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Espacios vectoriales euclidianos

Definición 1.6   Sea $E$ un espacio vectorial real (es decir, sobre el cuerpo ${\mathbb{R}}$ de los número reales) de dimensión finita. Sea $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$ una aplicación $E\times E \to {\mathbb{R}}$ que goza de las siguientes propiedades:

El espacio vectorial real $E$ junto con tal aplicación se llama ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO. Por abuso de lenguaje se habla del ``espacio vectorial euclidiano $E$''.

Notamos que la aplicación $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$ que satisface i), ii), iii)', iv)' es un producto escalar sobre $E$.

En efecto, sea $\vec{y} \in E$ tal que: $(\vec{x}\vert\vec{y}) =0 \;\; \forall \vec{x} \in E$. En particular vale $(\vec{y}\vert\vec{y})=0$ de donde, por el axioma iv)' $\vec{y}=0$. Se cumple pues el axioma iii) de producto escalar (o sea nuestro producto es no degenerado).

Así pues, un espacio vectorial euclidiano es un caso particular de un espacio de producto escalar.

El axioma iv)' dice que un espacio vectorial euclidiano no posee ningún vector isótropo.

Observación
Sean $E$ un espacio vectorial euclidiano y $V$ un subespacio arbitrario de $E$. La restricción del producto escalar $(\vec{x},\vec{y}) \mapsto (\vec{x}\vert\vec{y})$ a $V\times V$ satisface los axiomas i), ii), iii)', iv)' luego hace de $V$ un espacio vectorial euclidiano.

Es la única estructura de espacio vectorial euclidiano sobre $V$ que consideraremos. Diremos simplemente que un subespacio $V$ de un espacio vectorial euclidiano $E$ es también un espacio vectorial euclidiano.

Advertencia
Una propiedad análoga a la precedente no rige en espacios de producto escalar generales. Si $V$ es un espacio de un espacio $E$ de producto escalar, la restricción del producto escalar a $V\times V$ no satisface en general el axioma iii) de producto escalar. He aquí un contraejemplo:

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión 2 sobre un cuerpo ${\mathbb{K}}$, provisto de una base $(\vec{e}_1,\vec{e}_2)$. Si $\vec{x} = x_1 \vec{e}_1+x_2 \vec{e}_2$ e $\vec{y}=y_1\vec{e}_1+y_2 \vec{e}_2$ definimos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec{x}\vert\vec{y})=\colon x_1y_2+x_2y_2+x_2y_1}$}}$$ (31)

Este producto satisface patentemente los axiomas i) y ii) de producto escalar. Afirmamos que también satisface el axioma iii). En efecto, sea $\vec{y}=y_1\vec{e}_1+y_2 \vec{e}_2$ tal que $(\vec{x}\vert\vec{y})=0 \;\forall \vec{x} \in E$. Al tomar $\vec{x}=\vec{e}_1$ (o sea $x_1=1,\,x_2=0$) obtenemos $y_2=0$ y, luego, tomando $\vec{x}=\vec{e}_2$ (o sea $x_1=0,\,x_2=1$) obtenemos $y_1=0$, quedando así probado que $\vec{y}=0$. La fórmula (31) define, pues, efectivamente un producto escalar sobre $E$. Sea $V =\colon {\cal L}(\vec{e}_1)$. El vector isótropo $\vec{e}_1$ pertenece a $V$ y vale: $(\vec{x}\vert\vec{e}_1)=0 \; \forall \vec{x} \in V$. Así pues, como dijimos, la restricción de nuestro producto escalar a $V\times V$ no satisface el axioma iii) de productos escalares.

Teorema 1.12   Sea $E$ un espacio vectorial euclidiano. Para todo subespacio $V$ de $E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle E= V \oplus V^\bot }$}$$

Demostración
Por el teorema 3.1.9 se verifica:

$$\mbox{\rm dim }V + \mbox{\rm dim }V^\bot = \mbox{\rm dim }E$$ (32)

También tenemos:

$$V \cap V^\bot = \{ 0 \}$$ (33)

pues no hay vectores isótropos en $E$. Las relaciones (32) y (33) entrañan la conclusión. $\quad\Box$

Definición 1.7   Sea $E$ un espacio de producto escalar (sobre un cuerpo conmutativo arbitrario ${\mathbb{K}}$).

1. Una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ se dice BASE ORTOGONAL si:
   

   $$i,\,j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack , \, i\ne j \; \Rightarrow \vec{e}_i \bot \vec{e}_j$$ (34)

   
   
   o sea, los vectores $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ son ortogonales a pares.
2. Una base ortogonal se dice BASE ORTONORMAL (usaremos la abreviación BASE O.N.) si además de (34):
   
   $$(\vec{e}_i\vert\vec{e}_i)=1 \quad \forall i \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$$
   
   
   Así pues, una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ es una base O.N. si y sólo si se verifica:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (\vec{e}_i\vert\vec{e}_j) = \delta_{ij}... ...d \forall \,i,\,j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack }$}$$
   
   

He aquí tres condiciones equivalentes a ésta:

Condición 1.

En presencia de la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$:

$$\fbox{${\displaystyle [G]={\cal I}_n \mbox{ la matriz unidad }n\times n, \mbox{ o sea tambi\'en: }[G]^{-1} ={\cal I}_n}$}$$

Condición 2.

$$\fbox{${\displaystyle \forall \, i \in \lbrack\!\lbrack 1,n \... ...skip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits = \vec{e}_i}$}$$

Condición 3.

$\forall \vec{x} \in E$ (resp. ) las componentes covariantes de $\vec{x}$ (resp. de ) coinciden con las componentes contravariantes de $\vec x$ (resp. de ). En otras palabras:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \vec{x}= \sum_{i=1}^n x^... ...) \quad \forall i \in \lbrack\!\lbrack 1,n\rbrack\!\rbrack }}$}$$

Para más condiciones equivalentes, véase la observación al fin de esta sección.

Advertencia
No todo espacio de producto escalar posee una base O.N. Esto será, por ejemplo, una consecuencia del teorema a continuación.

Teorema 1.13   Un espacio vectorial real de producto escalar es un espacio vectorial euclidiano si y sólo si posee una base O.N.

Demostración
A) Supongamos que $E$ posee una base O.N. $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. Vale, pues:

$$(\vec{e}_i\vert\vec{e}_j)=\delta_{ij} \quad \forall \,i,\,j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$$ (35)

o sea

$$g_{ij}= \delta_{ij} \quad \forall \, i,\,j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$$ (36)

Si $\vec{x}= \sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i\,,\; \vec{y}= \sum_{j=1}^n y^j \vec{e}_j$ son vectores arbitrarios de $E$, $x^i,\,y^j \in {{\mathbb{R}}}$, tenemos por la fórmula (22), después del teorema 3.1.11:

$$(\vec{x}\vert\vec{y})= \sum_{1\le i\le n \atop 1\le j\le n} g_{ij} x^i y^j$$ (37)

o sea, teniendo en cuenta (35):

$$(\vec{x}\vert\vec{y})= \sum_{1\le i\le n \atop 1\le j\le n} \delta_{ij} x^i y^j \;,$$

vale decir en definitiva:

$$(\vec{x}\vert\vec{y})= \sum_{i=1}^n x^i y^i$$ (38)

En particular:

$$(\vec{x}\vert\vec{x})= \sum_{i=1}^n (x^i)^2$$ (39)

De la fórmula (39) se desprende que:

$$(\vec{x}\vert\vec{x}) \ge 0 \quad \forall \vec{x} \in E \quad \mbox{y} \quad (\vec{x}\vert\vec{x})=0 \; \Rightarrow \vec{x}=0$$

Por tanto, $E$ es un espacio vectorial euclidiano.

B) Recíprocamente, sea $E$ un espacio vectorial euclidiano. Probaremos la existencia de una base O.N. en $E$ por inducción sobre la dimensión $n$ de $E$.

1. Caso n=1.

   Sea $\vec u$ un vector arbitrario no nulo de $E$. Definamos:
   

   $$\vec{e}= \colon { \vec{u} \over \sqrt{(\vec{u}\vert\vec{u})}}$$
   
   
   Vale $(\vec{e}\vert\vec{e})=1$ y la familia $(\vec{e})$ (reducida al vector $\vec e$) es una base O.N. de $E$.
2. Supongamos $n \ge 2$ y el resultado ya probado para la dimensión $n-1$.

   Sea $E$ un espacio vectorial euclidiano de dimensión $n$. Como en (i) determinamos un vector $\vec{e}_1 \in E$ tal que $(\vec{e}_1\vert\vec{e}_1)=1$. Consideremos el subespacio $V= {\cal L}(\vec{e}_1)^\bot$ de $E$. $V$ es un espacio vectorial euclidiano de dimensión $n-1$. Por hipótesis de inducción, $V$ posee una base O.N. $(\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n)$. Patentemente $(\vec{e}_1;\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base O.N. de $E$. $\quad\Box$

Generalicemos las definiciones 3.1.7.

Sea $E$ un espacio de producto escalar (sobre un cuerpo conmutativo arbitrario ${\mathbb{K}}$).

1. Una familia finita $(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_r)$ de vectores de $E$ se dice FAMILIA ORTOGONAL si
   
   $$\vec{u}_i \ne 0 \; \forall i\in \lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\... ...ack ,\, i \ne j \, \Rightarrow \vec{u}_i \bot \vec{u}_j\right].$$
   
   

2. Una familia ortogonal $(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_r)$ se llama FAMILIA ORTONORMAL (abreviadamente O.N.) si además:
   
   $$(\vec{u}_i\vert\vec{u}_i) =1 \quad \forall i \in \lbrack\!\lbrack 1,r\rbrack\!\rbrack$$
   
   
   En otras palabras, la familia $(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_r)$ es O.N. si y sólo si
   
   $$(\vec{u}_i\vert\vec{u}_j) = \delta_{ij} \quad \, i,\,j \in \lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack$$
   
   

Teorema 1.14   Toda familia ortogonal en un espacio de producto escalar es linealmente independiente.

Demostración
Sean $E$ un espacio de producto escalar y $(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_r)$ una familia ortogonal de $E$. Supongamos una relación lineal:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{u}_i =0}}$}}$$ (40)

Fijando $k \in \lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack$ y notando que $(\vec{u}_i\vert\vec{u}_k)=0$ si $i \ne k$, obtenemos de (40) al multiplicar escalarmente ambos miembros por $\vec{u}_k$:

$$\lambda_k (\vec{u}_k \vert\vec{u}_k)=0$$

Ya que también por hipótesis $(\vec{u}_k\vert\vec{u}_k) \ne 0$, se sigue de ahí: $\lambda_k=0$. Esto es cierto $\forall \, k \in \lbrack\!\lbrack 1,r \rbrack\!\rbrack$, de donde la conclusión. $\quad\Box$

Teorema 1.15 (de la base O.N. incompleta)   Sea $E$ un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita $n$. Toda familia O.N. $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ en $E$ puede completarse a una base O.N. $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r;\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$.

Demostración
Por el teorema 3.1.14 vale $r\le n$. Sea $V$ el subespacio ${\cal L}(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)^\bot$ de $E$. $V$ es un espacio vectorial euclidiano de dimensión $n-r$. Por el teorema 3.1.12 $V$ posee una base O.N. $(\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n)$. Obviamente $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r;\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n)$ es una base O.N. de $E$. $\quad\Box$

La parte a) de la demostración del teorema 3.1.13 invita a la siguiente:

Observación
Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de un espacio de producto escalar E. Las afirmaciones siguientes son equivalentes a pares:

1. $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base O.N. de E.
2. Para vectores arbitrarios $\vec{x}= \sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i \,,\; \vec{y}= \sum_{i=1}^n y^i \vec{e}_i$ de $E$ vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle (\vec{x}\vert\vec{y})= \sum\limits_{i=1}^n x^i y^i }}$}$$
   
   

3. Para todo vector $\vec{x} = \sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i$ de $E$ vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle (\vec{x}\vert\vec{x})= \sum\limits_{i=1}^n (x^i)^2 }}$}$$
   
   

Demostración
Del cálculo en la parte a) de la demostración del teorema 3.1.13 (para el cual es inútil la hipótesis ${{\mathbb{K}}} = {{\mathbb{R}}}$) se desprenden las implicaciones $a) \Rightarrow b)$ y $b) \Rightarrow c)$.

Implicación $b) \Rightarrow a)$. Supongamos que $\vec{x}= \sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i \; \mbox{e}\; \vec{y}= \sum_{i=1}^n y^i \vec{e}_i$ implican $(\vec{x}\vert\vec{y})=\sum_{i=1}^n x^i y^i$. Al tomar $\vec{x}= \vec{e}_l$ o sea $x^i = \delta_l^i$ e $\vec{y}=\vec{e}_m$ o sea $y^i=\delta_m^i \forall \,i \in [\![ 1,n ]\!]$ conseguimos:

$$(\vec{x}\vert\vec{y})=\sum_{i=1}^n \delta_l^i \delta_m^i = \delta_{lm}$$

Luego la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es O.N.

Implicación $c) \Rightarrow b)$. Supongamos que $\forall \, \vec{x}=\sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i$ vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec{x}\vert\vec{x})= \sum_{i=1}^n (x^i)^2}$}}$$ (41)

Aplicando esta fórmula a $\vec{y}= \sum_{i=1}^n y^i \vec{e}_i$ y $\vec{x}+\vec{y}=\sum_{i=1}^n (x^i +y^i ) \vec{e}_i$ conseguimos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec{y}\vert\vec{y})=\sum_{i=1}^n (y^i)^2}$}}$$ (42)

y

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec{x}+\vec{y}\vert\vec{x}+\vec{y})=\sum_{i=1}^n (x^i + y^i)^2}$}}$$ (43)

De (41), (42) y (43) obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} 2(\vec{x}\vert\vec{y}) &=&(\vec{x}+\vec{y}\vert\vec{x}+\vec{y}... ...m_{i=1}^n (x^i)^2 - \sum_{i=1}^n (y^i)^2 = 2\sum_{i=1}^n x^i y^i \end{eqnarray*}$$

probando b). $\quad\Box$

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