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El isomorfismo $G$

Sea E un espacio de producto escalar. Para un vector fijo $\vec y \in E$ consideremos la aplicación $\vec{x}\mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$ de $E$ en ${\mathbb{K}}$. Por el axioma i) de espacio de producto escalar, esta aplicación es lineal, o sea, es una forma lineal sobre $E$, elemento de $E^*$. La llamaremos $G\vec{y}$. Así pues:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{x},G\vec{y}\big... ...vec{x}\vert\vec{y}) \quad \forall \vec{x},\;\vec{y} \in E }$}}$$ (7)

Teorema 1.3   G es un isomorfismo lineal simétrico de E sobre $E^*$.

Demostración

1. Sean $\vec{y}_1,\;\vec{y}_2,\;\vec{x} \in E;\; \beta_1,\;\beta_2 \in {{\mathbb{K}}}$. Por la fórmula (7) y el axioma i) de producto escalar tenemos:
   $$\begin{eqnarray*} \bigl\langle \vec{x}, G( \beta_1 \vec{y}_1+ \beta_2 \vec{y}_2... ...le \vec{x},\beta_1 G\vec{y}_1+ \beta_2 G \vec{y}_2\bigr\rangle \end{eqnarray*}$$
   
   
   Así pues:
   
   $$G( \beta_1 \vec{y}_1 + \beta_2 \vec{y}_2) = \beta_1 G \vec{y}_1 + \beta_2 G \vec{y}_2$$
   
   
   Es decir, $G$ es una aplicación lineal de $E$ en $E^*$.
2. Por el axioma ii) de producto escalar se verifica $\forall \vec{x},\;\vec{y} \in E$:
   
   $$\bigl\langle \vec{x},G\vec{y}\bigr\rangle = ( \vec{x}\vert\ve... ...vec{y}\vert\vec{x})= \bigl\langle \vec{y},G\vec{x}\bigr\rangle$$
   
   
   De ahí, por el teorema 3.1.1, $G$ es una aplicación lineal simétrica de $E$ en $E^*$, o sea $G^* = G$.
3. Sea $\vec{y} \in E$ tal que $G \vec{y}= 0$. En virtud de la relación (7), esta hipótesis significa:
   
   $$(\vec{x}\vert\vec{y}) = 0 \quad \forall \vec{x} \in E$$
   
   
   Por lo ``no degenerado'' (axioma iii)) de producto escalar, esto entraña $\vec y =0$.

   Así queda probado que $G$ es una aplicación lineal inyectiva de $E$ en $E^*$. Pero siendo $\mbox{\rm dim }E^* = \mbox{\rm dim } E$, se sigue de ahí sin más que $G$ es un isomorfismo lineal de $E$ sobre $E^*$. $\quad\Box$

He aquí el teorema recíproco:

Teorema 1.4   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Sea dado un isomorfismo lineal simétrico $G$ de $E$ sobre $E^*$. $\forall \vec{x},\;\vec{y} \in E$ definamos:

$$(\vec{x}\vert\vec{y})=\colon \bigl\langle \vec{x},G\vec{y}\bigr\rangle$$

La aplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$ de $E \times E$ en ${\mathbb{K}}$ resulta ser un producto escalar sobre $E$ (desde luego $G$ es el isomorfismo simétrico asociado a dicho producto escalar según el teorema 3.1.3).

Demostración

1. Por ser $G\vec{y}$ una forma lineal sobre $E$ tenemos para cualesquiera dos vectores $\vec{x}_1,\; \vec{x}_2 \in E$, y cualesquiera dos escalares $\alpha_1, \; \alpha_2 \in {{\mathbb{K}}}$:
   

   $$(\alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2\vert \vec{y}) = \bigl\langle \alpha_1 \vec{x}_1+ \alpha_2 \vec{x}_2, G \vec{y}\bigr\rangle$$

   $$= \alpha_1\bigl\langle \vec{x}_1, G \vec{y}\bigr\rangle + \alpha_2 \bigl\langle \vec{x}_2, G \vec{y}\bigr\rangle$$

   $$= \alpha_1 ( \vec{x}_1\vert \vec{y}) + \alpha_2 ( \vec{x}_2\vert\vec{y})$$ (8)

   
   
   Por ser $G$ una aplicación lineal $E \to E^*$ tenemos $\forall \vec{x},\; \vec{y}_1,\; \vec{y}_2 \in E$, $\forall \beta_1,\;\beta_2 \in {{\mathbb{K}}}$:
   

   $$(\vec{x}\vert\beta_1 \vec{y}_1 + \beta_2 \vec{y}_2) = \bigl\langle \vec{x}, G ( \beta_1 \vec{y}_1 + \beta_2 \vec{y}_2)\bigr\rangle$$

   $$= \bigl\langle \vec{x},\beta_1 G \vec{y}_1 + \beta_2 G \vec{y}_2\bigr\rangle$$

   $$= \beta_1 \bigl\langle \vec{x}, G \vec{y}_1\bigr\rangle + \beta_2 \bigl\langle \vec{x}, G \vec{y}_2\bigr\rangle$$

   $$= \beta_1 ( \vec{x}\vert \vec{y}_1) + \beta_2 (\vec{x}\vert \vec{y}_2)$$ (9)

   
   
   De (8) y (9) se ve que la aplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$ de $E \times E$ en ${\mathbb{K}}$ es bilineal.
2. Siendo $G$ una aplicación lineal simétrica $E \to E^*$, se sigue del teorema 3.1.1 que:
   
   $$\bigl\langle \vec{x}, G \vec{y}\bigr\rangle = \bigl\langle \v... ...G \vec{x}\bigr\rangle \quad \forall \vec{x}, \; \vec{y} \in E ,$$
   
   
   vale decir:
   
   $$( \vec{x}\vert \vec{y}) = ( \vec{y}\vert \vec{x}) \quad \forall \vec{x},\; \vec{y} \in E$$
   
   
   Nuestro producto es, pues, simétrico.
3. Sea $\vec{y} \in E$ tal que $(\vec{x}\vert \vec{y})= 0 \: \forall \vec{x} \in E$. Esta hipótesis significa:
   

   $$\bigl\langle \vec{x}, G \vec{y} \bigr\rangle =0 \quad \forall \vec{x} \in E$$ (10)

   
   
   o sea $G \vec{y}= 0$. Pero, por ser $G$ un isomorfismo lineal, esto implica a su vez $\vec y =0$. Nuestro producto es, pues, ``no degenerado''. $\quad\Box$

Corolario 1.2 (de los teoremas 3.1.3 y 3.1.4)   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. La aplicación que a todo isomorfismo simétrico $G$ de $E$ sobre $E^*$ le asigna el producto escalar sobre $E$:

$$(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y}) = \colon \bigl\langle \vec{x}, G\vec{y}\bigr\rangle$$

es una biyección del conjunto de todos los isomorfismos simétricos de $E$ sobre $E^*$ sobre el conjunto de todos los productos escalares sobre $E$.

En lenguaje menos formal: dar un isomorfismo simétrico $G$ de $E$ sobre $E^*$ es lo mismo que dar un producto escalar $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$. Las dos cosas se relacionan por la fórmula:

$$(\vec{x}\vert\vec{y}) = \bigl\langle \vec{x}, G \vec{y}\bigr\rangle \quad \forall \vec{x},\; \vec{y} \in E$$

Nota
Si $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita, vale $\mbox{\rm dim }E^* = \mbox{\rm dim } E$, luego $E$ y $E^*$ son espacios vectoriales isomorfos. Pero, sin más estructura sobre $E$, no podemos dar un isomorfismo ``canónico'' (o ``natural'') de $E$ sobre $E^*$, es decir, uno independiente de elecciones arbitrarias, aquí de la elección de una base. La situación es distinta si $E$ es un espacio de producto escalar, pues en este caso disponemos del isomorfismo canónico $G$ y éste determina la estructura de $E$ como espacio de producto escalar. Estamos en presencia, por decirlo así, de un isomorfismo canónico de $E$ sobre $E^*$ ``impuesto por fuerza bruta''.

Este trozo de charla arroja, quizá, algo de luz sobre el elusivo concepto de ``canónico''. Algo es ``canónico'' siempre relativamente a una estructura considerada. Cuando ésta se enriquezca, aparecen nuevos elementos ``canónicos''.

Teorema 1.5 (y definición)   Sean $E$ un espacio de producto escalar y $G$ el correspondiente isomorfismo simétrico de $E$ sobre $E^*$. El isomorfismo inverso $G^{-1}$ es un isomorfismo simétrico de $E^*$ sobre su dual $E^{**} =E$. Define sobre $E^*$ una estructura de espacio de producto escalar (la única que consideraremos sobre $E^*$) dicha ESTRUCTURA DE PRODUCTO ESCALAR SOBRE INDUCIDA POR LA DE . $G$ es una isometría de E sobre $E^*$ y $G^{-1}$ es la isometría inversa de $E^*$ sobre E.

Demostración
Usando el teorema 2.2.5 y la relación $G^* = G$ obtenemos:

$$( G^{-1})^* = (G^*)^{-1} = G^{-1} \;,$$

de donde se ve que $G^{-1}$ es una aplicación lineal simétrica de $E^*$ sobre su dual $E$. Según el teorema 3.1.4, este isomorfismo simétrico define un producto escalar sobre $E^*$. Si designamos, como ya lo hicimos anteriormente, por $L_{\vec u}$ el elemento de $E^{**}$ que se identifica con el vector $\vec{u} \in E$, dicho producto escalar sobre $E^*$ se expresa por:

$$(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

o sea:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (11)

Pongamos , o sea, . Por definición de $G$, el segundo miembro de (11) vale:

$$\bigl\langle G^{-1} \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Tenemos pues:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (12)

Introduciendo los vectores de $E$ transformamos (12) en la fórmula equivalente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec{x}\vert\vec{y}) = (G\vec{x}\vert G \vec{y}) \quad \forall \vec{x},\;\vec{y} \in E}$}}$$ (13)

Las relaciones (12) y (13) dicen que $G$ es una isometría del espacio de producto escalar $E$ sobre el espacio de producto escalar $E^*$ y $G^{-1}$ es la isometría inversa de $E^*$ sobre $E$. $\quad\Box$

Podemos también decir que el producto escalar sobre $E^*$ se obtiene transportando sobre $E^*$ mediante el isomorfismo $G$ el producto escalar sobre $E$.

Definición 1.4 (Ortogonalidad)   Sean $E$ un espacio de producto escalar y $\vec{u},\;\vec{v}$ vectores de $E$. Se dice que el vector $\vec u$ es ORTOGONAL al vector $\vec v$, y se escribe $\vec{u} \bot \vec{v}$, si $(\vec{u}\vert\vec{v}) =0$.

Los tres axiomas del producto escalar entrañan las siguientes propiedades de ortogonalidad:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rrcl} \mbox{\rm {\em i})}... ...\; \forall \vec{x} \in E &\Rightarrow& \vec{u}=0 \end{array}}$}$$

Valiéndonos de la propiedad ii) diremos simplemente que ``los vectores $\vec{u}$ y $\vec v$ son ortogonales'', en vez de decir que ``$\vec{u}$ es ortogonal a $\vec v$''.

Si $S$ es una parte de $E$ y $\vec u \in E$, escribimos abreviadamente: $\vec{u} \bot S$ en vez de $\vec{u} \bot \vec{s} \quad \forall \vec{s} \in S$.

Definición 1.5   Sean $E$ un espacio de producto escalar y $S$ un subconjunto arbitrario de $E$. Se define:

$$\fbox{${\displaystyle S^\bot =\colon \{ \vec{x} \in E \vert \... ... \vec{s} \in S \} = \{ \vec{x} \in E \vert \vec{x} \bot S \}}$}$$

En virtud de la propiedad i) de la ortogonalidad, $S^\bot$ es un subespacio de $E$. Lo llamaremos el SUBESPACIO ORTOGONAL al conjunto $S$. El símbolo $S^\bot$ puede leerse ``$S$-ORTO''.

Notamos que las propiedades i) y iii) de la ortogonalidad implican respectivamente:

$$\fbox{${\displaystyle \{ 0 \}^\bot = E \quad \mbox{y} \quad E^\bot = \{0\}}$}$$

Teorema 1.6   Vale:

$$\fbox{${\displaystyle S^\bot = G^{-1}( S^\circ)}$}$$

para todo subconjunto $S$ de $E$. (Aquí $S^\circ$ es el anulador de S, ver def. 2.2.5).

Demostración
Rige la cadena de equivalencias:

$$\begin{eqnarray*} \vec{x} \in S^\bot &\Leftrightarrow& (\vec{s}\vert\vec{x})=0 \... ... \in S^\circ \\ &\Leftrightarrow& \vec{x} \in G^{-1} (S^\circ) \end{eqnarray*}$$

$\quad\Box$

Teorema 1.7   Si $S,T$ son subconjuntos de $E$, vale la implicación:

$$\fbox{${\displaystyle S\subset T \Rightarrow T^\bot \subset S^\bot}$}$$

Esto se ve inmediatamente por definición. También por los teoremas 2.2.8 y 3.1.6:

$$S\subset T \Rightarrow T^\circ \subset S^\circ \Rightarrow G^... ...1} (S^\circ) \quad \mbox{es decir} \quad T^\bot \subset S^\bot.$$

Teorema 1.8   Para un subconjunto arbitrario $S$ de $E$ se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle S^\bot = {\cal L}(S)^\bot}$}$$

donde ${\cal L} (S)$ es el subespacio de $E$ engendrado por el conjunto $S$.

Demostración
Por el teorema 2.2.8 tenemos:

$$S^\circ = {\cal L}(S)^\circ$$ (14)

de donde el resultado deseado al transformar ambos miembros de (14) por $G^{-1}$. $\quad\Box$

Nota
El teorema 3.1.8 permite, al estudiar subespacios ortogonales a subconjuntos de $E$, limitarse al caso de ser dichos subconjuntos subespacios de $E$.

Teorema 1.9   Si $V$ es un subespacio de $E$, se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }V^\bot + \mbox{\rm dim }V = \mbox{\rm dim } E}$}$$

Demostración
Por el teorema 2.2.9 vale:

$$\mbox{\rm dim } V^\circ = \mbox{\rm dim } E - \mbox{\rm dim }V$$ (15)

La aplicación $G^{-1}$, siendo un isomorfismo de $E^*$ sobre $E$, preserva las dimensiones de los subespacios. Luego por (15),

$$\mbox{\rm dim }V^\bot = \mbox{\rm dim } G^{-1} (V^\circ) = \mbox{\rm dim } V^\circ = \mbox{\rm dim } E - \mbox{\rm dim } V$$

$\quad\Box$

Teorema 1.10   Para todo subespacio $V$ de $E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle V^{\bot \, \bot} =V}$}$$

Demostración
La definición implica inmediatamente:

$$V \subset V^{\bot \,\bot}$$ (16)

También aplicando dos veces el teorema 3.1.9, obtenemos:

$$\mbox{\rm dim } V^{\bot \, \bot} = \mbox{\rm dim } E - \mbox{\rm dim } V^\bot = \mbox{\rm dim } V$$

y esta relación, junto con (16), implica:

$$V^{\bot \, \bot} =V$$

$\quad\Box$

Corolario 1.3 (de los teoremas 3.1.8 y 3.1.10)   Si $S$ es un subconjunto arbitrario de $E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle S^{\bot \, \bot} = {\cal L}(S)}$}$$

Como consecuencia inmediata del teorema 3.1.10, obtenemos:

Teorema 1.11   La aplicación $V \mapsto V^\bot$ es una biyección involutiva del conjunto de todos los subespacios de $E$ sobre sí.

Advertencia
Si $V$ es un subespacio de $E$, no se tiene en general:

$$E = V \oplus V^\bot$$

pues no hay garantía de que se cumpla

$$V \cap V^\bot = \{ 0 \}$$

Todo vector $\vec{x}$ de $V \cap V^\bot$ cumple evidentemente:

$$\vec{x} \bot \vec{x} \quad \mbox{\'o} \quad (\vec{x}\vert\vec{x}) =0$$ (17)

Un vector no nulo de $E$ que cumple con (17) se llama un VECTOR ISÓTROPO de $E$.

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