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El operador de Hodge en $\wedge E^*$

Definición 3.5   Se define el elemento ${\underline \varepsilon} \in \stackrel{n}{\wedge} E^*$ por:

$$\fbox{${\displaystyle {\underline \varepsilon}= (\stackrel{r}{\wedge} G) {\overline \varepsilon} }$}$$

Ya que $\stackrel{n}{\wedge} G$ es una isometría de $\stackrel{n}{\wedge} E$ sobre $\stackrel{n}{\wedge} E^*$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle ({\underline \varepsilon}\vert {\underl... ...rt{\overline \varepsilon}) = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)}$}$$

${\underline \varepsilon}$ se llama el -COVECTOR PATRÓN sobre $E$. Se verifica:

$$\bigl\langle {\overline \varepsilon},{\underline \varepsilon}... ...\rangle = ({\overline \varepsilon}\vert{\overline \varepsilon})$$

o sea:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \bigl\langle {\overline \varepsil... ...\varepsilon}\bigr\rangle = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)}$}}$$ (33)

Nota
En el caso $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)=-1$ se presenta aquí cierta molestia, si se desea orientar $E^*$. Por una parte parece tentador orientar $E^*$ de suerte que ${\underline \varepsilon}$ sea un elemento de $\stackrel{n}{\wedge} E^*$ de sentido positivo. Esto se puede objetar, alegando que la orientación no debe tener que ver con productos escalares, o sea, con $G$ y que sería más natural tomar como elementos de sentido positivo de $\stackrel{n}{\wedge} E^*$ aquellos que toman un valor positivo sobre elementos de sentido positivo de $\stackrel{n}{\wedge} E$. La fórmula (33) muestra que los dos convenios son opuestos si $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)=-1$. Eludiremos la dificultad no orientando $E^*$ (por lo menos si $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)=-1$).

Definición 3.6   Sean ${\underline x}^1,\ldots,{\underline x}^r$ elementos homogéneos de $\wedge E^*$ tales que:

$$\mbox{\rm gr }{\underline x}^1 + \cdots + \mbox{\rm gr }{\underline x}^r =n$$

Se define el PRODUCTO VOLÚMICO $[{\underline x}^1,\ldots,{\underline x}^r]$ de dichos elementos por la fórmula:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\underline x}^1 \wedge \cdots \w... ...ine x}^1,\ldots,{\underline x}^r] {\underline \varepsilon}}$}}$$ (34)

Observación
Al aplicar el operador $\wedge G^{-1}$ a los dos miembros de (34) obtenemos:

$$(\wedge G^{-1}){\underline x}^1 \wedge \cdots \wedge (\wedge... ...derline x}^1,\ldots,{\underline x}^r] {\overline \varepsilon}$$ (35)

Pero por otra parte, por definición del producto volúmico en $\wedge E$ se cumple:

$$(\wedge G^{-1}){\underline x}^1 \wedge \cdots \wedge (\wedge... ...ots,(\wedge G^{-1}) {\underline x}^r] {\overline \varepsilon}$$ (36)

Cotejando (35) con (36) conseguimos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle [(\wedge G^{-1}){\underline x}^1,... ...nderline x}^r] =[{\underline x}^1,\ldots,{\underline x}^r]}$}}$$ (37)

Cambiando la notación en (37), a saber, poniendo:

$$\wedge G^{-1} {\underline x}^1 = {\overline y}_1, \ldots,\wedge G^{-1} {\underline x}^r = {\overline y}_r$$

obtenemos la fórmula equivalente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle [(\wedge G){\overline y}_1,\ldots... ... {\overline y}_r]=[{\overline y}_1,\ldots,{\overline y}_r]}$}}$$ (38)

para toda familia $({\overline y}_1,\ldots,{\overline y}_r)$ de elementos homogéneos de $\wedge E$ tales que:

$$\mbox{\rm gr }{\overline y}_1+ \cdots + \mbox{\rm gr }{\overline y}_r =n$$

La fórmula (37) hace ver que el ``producto volúmico en $\wedge E^*$ es invariante por $\wedge G^{-1}$''.

La fórmula (38) hace ver que el ``producto volúmico en $\wedge E$ es invariante por $\wedge G$''.

Vamos a definir un automorfismo lineal de $\wedge E^*$ que seguiremos designando por $\star$, transportando sobre $\wedge E^*$, mediante el isomorfismo $\wedge G$, el automorfismo $\star$ ya conocido de $\wedge E$. Formalmente definimos $\forall \, {\underline x} \in \wedge E^*$:

$$\fbox{${\displaystyle \star {\underline x}= \colon (\wedge G) \star (\wedge G^{-1}) {\underline x}}$}$$

o sea, al quitar el argumento:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \star = \colon (\wedge G) \star (\wedge G^{-1}) }$}}$$ (39)

donde el símbolo $\star$ en el segundo miembro designa el operador de Hodge en $\wedge E$, ya estudiado. En el segundo miembro de (39) omitimos también los símbolos para composición de aplicaciones.

Claramente el operador $\star$ en el primer miembro de (39) es un automorfismo lineal de $\wedge E^*$ y $\forall r \in [\![ 0,n ]\!]$ transforma (biyectivamente) $\stackrel{r}{\wedge} E^*$ en $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$. Más precisamente, su restricción a $\stackrel{r}{\wedge}E$ es:

$$(\stackrel{n-r}{\wedge} G) \star (\stackrel{r}{\wedge} G^{-1})$$

La fórmula (39) puede escribirse equivalentemente en cualquiera de las formas:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\wedge G^{-1}) \star = \star (\wedge G^{-1}) }$}}$$ (40)

y

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \star (\wedge G) = (\wedge G) \star }$}}$$ (41)

Se puede enunciar las fórmulas (40) y (41) diciendo que el operador $\star$ conmuta con los isomorfismos $\wedge G^{-1}$ y $\wedge G$. Pero esto es un abuso de lenguaje, pues en los primeros miembros de dichas fórmulas figura el operador $\star$ en $\wedge E^*$ y en los segundos miembros figura el operador $\star$ en $\wedge E$.

Podemos también, como alternativa, dar una definición de $\star$ en $\wedge E^*$ completamente análoga a la definición de $\star$ en $\wedge E$, a saber:

Teorema 3.16   Sean $r \in [\![ 0,n]\!]$ y ${\underline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$. $\star {\underline x}$ es el único elemento de $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$ que cumple:

$$\fbox{${\displaystyle (\star {\underline x}\vert{\underline y... ...uad \forall \, {\underline y} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E^*}$}$$

Demostración
Por la fórmula (39) de arriba, tenemos $\forall \, {\underline y} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E^*$

$$(\star {\underline x}\vert{\underline y}) = \left( (\stackre... ...r}{\wedge} G^{-1}) {\underline x}\vert {\underline y} \right)$$ (42)

Por ser $\stackrel{n-r}{\wedge} G^{-1}$ una isometría de $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$, esto equivale a:

$$( \star {\underline x}\vert{\underline y}) = \left( \star (\s... ... x} \vert(\stackrel{n-r}{\wedge} G^{-1}) {\underline y} \right)$$

De ahí, por definición del operador $\star$ en $\wedge E$:

$$(\star{\underline x}\vert{\underline y}) = [\stackrel{r}{\wed... ...{\underline x}, (\stackrel{n-r}{\wedge} G^{-1}) {\underline y}]$$

Y, puesto que el producto volúmico es un invariante por $\wedge G^{-1}$:

$$(\star {\underline x}\vert{\underline y})=[{\underline x},{\underline y}]$$

$\quad\Box$

Componentes covariantes y contravariantes de $\star {\underline x}$ para ${\underline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$

Sea ${\underline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$. Pongamos:

$${\overline x}=\colon (\stackrel{r}{\wedge} G^{-1}) {\underline x} \, \in \stackrel{r}{\wedge} E$$ (43)

Por la definición (39), tenemos:

$$\star{\underline x} = (\stackrel{n-r}{\wedge} G) (\star {\overline x})$$ (44)

De (43) se ve que los elementos $\underline x$ y $\overline x$ tienen las mismas componentes covariantes y las mismas componentes contravariantes.

De (44) se ve que los elementos de $\star \underline x$ y $\star \overline x$ tienen las mismas componentes covariantes y las mismas componentes contravariantes.

De esto se desprende que los teoremas 3.3.11 y 3.3.12 enunciados para $\star \overline x$, valen sin cambio para $\star \underline x$ (al reemplazar, bien entendido, las componentes de $\overline x$ por las de $\underline x$).

Teorema 3.17   $\forall \, {\underline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle \star \star {\underline x}= \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} {\underline x}}$}$$

Demostración
Usando la definición obtenemos:

$$\star \star {\underline x} = (\wedge G)\star (\wedge G^{-1}) (\wedge G) \star (\wedge G^{-1}) {\underline x}$$

o sea:

$$\star \star {\underline x} = (\wedge G) \star \star (\wedge G^{-1}) {\underline x}$$ (45)

donde los operadores $\star$ en el segundo miembro actúan en $\wedge E$. Por el teorema 3.3.13, la fórmula (45) se reduce a:
$\star \star {\underline x} = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} (\wed... ...1}) {\underline x}= \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} {\underline x}$. $\quad\Box$

Los siguientes dos teoremas se demuestran exactamente como sendos teoremas 3.3.14 y 3.3.15.

Teorema 3.18   $\forall \, \underline x,\, \underline y \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle [{\underline x},\star{\underline y}] = ... ...\mbox{\rm Sgn } G \right)({\underline x}\vert{\underline y})}$}$$

Equivalentemente:

$$\fbox{${\displaystyle {\underline x}\wedge \star{\underline y... ...({\underline x}\vert{\underline y}) {\underline \varepsilon}}$}$$

Teorema 3.19   $\forall \, \underline x,\, \underline y \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle ( \star{\underline x}\vert\star{\underl... ...\mbox{\rm Sgn } G \right)({\underline x}\vert{\underline y})}$}$$

Terminaremos la exposición teórica de esta sección por dos resultados donde se combinan los operadores $\star$ en $\wedge E$ y en $\wedge E^*$.

Teorema 3.20   Si $\overline x \in \stackrel{r}{\wedge} E\, ,\; \underline y \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \star \overline x, \star \... ...G \right)\bigl\langle \overline x, \underline y\bigr\rangle }$}$$

Demostración
Usando la definición del operador $\star$ en $\wedge E^*$ obtenemos:

$$\bigl\langle \star \overline x, \star \underline y \bigr\rang... ... (\star \overline x \vert \star \wedge G^{-1} ( \underline y ))$$

De ahí, por el teorema 3.3.19:
$\bigl\langle \star \overline x, \star \underline y \bigr\rangle = \left(\mbox{\... ...ft(\mbox{\rm Sgn } G \right)\bigl\langle \overline x, \underline y\bigr\rangle$. $\quad\Box$

El siguiente teorema ofrece una nueva alternativa para definir el operador $\star$ en $\wedge E^*$.

Teorema 3.21   $\forall \, \underline y \in \stackrel{r}{\wedge} E^*$ y $\forall \, \overline x \in \stackrel{n-r}{\wedge} E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \overline x, \star \underl... ...]= [ \underline y, \stackrel{n-r}{\wedge} G \, \overline x ]}$}$$

Demostración
Puesto que un producto volúmico es invariante por $\wedge G$ los dos últimos miembros de la fórmula por demostrar son iguales. Resta mostrar, por ejemplo,

$$\bigl\langle \overline x, \star \underline y\bigr\rangle = [ \stackrel{r}{\wedge} G^{-1} \underline y, \overline x]$$

Ahora bien, usando los teorema 3.3.17 y 3.3.20 obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} \bigl\langle \overline x, \star \underline y \bigr\rangle &=& ... ... \overline x \vert \stackrel{r}{\wedge} G^{-1} ( \underline y )) \end{eqnarray*}$$

de donde, por la definición del operador $\star$ en $\wedge E$:
$\bigl\langle \overline x, \star \underline y\bigr\rangle = (-1)^{r(n-r)} [ \ove... ...{-1}( \underline y)]= [\stackrel{r}{\wedge} G^{-1}( \underline y), \overline x]$. $\quad\Box$

Para terminar la sección trataremos tres ejemplos: los dos primeros serán casos particulares del último. Los estudiaremos, sin embargo, aparte para facilitar la referencia al lector, pues son muy elementales y usados.

Ejemplo 3.1. Caso $n=2$

Estudiaremos el operador $\star \colon E \to E$. $\forall \, \vec x \in E$, vale por definición:

$$\fbox{${\displaystyle (\star \vec x \vert \vec y) = [\vec x, \vec y] \quad \forall \vec y \in E }$}$$

Sea $(\vec{e}_1,\vec{e}_2)$ una base de $E$ de sentido positivo y sea:

$$\vec x = x^1 \vec{e}_1+ x^2 \vec{e}_2$$

Las componentes covariantes de $\star \vec x$ son:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcccl} x^\star_1 &=& (\st... ...c x \vert \vec{e}_2) &=& \sqrt{\vert g\vert} x^1 \end{array}}$}$$

También $\star \vec x = x_\star^1 \vec{e}_1 + x_\star^2 \vec{e}_2$, donde:

$$\begin{array}{rcr} x_\star^1 &=& -\left(\mbox{\rm Sgn } G \ri... ...m Sgn } G \right){1 \over \sqrt{\vert g\vert}} x_1 \end{array}$$

con $x_1 = \colon (\vec{x}\vert \vec{e}_1)$ y $x_2=\colon (\vec{x}\vert\vec{e}_2)$.

En el caso de ser $E$ un espacio vectorial euclidiano y $(\vec{e}_1,\vec{e}_2)$ una base O.N.P. de $E$, las componentes (a la vez contravariantes y covariantes) de $\vec x$ con respecto a dicha base son simplemente:

$$\fbox{${\displaystyle x_\star^1 = -x^2 \hspace{3em} x_\star^2 = x^1}$}$$

En el caso general, valen las fórmulas:

$$\fbox{${\displaystyle \star \star \vec x= -\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)\vec x \quad \forall \vec x \in E}$}$$

$$\fbox{${\displaystyle [\vec x, \star \vec y]= [\vec y, \star ... ...t)(\vec x \vert\vec y) \quad \forall \vec x, \, \vec y \in E}$}$$

y

$$\fbox{${\displaystyle (\star \vec x\vert \star \vec y)= \left... ...t)(\vec x \vert\vec y) \quad \forall \vec x, \, \vec y \in E}$}$$

En el caso de ser E un espacio vectorial euclidiano y $\vec x \ne 0$, tenemos la siguiente caracterización geométrica de $\star \vec x$:

Dirección

:

$$\fbox{${\displaystyle \star \vec x \bot \vec x}$}$$

Magnitud

:

$$\fbox{${\displaystyle \Vert \star \vec x \Vert= \Vert \vec x \Vert}$}$$

Sentido

: $(\vec x, \star \vec x)$ es un par de sentido positivo.

(En efecto, $[\vec x, \star \vec x]=(\vec x\vert \vec x) >0$).

Nota
Es algo extraño notar que casi todos los libros elementales de ``cálculo vectorial'', aunque consideran el siguiente caso $n=3$, omiten el estudio anterior del caso $n=2$. No obstante ser muy elemental, ese caso es muy útil en cálculos prácticos.

Ejemplo 3.2. Caso $n=3$

Estudiaremos el operador $\star : \stackrel{2}{\wedge} E \to E$. Por el teorema 3.3.10 todo bivector, elemento de $\stackrel{2}{\wedge} E$, es descomponible. $\forall \, \vec x,\, \vec y \in E$ definimos:

$$\fbox{${\displaystyle \vec x \times \vec y = \colon \star(\vec x \wedge \vec y) \in E}$}$$

El vector $\vec x \times \vec y$ se llama el PRODUCTO VECTORIAL DEL VECTOR POR EL VECTOR .

Puesto que la aplicación $(\vec x,\vec y) \mapsto \vec x \wedge \vec y$ es una aplicación bilineal de $E^2$ en $\stackrel{2}{\wedge} E$ y la aplicación $\star$ es una aplicación lineal de $\stackrel{2}{\wedge} E$ en $E$, se ve inmediatamente que: La aplicación $(\vec{x},\vec y) \mapsto \vec x \times \vec y$ es una aplicación bilineal de $E \times E$ en $E$.

Hace de $E$ un álgebra en el sentido general de esta palabra, es decir, contrario al convenio al comienzo del §3 del capítulo I. De hecho dicha aplicación $(\vec x, \vec y) \mapsto \vec x \times \vec y$ es una aplicación bilineal alternada de $E \times E$ en $E$, pues la aplicación $(\vec x,\vec y) \mapsto \vec x \wedge \vec y$ es una aplicación bilineal alternada de $E \times E$ en $\stackrel{2}{\wedge} E$.

Afirmamos que se cumple: $\vec x \times \vec y =0$ si y sólo si el par $(\vec x, \vec y )$ es linealmente dependiente.

En efecto, por ser el operador $\star$ un isomorfismo de $\stackrel{2}{\wedge} E$ sobre $E$, vale $\vec x \times \vec y =0$ si y sólo si $\vec x \wedge \vec y =0$ y sabemos que lo último ocurre si y sólo si el par $(\vec x, \vec y )$ es linealmente dependiente.

Por la definición del operador $\star$: $\forall \vec u\, \vec v \in E, \; \vec u \times \vec v$ es el único vector de $E$ que cumple:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec u\times \vec v\vert \vec x)=[\vec u,\vec v, \vec x] \quad \forall \vec x \in E }$}}$$ (46)

Debido a esta fórmula, hay personas, especialmente algunos físicos, que dicen (por lo menos en el caso considerado $n=3$) ``producto mixto'', en vez de ``producto volúmico'', pues aparece como producto vectorial seguido por un producto escalar. Pero la lógica no les secunda, pues primero se debe saber qué es el producto volúmico, para llegar a una definición matemáticamente ``decente'' de producto vectorial.

La trilinealidad de la aplicación $(\vec u, \vec v, \vec w) \mapsto [\vec u, \vec v, \vec w]$ implica fácilmente en el caso $n=3$ la regla:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle [\vec u,\vec v, \vec w]=[\vec v,\vec w, \vec u] =[\vec w,\vec u, \vec v]}$}}$$ (47)

(invariancia del producto volúmico por ``permutaciones cíclicas''). Las fórmulas (46) y (47) entrañan la regla:

$$\fbox{${\displaystyle (\vec u \times \vec v\vert \vec w)=(\ve... ...times \vec w\vert \vec u) =(\vec w\times \vec u\vert \vec v)}$}$$

Observación
Si $(\vec x, \vec y )$ es un par linealmente independiente en $E$, se tiene:

$${\cal L} (\vec x\times \vec y)= N(\star (\vec x \wedge \vec y))= N(\vec x \wedge \vec y)^\bot = {\cal L}(\vec x,\vec y)^\bot$$

De ahí que:

$$\fbox{${\displaystyle (\vec x \times \vec y) \bot \vec x \hspace{3em} (\vec x \times \vec y) \bot \vec y}$}$$

Estas relaciones son también trivialmente ciertas si el par $(\vec x, \vec y )$ es linealmente dependiente.

Fórmulas

A) Sean $(\vec u,\vec v),\, (\vec x,\vec y)$ dos pares de vectores de $E$. Por el teorema 3.3.15 tenemos:

$$(\vec u \times \vec v\vert \vec x \times \vec y) = \left(\mb... ...gn } G \right)(\vec u\wedge \vec v\vert \vec x \wedge \vec y)$$ (48)

y por el teorema 3.2.1:

$$(\vec u \wedge \vec v \vert \vec x \wedge \vec y) = \left\v... ... \vert \vec y) & (\vec v\vert\vec y) \end{array} \right\vert$$ (49)

Las fórmulas (48) y (49) entrañan en definitiva:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec u \times \vec v \vert \vec ... ...ert \vec y) & (\vec v\vert\vec y) \end{array} \right\vert}$}}$$ (50)

La fórmula (50) se llama FÓRMULA DE CAUCHY-BINET PARA PRODUCTOS VECTORIALES.

B) Para tres vectores $\vec x ,\, \vec y,\, \vec z \in E$ afirmamos que vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec x \times \vec y) \times \ve... ...((\vec x\vert\vec z) \vec y - (\vec y\vert\vec z) \vec x) }$}}$$ (51)

Ésta es la FÓRMULA DEL DOBLE PRODUCTO VECTORIAL.

En efecto, por la fórmula (50) (de Cauchy-Binet) obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} \forall \,\vec u \in E\ ((\vec x \times \vec y) \times \vec z ... ... - (\vec y \vert \vec z) \vec x \, \right) \vert \vec u \right) \end{eqnarray*}$$

de donde, por la arbitrariedad de $\vec u$ y el axioma iii) de productos escalares, la anunciada fórmula (51).

Corolario 3.5   Para cuatro vectores $\vec x,\, \vec y,\, \vec z,\, \vec w$ de E vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec x \times \vec y) \times (\v... ..., \vec w] \vec y - [\vec y, \vec z, \vec w] \vec x \right)}$}}$$ (52)

Esta fórmula se obtiene substituyendo en (51) $\vec z$ por $\vec z \times \vec w$ y aplicando (46).

Observación
Intercambiando los pares $(\vec x, \vec y )$ y $(\vec z, \vec w)$ en (52) obtenemos la identidad:

$$(\vec x \times \vec y) \times (\vec z \times \vec w) = \left... ...ec y \,] \vec z - [ \vec z, \vec x, \vec y \,] \vec w \right)$$ (53)

Restando de (52) y (53) conseguimos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle [\vec y, \vec z, \vec w] \vec x -... ... \vec x, \vec y] \vec z - [\vec x,\vec y, \vec z]\vec w =0}$}}$$ (54)

(54) es una relación lineal entre cuatro vectores arbitrarios $\vec x,\, \vec y,\, \vec z,\, \vec w$ de $E$. Si el cuádruplo $(\vec x, \vec y,\vec z,\vec w)$ es de rango tres, ésta es una relación lineal no trivial.

Advertencia
El producto vectorial no es asociativo.

Sea por ejemplo $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ una base O.N.P. en un espacio vectorial euclidiano orientado $E$ de dimensión 3. Tenemos: $(\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 =0$, pues $\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 =0$, pero por la fórmula del doble producto vectorial:

$$\vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2)= (\vec{e}_1 \ve... ...2) \vec{e}_1 - (\vec{e}_1\vert \vec{e}_1) \vec{e}_2= -\vec{e}_2$$

pues $(\vec{e}_1\vert \vec{e}_2)=0$ y $(\vec{e}_1\vert\vec{e}_1)=1$. Luego $(\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 \ne \vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2)$.

Como ``substituto'' de asociatividad tenemos $\forall \, \vec u,\,\vec v,\, \vec w \, \in E$:

$$\fbox{${\displaystyle (\vec u \times \vec v) \times \vec w + ... ...c w) \times \vec u + (\vec w \times \vec u) \times \vec v =0}$}$$

fórmula llamada IDENTIDAD DE JACOBI.

En efecto, por la fórmula del doble producto vectorial se verifican las identidades:

$$\begin{eqnarray*} \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)\left( (\vec u \times \vec v) \... ...t) &=& (\vec w\vert \vec v) \vec u - (\vec u\vert\vec v) \vec w \end{eqnarray*}$$

Al sumar estas tres identidades, vemos que se cancelan todos los términos a la derecha, de donde la identidad de Jacobi.

Nota
Álgebras en sentido amplio (no en el sentido restrictivo del convenio al comienzo del §3 del capítulo I) que satisfacen la identidad de Jacobi, se llaman ´ALGEBRAS DE LIE. Adquirieron una considerable importancia en la matemática de este siglo.

Un espacio vectorial real de dimensión tres, orientado, de producto escalar, provisto como ``multiplicación'' del producto vectorial, es un ejemplo de álgebra de Lie.

Expresión analítica

Sea $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ una base de $E$ de sentido positivo. Sean $\vec{x}= x^1 \vec{e}_1+ x^2 \vec{e}_2 + x^3 \vec{e}_3$, $\vec{y}= y^1 \vec{e}_1+ y^2 \vec{e}_2 + y^3 \vec{e}_3$ vectores arbitrarios de $E$. Al efectuar el producto exterior obtenemos:

$$\vec x \wedge \vec y = \left\vert \, \begin{array}{cc} x^2 ... ... & y^2 \end{array} \, \right\vert \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2$$ (55)

Aquí, para mayor simetría en las fórmulas, o sea, el uso de ``permutaciones cíclicas'', usaremos la base $(\vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3, \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1, \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2)$ de $\stackrel{2}{\wedge} E$ apartándonos del convenio usual que exigiría $(\vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2, \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_3, \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3)$. De (55) obtenemos, por el teorema 3.3.11, las componentes covariantes:

$$z_1=(\vec{x} \times \vec{y} \vert\vec{e}_1)\,,\quad z_2=(\... ...vec{e}_2)\,,\quad z_1=(\vec{x} \times \vec{y} \vert\vec{e}_3)$$

del producto vectorial $\vec x \times \vec y$, a saber:

$$\fbox{${\displaystyle z_1= \sqrt{\vert g\vert} \, \left\vert... ...}{cc} x^1 & y^1 \\ x^2 & y^2 \end{array} \, \right\vert }$}$$

En el caso particular de ser $E$ un espacio vectorial euclidiano y $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ una base O.N.P., las componentes (a la vez contravariantes y covariantes de $\vec x \times \vec y$) son simplemente:

$$z_1=\left\vert \begin{array}{cc} x^2 & y^2 \\ x^3 & y^3 \... ...rray}{cc} x^1 & y^1 \\ x^2 & y^2 \end{array} \, \right\vert$$

o sea, tenemos:

$$\fbox{${\displaystyle \vec x \times \vec y= \,\left\vert \b... ...y^1 \\ x^2 & y^2 \end{array} \, \right\vert \, \vec{e}_3 }$}$$

Tomando aquí $(x^1, x^2, x^3) =(1,0,0)$ e $(y^1,y^2,y^3)=(0,1,0)$, obtenemos $\vec{e}_1 \times \vec{e}_2= \vec{e}_3$, de donde, usando permutaciones cíclicas, para cualquier base O.N.P. $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} \vec{e}_1 \times \ve... ..._1 \\ \vec{e}_3 \times \vec{e}_1 &=& \vec{e}_2 \end{array}}$}$$

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