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Espacios de producto escalar

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y sea $A$ una aplicación lineal de $E$ en su espacio dual $E^*$. La aplicación $A^*$, dual de la aplicación lineal $A$ es una aplicación lineal del bidual $E^{**}$ en $E^*$. Al identificar dicho bidual según el convenio después del teorema 2.2.10 con $E$, tendremos simplemente:

$$\fbox{${\displaystyle A \quad \mbox{y} \quad A^* \in {\cal L} (E,E^*)}$}$$

Precisemos la definición de $A^*$ en presencia de nuestra identificación. Al designar provisionalmente por $L_{\vec x}$ el elemento del bidual $E^{**}$ que se identifica con el vector $\vec x \in E$, tenemos por definición de la aplicación dual $\bigl\langle \vec{y},A^*(L_{\vec x})\bigr\rangle = \bigl\langle A\vec{y},L_{\vec x}\bigr\rangle \quad \forall \vec{x},\vec{y} \in E$ o sea, con la identificación $E^{**} =E$:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{y}, A^* \vec{x}... ...\vec{y}\bigr\rangle \qquad \forall \vec{y},\;\vec{x} \in E}$}}$$ (1)

Note que al pasar del primero al segundo miembro de (1), se intercambian los vectores $\vec{x},\vec y$ y se cambia $A^*$ por $A$.

Definición 1.1   Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y $A$ una aplicación lineal de $E$ en $E^{*}$.

1. $A$ se dice APLICACIÓN LINEAL SIMÉTRICA de $E$ en $E^*$ si
   
   $$\fbox{${\displaystyle A^* = A}$}$$
   
   

2. $A$ se dice APLICACIÓN LINEAL ANTISIMÉTRICA de $E$ en $E^*$ si
   
   $$\fbox{${\displaystyle A^* = -A}$}$$
   
   

A continuación no se tratará de aplicaciones lineales antisimétricas.

Teorema 1.1   Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y $A$ una aplicación lineal de $E$ en su dual $E^*$. $A$ es una aplicación lineal simétrica de $E$ en $E^*$ si y sólo si:

$$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{x},A\vec{y}\bigr\rang... ...,A\vec{x}\bigr\rangle \qquad \forall \vec{x},\;\vec{y} \in E}$}$$

Esto es una consecuencia inmediata de la definición y de la fórmula (1) de arriba.

Corolario 1.1   Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de $E$. Una aplicación lineal $A \colon E \to E^*$ es una aplicación lineal simétrica si y sólo si:

$$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{e}_i ,A\vec{e}_j\bigr... ...ad \forall i,\; j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack }$}$$

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