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Matriz de $A^*$

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. Sea la correspondiente base dual de $E^*$. Sea $A$ una aplicación lineal de $E$ en $E^*$. Escribimos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle A\vec{e}_k = \sum_... ...cha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \qquad k=1,\ldots,n }}$}}$$ (2)

La matriz $(a_{ik})_{1\le i,k \le n}$ de tipo $n\times n$ es la matriz de la aplicación lineal $A$ con respecto a las bases consideradas. El primer índice $i$ puede interpretarse como ``índice de fila''. Los dos índices los escribimos abajo para quedar en armonía con nuestra costumbre de escribir el índice (mudo) de sumación una vez abajo y una vez arriba. Pongamos:

$$A^* \vec{e}_k = \sum_{i=1}^n b_{ik} \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (3)

con coeficientes $b_{ik}$ por determinar. Por la fórmula (3) y la fórmula (1) antes de las definiciones 3.1.1 tenemos:

$$b_{ik} = \bigl\langle \vec{e}_i, A^* \vec{e}_k\bigr\rangle = \bigl\langle \vec{e}_k, A \vec{e}_i\bigr\rangle$$ (4)

Pero por la fórmula (2) de esta demostración:

$$\bigl\langle \vec{e}_k, A \vec{e}_i \bigr\rangle = a_{ki}$$ (5)

Comparando (4) y (5) obtenemos:

$$b_{ik} = a_{ki}$$

o sea, (3) reza en definitiva:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle A^* \vec{e}_k = \sum_{i=... ...flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \qquad k=1,\ldots,n}}$}$$

Así pues:

La matriz de $A^*$ con respecto a las bases $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ y de $E^*$ es la traspuesta de la matriz de $A$ con respecto a las mismas bases.

Por cierto, este resultado es también una consecuencia inmediata de los teoremas 2.2.7 y 2.2.11.

Como consecuencia de nuestro resultado obtenemos sin más:

A es una aplicación lineal simétrica de $E$ en $E^*$ si y sólo si

$$\fbox{${\displaystyle a_{ki}= a_{ik} \qquad \forall i,\;k \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack }$}$$

en otras palabras, si y sólo si la matriz $[A] = (a_{ik})_{1 \le i,k \le n}$ de $A$ con respecto a las bases consideradas es una matriz simétrica, es decir, igual a su traspuesta:

$$\fbox{${\displaystyle \lbrack A \rbrack^* = \lbrack A \rbrack }$}$$

Designaremos por $\mbox{\rm Sim}(E,E^*)$ el conjunto de todas las aplicaciones lineales simétricas de E en $E^*$. $\mbox{\rm Sim}(E,E^*)$ es patentemente un espacio vectorial sobre ${\mathbb{K}}$.

Teorema 1.2   Si $\mbox{\rm dim }E=n$, se cumple:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }\; \mbox{\rm Sim }(E,E^*) ={ n(n+1) \over 2}}$}$$

Demostración
En virtud de nuestro último resultado, basta probar que el espacio vectorial $\mbox{\rm Sim}_n({{\mathbb{K}}})$ de las matrices simétricas de tipo $n\times n$ es de dimensión $n(n+1) \over 2$.

Ahora bien, una matriz simétrica $(a_{ik})_{1\le i,k \le n}$ de tipo $n\times n$ está completamente determinada por sus elementos en la diagonal principal y encima de ésta, o sea, por el sistema ${\displaystyle (a_{ik})_{i,k \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack \atop i\le k }}$ que consideramos (mediante una ordenación conveniente) como elemento de ${{\mathbb{K}}}^{n(n+1) \over 2}$.

El sistema puede prescribirse arbitrariamente. La aplicación que a tal sistema le asigna la correspondiente matriz simétrica de tipo $n\times n$ se puede considerar como un isomorfismo lineal del espacio vectorial ${{\mathbb{K}}}^{n(n+1) \over 2}$ sobre el espacio vectorial $\mbox{\rm Sim}_n({{\mathbb{K}}})$. De ahí la conclusión. $\quad\Box$

Nota
El teorema 3.1.2 puede considerarse como ``teorema de existencia de aplicaciones lineales simétricas'' pues, en el caso $n\ge 1$, garantiza la existencia de aplicaciones lineales simétricas no triviales.

Definición 1.2   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$.

Una aplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$ de $E \times E$ en ${\mathbb{K}}$ se llama PRODUCTO ESCALAR SOBRE $E$ si:

i)

es bilineal,

ii)

es ``SIMÉTRICA'', es decir, se cumple:

$$\fbox{${\displaystyle (\vec{y}\vert\vec{x}) = (\vec{x}\vert\vec{y}) \quad \forall \vec{x},\; \vec{y} \in E}$}$$

iii)

es ``NO DEGENERADA'', vale decir que rige la implicación:

$$\fbox{${\displaystyle (\vec{x}\vert\vec{y}) =0 \quad \forall \vec{x} \in E \Rightarrow \; \vec{y} =0}$}$$

Un espacio vectorial $E$ de dimensión finita, junto con un producto escalar sobre $E$ se llama un ESPACIO DE PRODUCTO ESCALAR.

Por un abuso del lenguaje practicado en casos semejantes se hablará simplemente del ``espacio $E$ de producto escalar''.

Nota
Preferimos la terminología ``producto escalar'' a la también muy difundida de ``producto interior'' o ``producto interno''. De hecho, la palabra ``escalar'' se refiere a que nuestra aplicación ``producto'' toma sus valores en el cuerpo ${\mathbb{K}}$, mientras los adjetivos ``interior'' o ``interno'', de origen histórico, no parecen sugerir gran cosa.

Las notaciones para dicho producto tampoco están unificadas en la literatura. Adoptamos aquella de la escuela BOURBAKI (o de J. DIEUDONNÉ), una costumbre que seguiremos en general en este libro, si acaso no siempre.

Definición 1.3   Sean $E$ y $F$ espacios de producto escalar y $L$ una aplicación lineal de $E$ en $F$.

$L$ se dice una ISOMETR´iA de $E$ en $F$ si ``preserva los productos escalares'', es decir, vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (L\vec{x}\vert L \vec{y}) = (\vec{x}\vert\vec{y}) \quad \forall \vec{x},\;\vec{y} \in E}$}}$$ (6)

Observación
Si $L \colon E \to F$ es una isometría de $E$ en $F$, es una aplicación lineal inyectiva. Luego si $L$ es superyectiva, será un isomorfismo lineal de $E$ sobre $F$. En este caso, $L^{-1}$ es una isometría de $F$ sobre $E$.

Demostración
Supongamos que $L \colon E \to F$ es una isometría lineal de $E$ en $F$. Sea $\vec y \in E$ tal que $L\vec y = 0$.

De la relación $(L \vec{x}\vert L\vec{y}) = (\vec{x}\vert\vec{y})$, se sigue $(\vec{x}\vert\vec{y})=0 \quad \forall \vec{x} \in E$. Por el axioma iii) (lo ``no degenerado'' de un producto escalar), se desprende de ahí $\vec y =0$. Así pues, $L$ es una aplicación lineal inyectiva. $\quad\Box$

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