{5mm} j_1< \cdots <j_r \end{eqnarray*}$$

Vale:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Det }\left( \left( \delta^{i_... ...pha \leq r}^{1 \leq \beta \leq r} \right) = \delta^{^H}_{_K}}$}$$

donde: $\delta^{^H}_{_K} =\colon \left\{ \begin{array}{ll} 1&\mbox{si $H=K$}\\ 0&\mbox{si $H \neq K$} \end{array}\right.$ (DELTA DE KRONECKER GENERALIZADA)

Demostración

1. Supongamos $H=K$. En este caso:
   
   $$\left( \delta^{i_\beta}_{j_\alpha} \right)_{1 \leq \alpha \le... ...r} = {\cal I}_r \hspace{3mm} \mbox{matriz unidad de orden $r$.}$$
   
   
   De ahí por el teorema 1.4.17:
   
   $$\mbox{\rm Det } \left( \left( \delta^{i_\beta}_{j_\alpha} \right)_{1 \leq \alpha \leq r} ^{1 \leq \beta \leq r} \right) =1$$
   
   

2. Supongamos ahora: $H \neq K$.

   En este caso existe un dígito $j_\alpha \in K$ tal que $j_\alpha \not\in H$. Luego la columna número $\alpha$ de la matriz
   

   $$\left( \delta^{i_\beta}_{j_\alpha} \right)_{1 \leq \alpha \leq r}^{1 \leq \beta \leq r}$$
   
   
   consta de ceros, de ahí que:
   
   $$\mbox{\rm Det } \left( \left( \delta^{i_\beta}_{j_\alpha}\right)_{1 \leq \alpha \leq r} ^{1 \leq \beta \leq r} \right)=0$$
   
   
   $\quad\Box$

Teorema 1.3   (Existencia y unicidad de aplicaciones multilineales alternadas) Sean $E, F$ espacios vectoriales. $E$ se supone de dimensión finita $n$, provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. Sea $r \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$. $\forall H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ sea $\vec{u}_{H}$ un elemento de $F$ arbitrariamente elegido.

1. Existe una y sólo una aplicación r-lineal alternada $f\colon E^r \rightarrow F$ tal que $\forall H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ con $\vert H\vert=r$, $H=\{i_1,\ldots,i_r\} \,,\; i_1< \cdots <i_r$ vale:
   
   $$f(\vec{e}_{i_1},\ldots,\vec{e}_{i_r})=\vec{u}_{H}$$
   
   

2. Sea $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ un $r$-uplo arbitrario de vectores de $E$. Ponemos
   
   $$\vec{x}_k=\sum_{i=1}^n x_k^i \vec{e}_i \qquad k=1,\ldots,r$$
   
   
   e introducimos la matriz
   
   $${\cal X}=\colon \left( x_k^i \right)_{1 \leq k \leq r}^{1 \leq i \leq n}$$
   
   
   Se verifica:
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{... ... X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H} \vec{u}_{H}}}$}$$
   
   
   donde $X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H}$ son los menores de orden $r$ de la matriz ${\cal X}$.

Demostración

1. Unicidad de $f$.

   Supongamos que existe una aplicación $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ que cumple las relaciones del inciso a) del enunciado.

   Sea $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ un $r$-uplo arbitrario de vectores de $E$.

   Usando la $r$-linealidad de $f$ obtenemos con las notaciones del inciso b) del enunciado:
   

   $$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) = f\left(\sum_{i_1=1}^n x_1^{i_1} \vec{e}_{i_1},\ldots,\sum_{i_r=1}^n x_1^{i_r} \vec{e}_{i_r}\right)$$

   $$= \sum_{{1\le i_1 \le n \atop \cdots} \atop 1\le i_r \le n} x_1^{i_1} \cdots x_r^{i_r} f(\vec{e}_{i_1},\ldots,\vec{e}_{i_r})$$ (10)

   
   
   Por ser $f$ una aplicación $r$-lineal alternada, los términos a la derecha de (10) con $i_\alpha$, no todos distintos, son nulos. Al omitirlos queda:
   

   $$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) =\sum_{{\vert H\vert=r \atop H... ...\sigma(r)}} f(\vec{e}_{\sigma(1)},\ldots,\vec{e}_{\sigma(r)})$$ (11)

   
   
   o sea, por el teorema 2.1:
   
   $$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \!=\!\sum_{{\vert H\vert=r \at... ...ots x_{r}^{i_{\sigma(r)}} f(\vec{e}_{i_1},\ldots,\vec{e}_{i_r})$$
   
   
   De ahí, teniendo en cuenta las relaciones $f(\vec{e}_{i_1},\ldots,\vec{e}_{i_r}) =\vec{u}_{H}$ obtenemos finalmente:
   

   $$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=\sum_{\vert H\vert=r} X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H} \vec{u}_{H}$$ (12)

   
   
   La relación (12) prueba la unicidad de $f$.
2. Existencia de $f$.

   Definimos una aplicación $f \colon E^r \to F$ por la fórmula (12). En virtud del ejemplo C) citado anteriormente (página ): $\forall H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ tal que $\vert H\vert=r$ la aplicación $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \mapsto X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H} \vec{u}_{H}$ es $r$-lineal alternada. De ahí, sin más: $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$. Queda por comprobar que si $K \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$, $K = \{ j_1,\ldots,j_r \}$ con $j_1< \cdots < j_r$ vale:
   

   $$f(\vec{e_{j_1}},\ldots,\vec{e_{j_r}})=\vec{u}_{_K}$$ (13)

   
   
   Ahora bien, al tomar en (12), $\vec{x}_{\alpha} =\colon \vec{e}_{j_\alpha}=\sum_{i=1}^n \delta_{j_\alpha}^i \vec{e}_i$ o sea:
   
   $${\cal X}= \left( \delta_{j_\alpha}^i \right)_{1 \leq j_\alpha \leq r}^{1 \leq i \leq n}$$
   
   
   tendremos para $H=\{ i_1,\ldots,i_r \} ,\;i_1<\cdots<i_r$:
   
   $$X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H}= \left( \delta... ...{j_\alpha}\right)_{1 \leq \alpha \leq r} ^{1 \leq \beta \leq r}$$
   
   
   o sea, por el lema 2.1, $X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H}=\delta_{_K}^{^H}$. La fórmula (12) suministra, pues, $f(\vec{e_{j_1}},\ldots,\vec{e_{j_r}})= \sum_{\vert H\vert=r} \delta_{_K}^{^H} \vec{u}_{H}=\vec{u}_{_K}$ probando la fórmula (13). $\quad\Box$

Nota
En el caso particular $r=1$ el teorema 2.3 se reduce al siguiente resultado familiar del álgebra lineal:

Si $E, F$ son espacios vectoriales y $E$ es de dimensión finita, provisto de una base $(\vec{e}_1, \cdots, \vec{e}_n )$, existe una aplicación lineal única $L \colon E \to F$, tal que $L\vec{e}_1,\cdots,L\vec{e}_n$ son vectores arbitrariamente prescritos de $F$.

Definición 1.3   Sean $E$ un espacio vectorial y $r \in {\mathbb{N}}$. Una terna $(E,{\cal F}_r, \omega_r)$ donde ${\cal F}_r$ es un espacio vectorial y $\omega_r$ una aplicación $r$-lineal alternada de $E^r$ en ${\cal F}_r$ la llamaremos TERNA UNIVERSAL PARA APLICACIONES -LINEALES ALTERNADAS sobre $E$ si se cumple la siguiente propiedad:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \mbox{\begin{minipage}{28em} Para... ...tilde{f} \circ \omega_r}$}\end{displaymath}\end{minipage}}}$}}$$ (14)

En otras palabras es conmutativo el diagrama:

$$\begin{array}{rcl} E^r & {\smash{ \mathop{\longrightarrow}\... ...center{\hbox{$\scriptstyle\tilde f$}}$} & \\ G& & \end{array}$$

El enunciado (14) se llama la PROPIEDAD UNIVERSAL de la terna considerada.

Informalmente hablando, se puede decir que una terna universal $(E,{\cal F}_r, \omega_r)$ es una máquina que transforma aplicaciones $r$-lineales alternadas $f\colon E^r \to G$ en aplicaciones lineales $\tilde f\colon {\cal F}_r \to G$.

Se puede también decir que permite obtener todas las aplicaciones $r$-lineales alternadas $f$ sobre $E$ a partir de una sola, a saber $\omega_r$, al hacer seguir ésta por una aplicación lineal $\tilde f$ conveniente.

Teorema 1.4 (Unicidad esencial de la terna universal)   Si para un espacio vectorial $E$ y un entero $r \in {{\mathbb{N}}}$ existe una terna universal $(E,{\cal F}_r, \omega_r)$, ésta es ``esencialmente única'' en el sentido siguiente:

Si $(E,{\cal F}^\prime_r,\omega_r^\prime)$ es otra terna universal, existe un único isomorfismo lineal $p$ del espacio vectorial ${\cal F}_r$ sobre el espacio vectorial ${\cal F}^\prime_r$ tal que:

$$p\circ \omega_r =\omega^\prime_r$$

(Informalmente: $p$ preserva los elementos que provienen de $E$).

Demostración
Aplicamos la propiedad universal a la terna $(E,{\cal F}_r, \omega_r)$ al tomar $G={\cal F}^\prime_r$ y $f=\omega_r^\prime$.

$$\begin{array}{rcl} E^r & {\smash{ \mathop{\longrightarrow}\... ...ox{$\scriptstyle p$}}$} & \\ {\cal F}^\prime_r& & \end{array}$$

Por la propiedad universal existe una única aplicación lineal $p\colon {\cal F}_r \to {\cal F}_r^\prime$ tal que:

$$p\circ \omega_r = \omega_r^\prime$$ (15)

Resta probar que la aplicación $p$ es biyectiva. Por simetría existe una aplicación lineal $q\colon {\cal F}_r^\prime \to {\cal F}$ tal que:

$$q\circ \omega_r^\prime = \omega_r$$ (16)

Las relaciones (15) y (16) entrañan:

$$q\circ p\circ \omega_r = \omega_r$$ (17)

Pero de nuevo, por la propiedad universal de la terna $(E,{\cal F}_r, \omega_r)$ con $G= {\cal F}_r$ y $f=\omega_r$, existe una única aplicación lineal $h$ de ${\cal F}_r$ en ${\cal F}_r$ que cumple $h\circ \omega_r =\omega_r$. Patentemente $h={\cal I}_{{\cal F}_r}$. Comparando con (17) obtenemos merced a la unicidad mencionada:

$$q\circ p = {\cal I}_{{\cal F}_r}$$ (18)

Por simetría se cumple también:

$$p\circ q = {\cal I}_{{\cal F}_r^\prime}$$ (19)

Las fórmulas (18) y (19) muestran que $p$ es efectivamente una biyección de ${\cal F}_r$ en ${\cal F}_r^\prime$ (y $q$ es la biyección inversa). $\quad\Box$

Teorema 1.5   Sea $(E,{\cal F}_r, \omega_r)$ una terna universal. Sea $F$ un espacio vectorial. Por definición $\forall f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F) \quad \exists \: ! \; \tilde f \in{\cal L}({\cal F}_r,F)$ tal que $f=\tilde f \circ \omega_r$. La aplicación $f \mapsto \tilde f$ es un isomorfismo lineal (canónico) del espacio vectorial $\mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ de las aplicaciones r-lineales alternadas $E^r \to F$ sobre el espacio vectorial ${\cal L}({\cal F}_r,F)$ de las aplicaciones lineales ${\cal F}_r \to F$.

Demostración

1. Sean $f_1, f_2 \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F) \;\mbox{y}\; \alpha_1, \alpha_2 \in{\mathbb{K}}. \quad \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$ se verifica:
   
   $$\begin{array}{r} (\alpha_1f_1+\alpha_2f_2)(\vec{x}_1,\ldots,\... ... (\omega_r(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)) \end{array} \end{array}$$
   
   
   Por la unicidad de $\tilde f$ se sigue:
   
   $$\widetilde{(\alpha_1f_1+\alpha_2f_2)}=\alpha_1 \tilde{f_1}+\alpha_2 \tilde{f_2}$$
   
   
   Así pues $f \mapsto \tilde f$ es una aplicación lineal de $\mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ en ${\cal L}({\cal F}_r,F)$.
2. Sea $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ tal que $\tilde f =0$. Vale $\forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$:
   
   $$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=\tilde{f}(\omega_r(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r))=0$$
   
   
   O sea, $f =0$. Esto prueba que la aplicación lineal $f \mapsto \tilde f$ es inyectiva.
3. Sea, dado arbitrariamente, $g\in {\cal L}({\cal F}_r,F)$. Definamos una aplicación $f \colon E^r \to F$ por la fórmula:
   
   $$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=\colon g(\omega_r(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)) \quad \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$$
   
   
   Se ve inmediatemente que $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$, de donde, por la unicidad de $\tilde f$, $g=\tilde f$. Así pues, la aplicación lineal $f \mapsto \tilde f$ es superyectiva. $\quad\Box$

En cuanto a la existencia de una terna universal, la probaremos solamente en el caso de ser $E$ un espacio vectorial de dimensión finita.

Teorema 1.6 (Existencia de una terna universal)   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $r \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$. Designemos por el símbolo $\wedge$ la aplicación $r$-lineal alternada $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \mapsto \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r$ de $E^r$ en $\stackrel{r}{\wedge}E$. La terna $(E,\stackrel{r}{\wedge} E,\wedge)$ es una terna universal para las aplicaciones $r$-lineales alternadas sobre $E$.

Demostración
Debemos probar la propiedad universal (14) para la terna $(E,\stackrel{r}{\wedge} E,\wedge)$. Sean $F$ un espacio vectorial arbitrario y $f \in \mbox{\rm Alt}_r(E,F)$. Se trata de mostrar que existe una única $\tilde f \in {\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$ tal que:

$$\tilde f(\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r)=f(\vec{x}... ...ots, \vec{x}_r) \quad \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r \in E$$ (20)

1. Unicidad de $\tilde f$. Supongamos que existe $\tilde f$ que cumple con (20). Sean $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de $E$ y $({\overline e}_{H})_{\vert H\vert=r}$ la base asociada de $\stackrel{r}{\wedge}E$. Si $H= \{ i_1,\ldots,i_r \}$ con $i_1 < \cdots < i_r$ ponemos $\vec{u}_{H} =\colon f(\vec{e_{i_1}},\ldots,\vec{e_{i_r}}).$ Como caso particular de (20) tenemos:
   

   $$\tilde f({\overline e}_{H})=\vec{u}_{H} \quad \forall H \sub... ...rack 1,n \rbrack\!\rbrack \quad \mbox{tal que } \vert H\vert=r$$ (21)

   
   
   Ya que una aplicación lineal $\stackrel{r}{\wedge} E \to F$ está completamente determinada por sus valores sobre una base de $\stackrel{r}{\wedge}E$, la fórmula (13) prueba la unicidad de $\tilde f$.
2. Existencia de $\tilde f$. Definamos $\tilde f$ como la única aplicación lineal $\stackrel{r}{\wedge} E \to F$ que cumple con (21). Vamos a comprobar la fórmula (20).

   Sean $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r$ vectores arbitrarios en $E$. Escribimos:
   

   $$\vec{x}_k=\sum_{i=1}^n x_k^i \vec{e}_i \quad k=1,\ldots,r$$
   
   
   e introducimos la matriz ${\cal X} =\colon \left( x_k^i \right)_{1 \leq k \leq r}^{1 \leq i \leq n}$ de tipo $n\times r$.

   Por el teorema 1.4.18, tenemos:
   

   $$\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r=\sum_{\vert H\vert=... ...\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H} {\overline e}_{H}$$ (22)

   
   
   donde $X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H}$ son los menores de orden $r$ de la matriz ${\cal X}$. De (13) y (22) se sigue:
   

   $$\tilde{f}(\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r)= \sum_{\... ...=r} X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H} \vec{u}_{H}$$ (23)

   
   
   Pero por el teorema 2.1.3 vale también:
   

   $$f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)=\sum_{\vert H\vert=r} X_{\lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack }^{H} \vec{u}_{H}$$ (24)

   
   
   Las relaciones (23) y (24) prueban la fórmula (20) y, en consecuencia, también el teorema. $\quad\Box$

Nota
De aquí en adelante (al trabajar con espacios vectoriales de dimensión finita) nos referiremos a la propiedad universal (14) simplemente como PROPIEDAD UNIVERSAL DE LA -ÉSIMA POTENCIA EXTERIOR DE UN ESPACIO VECTORIAL. En el caso de ser $E$ de dimensión finita, podemos enunciar el teorema 2.5 en la forma siguiente:

Teorema 1.7   Sean $E, F$ espacios vectoriales, con $E$ de dimensión fini-tanita. $\forall f \in\mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ sea $\tilde f$ la única aplicación lineal $\stackrel{r}{\wedge} E \to F$ tal que:

$$\tilde f(\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r)=f(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r) \quad \forall \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r$$

La aplicación $f \mapsto \tilde f$ es un isomorfismo lineal (canónico) del espacio vectorial $\mbox{\rm Alt}_r(E,F)$ sobre el espacio vectorial ${\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)$. Permite identificar estos espacios vectoriales, lo que indicamos simbólicamente por:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Alt}_r(E,F) \approx {\cal L}(\stackrel{r}{\wedge} E,F)}$}$$

Nota
Mediante la propiedad universal de la terna $(E,\stackrel{r}{\wedge} E,\wedge)$ se puede desarrollar la teoría de la $r$-ésima potencia exterior de $E$ sin una teoría previa del álgebra exterior. Evidentemente si uno adopta este enfoque, queda a su cargo una construcción explícita de $\stackrel{r}{\wedge}E$.

Como consecuencia del teorema 2.1.7, obtenemos sin más:

Teorema 1.8   Si $E, F$ son espacios vectoriales de sendas dimensiones finitas $n$ y $m$, se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim Alt}_r(E,F)= {n\choose r} m}$}$$

Como caso particular obtenemos la dimensión del espacio vectorial de las formas $r$-lineales alternadas sobre un espacio vectorial $E$ de dimensión $n$:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim Alt}_r(E,{{\mathbb K}})= {n\choose r} }$}$$

Más particularmente:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim Alt}_n(E,{{\mathbb K}})=1}$}$$

Comentemos un poco esta última fórmula.

Fijemos una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$. La aplicación:

$$(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n) \mapsto {\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_n \over \vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n}$$

(el determinante del $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ de vectores de $E$ con respecto a la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$) es un elemento no nulo del espacio vectorial $\mbox{\rm Alt}_n (E,{{\mathbb{K}}})$. Se sigue que toda forma $n$-lineal alternada sobre $E$ puede representarse únicamente como una aplicación:

$$(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n) \mapsto \alpha{\vec{x}_1 \wedge ... ...s \wedge \vec{e}_n} \quad \mbox{con}\; \alpha \in{{\mathbb{K}}}$$

Ésta es la única forma n-lineal alternada sobre $E$ que toma el valor $\alpha$ sobre la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. En particular:

La aplicación ``determinante de un $n$-uplo de vectores de $E$ con respecto a una base de $E$'' es la única forma $n$-lineal alternada sobre $E$ que toma el valor uno sobre dicha base.

En un curso elemental de álgebra lineal, en el cual no se desea exponer álgebra exterior, esta propiedad puede servir de punto de partida para una teoría bastante elegante de determinantes. El lector interesado en este asunto didáctico, encontrará una bonita exposición, por ejemplo, en el libro de J. DIXMIER, Matemáticas generales [14].

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