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El operador de Hodge en un espacio de producto escalar

Teorema 3.1   Sean $E$ un espacio de producto escalar de dimensión $n$ y ${\overline e} \in \stackrel{n}{\wedge} E$. Si ${\overline e} \ne 0$, vale también $({\overline e}\vert{\overline e}) \ne 0$. En otras palabras: No hay un elemento isótropo en $\stackrel{n}{\wedge} E$.

Demostración
Supongamos ${\overline e} \ne 0$. La familia $({\overline e})$ reducida al solo elemento $\overline e$ es una base de $\stackrel{n}{\wedge} E$. Todo elemento ${\overline x} \in \stackrel{n}{\wedge} E$ se representa únicamente en la forma ${\overline x} = \xi {\overline e}$ con $\xi \in {{\mathbb{K}}}$. Si fuese $({\overline e}\vert{\overline e})=0$, sería también:

$$({\overline x}\vert{\overline e}) = \xi({\overline e}\vert{\o... ...e})=0 \quad \forall \, {\overline x} \in \stackrel{n}{\wedge} E$$

contrariamente al axioma iii) de producto escalar. Esta contradicción establece el teorema. $\quad\Box$

Teorema 3.2 (y definición)   Si $E$ es un espacio real de producto escalar, de dimensión $n$, todos los $n$-vectores no nulos sobre $E$ tienen el cuadrado escalar del mismo signo. Se puede llamar el SIGNO DEL PRODUCTO ESCALAR considerado.

Si $G \colon E \to E^*$ es el correspondiente isomorfismo simétrico, dicho signo lo designaremos por $\mbox{\rm Sgn } G$.

Demostración
Fijemos ${\overline e} \in \stackrel{n}{\wedge} E$ tal que ${\overline e} \ne 0$. Todo $n$-vector no nulo de $E$ puede representarse únicamente en la forma ${\overline x} = \xi {\overline e}$ con $\xi \in {{\mathbb{R}}}, \, \xi \ne 0$. De ahí $({\overline x}\vert{\overline x})= \xi^2 ({\overline e}\vert{\overline e})$. Ya que aquí $\xi^2 >0$, vemos que $({\overline x}\vert{\overline x})$ tiene el mismo signo que $({\overline e}\vert{\overline e})$. $\quad\Box$

Observación
Si $E$ es un espacio vectorial euclidiano, sabemos del teorema 3.2.4 que también $\stackrel{n}{\wedge} E$ es un espacio vectorial euclidiano, luego en este caso:

$$\mbox{\rm Sgn } G =1$$

Definición 3.1   Sea $E$ un espacio de producto escalar, provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. Sea $[G]=(g_{ik})_{1 \le i,k \le n}$ la matriz del correspondiente isomorfismo simétrico $G$ con respecto a las bases $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ y de $E^*$. Se pone (clásicamente):

$$\fbox{${\displaystyle g=\colon \mbox{\rm Det }[G]= \mbox{\rm Det }\Bigl( (g_{ik})_{1 \le i,k \le n} \Bigr) }$}$$

Observación
Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base O.N. de $E$ (a suponer que existe), vale: $g=1$.

Teorema 3.3   Con las notaciones de la definición 3.3.1 vale:

$$\fbox{${\displaystyle g=(\vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n \vert \vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n)}$}$$

Demostración
Por la fórmula (1) del teorema 3.2.1:

$$\begin{eqnarray*} (\vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n \vert\vec{e}_1 \wedg... ... &=& \mbox{\rm Det }\Bigl( (g_{ij})_{1 \le i,j \le n} \Bigr) =g \end{eqnarray*}$$

$\quad\Box$

El teorema 3.3.3 dice que $g$ es el gramiano del $n$-uplo $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$.

Corolario 3.1   Si $E$ es un espacio real de producto escalar, provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$, vale:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Sgn } G = \mbox{\rm Sgn } g}$}$$

Teorema 3.4 (y definición)   Existe un único $n$-vector ${\overline \varepsilon}$ de sentido positivo tal que $\vert({\overline \varepsilon} \vert{\overline \varepsilon})\vert=1$ o sea:

$$\fbox{${\displaystyle ({\overline \varepsilon} \vert{\overline \varepsilon})= \mbox{\rm Sgn } G }$}$$

A $\overline \varepsilon$ lo llamaremos el -VECTOR PATRÓN SOBRE $E$.

Demostración
Fijemos arbitrariamente un $n$-vector no nulo $\overline e$, de sentido positivo. Buscamos un $n$-vector ${\overline \varepsilon}=\xi {\overline e}$ con $\xi >0$ tal que $\vert({\overline e }\vert{\overline e})\vert=1$. Esta condición equivale a:

$$\xi^2 \vert({\overline e}\vert{\overline e})\vert=1$$

de donde la única solución:

$$\xi = {1 \over \sqrt{\vert({\overline e}\vert{\overline e})\vert}}$$

Finalmente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\overline \varepsilon}= {1 \over... ...t({\overline e}\vert{\overline e})\vert} }} {\overline e} }$}}$$ (1)

$\quad\Box$

Definición 3.2   Una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ (necesariamente de sentido positivo) la llamaremos BASE CALIBRADA si:

$$\fbox{${\displaystyle \vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n = {\overline \varepsilon}}$}$$

Teorema 3.5   Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base de sentido positivo de $E$, vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\overline \varepsilon} = {1 \ove... ... \vert g\vert}}} \vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n }$}}$$ (2)

Dicha base será, pues, una base calibrada si y sólo si:

$$\fbox{${\displaystyle \vert g\vert=1}$}$$

Demostración
La fórmula (2) se obtiene al tomar ${\overline e}=\colon \vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n$ en la fórmula (1) del teorema 3.3.4. $\quad\Box$

Notación abreviada.

Si $E$ es un espacio vectorial euclidiano, escribiremos abreviadamente BASE O.N.P. por una base ortonormal de sentido positivo de $E$.

De la observación después de la definición 3.3.1 y del teorema 3.3.5 sigue sin más:

Corolario 3.2 (del teorema 3.3.5)   En un espacio vectorial euclidiano $E$ toda base O.N.P de $E$ es una base calibrada de $E$.

Volvemos al caso general de un espacio real, orientado, de producto escalar.

Definición 3.3   Sean ${\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_r$ elementos homogéneos de $\wedge E$ tales que:

$$\mbox{\rm gr } {\overline x}_1+ \cdots + \mbox{\rm gr }{\overline x}_r=n$$

Definimos el PRODUCTO VOLÚMICO $[{\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_r]$ de dichos elementos como el número real que satisface:

$$\fbox{${\displaystyle {\overline x}_1 \wedge \cdots \wedge {\... ...rline x}_1, \ldots,{\overline x}_r] {\overline \varepsilon} }$}$$

En el caso $n=2$ se dice PRODUCTO AREOLAR en vez de producto volúmico.

Para $r$ y los correspondientes grados $\alpha_i= \mbox{\rm gr } {\overline x}_i \,,\; i=1,\ldots,r$, fijados, la aplicación $({\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_r) \mapsto [{\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_r]$ es una aplicación $r$-lineal del espacio $\stackrel{\alpha_1}{\wedge} E \times \cdots \times \stackrel{\alpha_r}{\wedge} E$ en ${\mathbb{R}}$.

En particular la aplicación $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n) \mapsto [\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n]$ de $E^n$ en ${\mathbb{R}}$ es una forma $n$-lineal alternada sobre $E$.

El producto volúmico $[\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n]$ no es otro que el determinante del
$n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ de vectores de $E$ con respecto a cualquier base calibrada de $E$.

Teorema 3.6   Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base de sentido positivo de $E$ y la matriz $[G]=(g_{ik})_{1 \le i,k \le n}$ es la correspondiente del isomorfismo $G$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle [\vec{e}_1,\ldots\vec{e}_n] = \sqrt{ \vert g\vert}}$}$$

En vista de la definición del producto volúmico, esta fórmula es equivalente a la fórmula (2) del teorema 3.3.5.

Los dos teoremas siguientes son evidentes:

Teorema 3.7   Vale $[\vec{x}_1,\ldots \vec{x}_n]=0$ si y sólo si el $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ de vectores de $E$ es linealmente dependiente.

Teorema 3.8   Supongamos $[\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n] \ne 0$.
Vale $[\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n] >0$ si $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ es una base de sentido positivo de E.
Vale $[\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n] <0$ si $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ es una base de sentido negativo de E.

Definición 3.4 (del operador de Hodge.)   Vamos a definir un endomorfismo lineal ``$\star$'' llamado OPERADOR DE HODGE de $\wedge E$ tal que para todo índice $r\in \lbrack\!\lbrack 0,n \rbrack\!\rbrack$ , $\star$ aplica $\stackrel{r}{\wedge}E$ en $\stackrel{n-r}{\wedge} E$. Puesto que:

$$\wedge E =\bigoplus_{r=0}^n \stackrel{r}{\wedge} E$$

basta definir la restricción de $\star$ a $\stackrel{r}{\wedge}E$.

Fijemos $r\in \lbrack\!\lbrack 0,n \rbrack\!\rbrack$. Sea $\overline x$ un elemento arbitrario de $\stackrel{r}{\wedge}E$. La aplicación ${\overline z} \mapsto [{\overline x},{\overline z}]$ de $\stackrel{n-r}{\wedge} E$ en ${\mathbb{R}}$ es una forma lineal sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$, elemento de $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$. Designémosla por $F{\overline x} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E^*$. Vale pues:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \bigl\langle {\overline z},F{\ove... ...quad \forall \,{\overline z} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E }$}}$$ (3)

La aplicación $F$ definida por esta fórmula es, como se ve inmediatamente, una aplicación lineal de $\stackrel{r}{\wedge}E$ en $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$.

Definimos la aplicación $\star\colon \stackrel{r}{\wedge} E \to \stackrel{n-r}{\wedge} E$ por la fórmula:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \star = \colon \stackrel{n-r}{\wedge} G^{-1} \circ F}$}}$$ (4)

Esta fórmula equivale a cada una de las siguientes:

$$\fbox{${\displaystyle \star{\overline x}=( \stackrel{n-r}{\we... ... ) \quad \forall \, {\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E}$}$$

$$\fbox{${\displaystyle F{\overline x}= \stackrel{n-r}{\wedge} ... ... ) \quad \forall \, {\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E}$}$$

De ahí, en presencia de una base de $E$, el $(n-r)$-vector $\star{\overline x}$ tendrá también las mismas componentes covariantes y las mismas componentes contravariantes que el $(n-r)$-covector $F{\overline x}$ definido por la fórmula (3).

Lema 3.1   Si $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base de sentido positivo de $E$ y $H,\,K$ son partes de $\lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ tales que $\vert H\vert=r\,,\; \vert K\vert=n-r$, vale:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle [{\overline e}_H,{\overl... ...g\vert} & \mbox{si}\; K=H^\prime \\ \end{array} \right. }}$}$$

Demostración
Tenemos ${\overline e}_H \wedge {\overline e}_K = \rho_{H,K}\, \vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n$, equivalentemente al tomar la componente de ambos miembros con respecto al $n$-vector patrón $\overline \varepsilon$:

$$[{\overline e}_H, {\overline e}_K]= \rho_{H,K} [\vec{e}_1,\ldots, \vec{e}_n]$$

Al aplicar el teorema 3.3.6 vemos que esto equivale a:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle [{\overline e}_H, {\overline e}_K] = \rho_{H,K} \sqrt{\vert g\vert}}$}}$$ (5)

Puesto que si $K \ne H^\prime$ vale $K \cap H \ne \emptyset$, luego $\rho_{H,K} =0$ la fórmula (5) es la misma que la del enunciado. $\quad\Box$

Teorema 3.9   El operador $\star$ es un isomorfismo lineal de $\stackrel{r}{\wedge}E$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$.

Demostración
Puesto que $\stackrel{n-r}{\wedge} G^{-1}$ es un isomorfismo lineal de $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$, basta probar, en vista de la definición (4), que $F$ es un isomorfismo lineal de $\stackrel{r}{\wedge}E$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$.

1. Probemos la implicación: ${\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E\,,\; {\overline x} \ne 0 \; \Rightarrow F {\overline x} \ne 0$.

   Sea, pues, ${\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E$ tal que ${\overline x}\ne 0$. Usando una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ de sentido positivo escribimos: ${\overline x}= \sum_{\vert L\vert=r} x^L {\overline e}_L$. La hipótesis implica que existe $H\subset [\![ 1,n]\!]$ con $\vert H\vert=r$, tal que $x^H \ne 0$. Por la fórmula (3):
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle \bigl\langle {\overline e}_{H^\pr... ... L\vert=r} x^L [{\overline e}_L, {\overline e}_{H^\prime}]}$}}$$ (6)

   
   
   Por el lema 3.3.1 vale:
   
   $$[{\overline e}_L, {\overline e}_{H^\prime}]= \left\{ \begin{a... ... \sqrt {\vert g\vert} & \mbox{si}\; L=H \\ \end{array}\right.$$
   
   
   La fórmula (6) se reduce, pues, a:
   
   $$\bigl\langle {\overline e}_{H^\prime}, F{\overline x}\bigr\rangle = x^H \rho_{H, H^\prime} \sqrt{\vert g\vert} \ne 0$$
   
   
   Por lo tanto, $F{\overline x} \ne 0$, como afirmamos.
2. Se sigue del inciso a) que $F$ es una aplicación lineal inyectiva de $\stackrel{r}{\wedge}E$ en $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$. Pero:
   
   $$\mbox{\rm dim }\stackrel{n-r}{\wedge} E^* ={n \choose n-r} = {n \choose r} = \mbox{\rm dim }\stackrel{r}{\wedge} E$$
   
   
   probando que $F$ es un isomorfismo de $\stackrel{r}{\wedge}E$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E^*$.

$\quad\Box$

Corolario 3.3   Consideremos al operador $\star$ como endomorfismo lineal del álgebra $\wedge E$. Con esta óptica $\star$ es de hecho un automorfismo lineal del álgebra $\wedge E$ sobre sí.

Definiciones equivalentes del operador $\star$

1. En virtud de la definición del producto escalar en $\stackrel{n-r}{\wedge} E$, la fórmula
   
   $$\star {\overline x} = ( \stackrel{n-r}{\wedge} G^{-1} ) ( F{\overline x})$$
   
   
   dice que $\star{\overline x}$ es el único $(n-r)$-vector tal que $\forall \, {\overline z} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E$ se cumple:
   
   $$({\overline z}\vert\star{\overline x}) = \bigl\langle {\overline z}, F{\overline x}\bigr\rangle$$
   
   
   o sea, por la definición (3) de $F$: $\forall \, {\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E$, $\star{\overline x}$ es el único elemento de $\stackrel{n-r}{\wedge} E$ tal que:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\star{\overline x}\vert {\overli... ...uad \forall \, {\overline z} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E }$}}$$ (7)

   
   
   (Según esta definición, se puede pensar en el operador $\star$ como una ``máquina'' que transforma productos volúmicos en productos escalares).
2. La fórmula (7) puede escribirse equivalentemente al multiplicar sus dos miembros por el $n$-vector patrón $\overline \varepsilon$:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\star{\overline x}\vert{\overlin... ...quad \forall \, {\overline z} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E}$}}$$ (8)

   
   
   (Así escrito el operador $\star$ aparece como una máquina que transforma productos exteriores en productos escalares).
3. Finalmente, para despejar $(\star{\overline x}\vert{\overline z})$ de (8) podemos escribir esta fórmula de manera equivalente al multiplicar escalarmente sus dos miembros por $\overline \varepsilon$:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\star{\overline x}\vert{\overlin... ...quad \forall \, {\overline z} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E}$}}$$ (9)

   
   

Casos particulares.

Caso $r=0$.

Por la fórmula (9) al tomar ${\overline x}=1$ y ${\overline z} = {\overline \varepsilon}$ obtenemos:

$$(\star1\vert {\overline \varepsilon})= \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)({\overline \varepsilon} \vert{\overline \varepsilon})=1$$

y, puesto que $({\overline \varepsilon}\vert{\overline \varepsilon}) = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)$ se sigue de ahí:

$$\fbox{${\displaystyle \star1 = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)\, \overline \varepsilon}$}$$

o sea, $\forall \, \alpha \in \stackrel{0}{\wedge} E ={{\mathbb{R}}}$ :

$$\fbox{${\displaystyle \star\alpha = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)\, (\alpha \overline \varepsilon)}$}$$

Caso $r=n$.

Al tomar en (9): ${\overline x}= {\overline \varepsilon}$ y ${\overline z}=1$, obtenemos:

$$\star {\overline \varepsilon}= (\star {\overline \varepsilon}... ...right)( {\overline \varepsilon} \vert{\overline \varepsilon})=1$$

Destacando:

$$\fbox{${\displaystyle \star{\overline \varepsilon}= 1}$}$$

o sea, para todo elemento $\alpha {\overline \varepsilon} \in \stackrel{n}{\wedge} E$:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \star(\alpha {\overline \varepsilon})= \alpha }$}}$$ (10)

Observación
Sean ${\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_r$ elementos homogéneos del álgebra $\wedge E$ tales que:

$$\mbox{\rm gr } {\overline x}_1+ \cdots + \mbox{\rm gr }{\overline x}_r=n$$

Por definición del producto volúmico tenemos:

$${\overline x}_1 \wedge \cdots \wedge {\overline x}_r = [{\overline x}_1, \ldots,{\overline x}_r] {\overline \varepsilon}$$ (11)

Aplicando el operador ($\star$) a ambos miembros de (11) y usando (10) obtenemos la fórmula:

$$\fbox{${\displaystyle \star({\overline x}_1 \wedge \cdots \wedge {\overline x}_r)=[{\overline x}_1,\ldots,{\overline x}_r] }$}$$

Nota
La teoría del operador de Hodge la desarrollaremos principalmente mediante cálculo con bases y componentes. Sin repeticiones ulteriores:

Lema 3.2   Vale $\forall H \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$, $\vert H\vert=r$ y $\forall K\subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack \,, \;\vert K\vert=n-r$:

$$\fbox{${\displaystyle (\star {\overline e}_H\vert{\overline e... ... g\vert} & \mbox{si}\; K=H^\prime \\ \end{array} \right. }$}$$

Demostración
Por la definición (7) del operador de Hodge tenemos:

$$(\star{\overline e}_H\vert{\overline e}_K)= [{\overline e}_H, {\overline e}_K]$$

y la fórmula deseada resulta como consecuencia inmediata del lema 3.3.1. $\quad\Box$

Comentario
En vista de la fórmula (25) entre las ``fórmulas analíticas'' después del teorema 3.1.11, el lema 3.3.1 dice:

La componente covariante de índice $H^\prime$ del $(n-r)$-vector $\star{\overline e}_H$ es $\rho_{H,H^\prime} \sqrt{\vert g\vert}$; las demás componentes covariantes valen cero. Equivalentemente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle F({\overline e}_H) = \rho_{H,H^\prime} \sqrt{\vert g\vert}\, {\underline e}^{H^\prime} }$}}$$ (12)

o sea:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \star {\overline e}_H = \rho_{H, ... ...\stackrel{n-r}{\wedge} G^{-1}) ({\underline e}^{H^\prime})}$}}$$ (13)

Vamos a dar una interesante aplicación geométrica de estas fórmulas.

Teorema 3.10   Si ${\overline x}$ es un $r$-vector descomponible no nulo, entonces $\star{\overline x}$ es un $(n-r)$-vector descomponible no nulo y se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle N(\star {\overline x})= N ({\overline x})^\bot}$}$$

(Las notaciones son aquellas de la definición 1.5.1.)

Demostración
Sea $\overline x$ un $r$-vector descomponible no nulo. Podemos escribir: ${\overline x}= \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r$, donde $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ es una familia linealmente independiente de vectores de $E$. Introduzcamos la notación alternativa: $\vec{e}_1=\colon \vec{x}_1, \ldots , \vec{e}_r=\colon \vec{x}_r$ y completemos el $r$-uplo $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ a una base: $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r;\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n)$ de sentido positivo. Sea la base de $E^*$ dual de ésta. Por la fórmula (12) del comentario anterior vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle F({\overline x})= F(\vec{e}_1 \we... ...interlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits }$}}$$ (14)

$F({\overline x})$ es, pues, un $(n-r)$-vector descomponible no nulo.

También, por la demostración del teorema 2.2.8:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\cal L}(\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (15)

Ahora bien la fórmula (14) equivale a:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} \star{\overlin... ... $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits } \end{array} }$}}$$ (16)

que es un $(n-r)$-vector descomponible no nulo. Mediante (16) y (15) :

$$\begin{eqnarray*} N(\star{\overline x})&=&{\cal L}( G^{-1} \mathop{\vtop{\ialign... ...)\\ &=& G^{-1}(N({\overline x})^\circ) = N ({\overline x})^\bot \end{eqnarray*}$$

$\quad\Box$

Teorema 3.11   (Componentes covariantes de $\star{\overline x}$ en función de las componentes contravariantes de $\overline x$) Sea ${\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E$. Escribámoslo ${\overline x} = \sum_{\vert H\vert=r} x^H {\overline e}_H$. Designemos por $x_K^\star$ con $\vert K\vert=n-r$, las componentes covariantes de $\star{\overline x} \in \stackrel{n-r}{\wedge}E$. Valen las fórmulas:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle x^\star_{H^\prime} = \rho_{H,H^\p... ...brack 1,n\rbrack\!\rbrack \mbox{ tal que } \vert H\vert=r }$}}$$ (17)

Demostración
La fórmula (12) del comentario del lema 3.3.2 reza: ${\displaystyle F({\overline e}_H)=\rho_{H,H^\prime} \sqrt{\vert g\vert} \, {\underline e}^{H^\prime}}$,

$$F({\overline x}) = F(\sum_{\vert H\vert=r} x^H {\overline e}_... ..._{H,H^\prime} \sqrt{\vert g\vert} x^H {\underline e}^{H^\prime}$$

Aquí el coeficiente de ${\underline e}^{H^\prime}$ es la componente covariante $x^\star_{H^\prime}$ de $\star \overline x$, de donde la fórmula (17). $\quad\Box$

Teorema 3.12   (Componentes contravariantes de $\star \overline x$ en función de las componentes covariantes de $\overline x$) Sea ${\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E$. Designamos por $x_H=({\overline x}\vert {\overline e}_H)\,,\; \vert H\vert=r$, las componentes covariantes de $\overline x$. Las componentes contravariantes de $\star{\overline x}$ son:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle x_\star^{H^\prime} = \left(\mbox{... ...lbrack 1,n\rbrack\!\rbrack \mbox{ tal que } \vert H\vert=r}$}}$$ (18)

Demostración
Sea ${\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E$. Por la definición (9) del operador ($\star$) vale:

$$(\star {\overline x}\vert{\overline z})= \left(\mbox{\rm Sgn... ...) \quad \forall \, {\overline z} \in \stackrel{n-r}{\wedge} E$$ (19)

Por el teorema 3.3.5, se tiene ${\overline \varepsilon}= {1 \over \sqrt{\vert g\vert}} \vec{e}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{e}_n$. Luego (19) se convierte en:

$$(\star {\overline x}\vert{\overline z}) = \left(\mbox{\rm Sg... ...ts \wedge \vec{e}_n \vert {\overline x} \wedge {\overline z})$$ (20)

Aplicando al segundo miembro de (20) la fórmula del teorema 3.2.5, conseguimos:

$$(\star {\overline x}\vert{\overline z}) = \left(\mbox{\rm Sgn... ...vert {\overline x})({\overline e}_{H^\prime}\vert{\overline z})$$

o sea:

$$(\star{\overline x}\vert {\overline z})= \left(\mbox{\rm Sgn... ...rt}} \sum_{\vert H\vert=r} \rho_{H,H^\prime} x_H z_{H^\prime}$$ (21)

donde $x_H$ son las componentes covariantes de $\overline x$ y $z_{H^\prime}$ son las componentes covariantes de $\overline z$.

Pero por la fórmula (28) entre las ``fórmulas analíticas'', después del teorema 3.1.11, tenemos también:

$$(\star {\overline x}\vert{\overline z}) = \sum_{\vert H\vert=r} x_\star^{H^\prime} z_{H^\prime}$$ (22)

Finalmente, al igualar los coeficientes de $z_{H^\prime}$ en los segundos miembros de (21) y (22), obtenemos:

$$x_\star^{H^\prime}= \left(\mbox{\rm Sgn } G \right){1\over \sqrt{\vert g\vert}} \rho_{H,H^\prime} x_H$$

$\quad\Box$

Teorema 3.13   $\forall \, {\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E$ se tiene:

$$\fbox{${\displaystyle \star \star {\overline x} = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} {\overline x} }$}$$

Demostración
Designemos por $x_{\star\star}^H\,,\; \vert H\vert=r$, las componentes contravariantes de $\star \star \overline x$. Aplicando la fórmula (18) del teorema 3.3.12 con el cambio de $\overline x$ en $\star \overline x$ e intercambio de $H$ con $H^\prime$ hallamos:

$$x_{\star\star}^H= \left(\mbox{\rm Sgn } G \right){1\over \sqrt{\vert g\vert}} \rho_{H^\prime,H} x_{H^\prime}^\star$$ (23)

Por otra parte, por la fórmula (17) del teorema 3.3.11 vale:

$$x_{H^\prime}^\star = \rho_{H,H^\prime} \sqrt{\vert g\vert}\, x^H$$ (24)

Llevando (24) a (23) obtenemos:

$$x_{\star \star}^H = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)\rho_{H,H^\prime} \cdot \rho_{H^\prime,H} x^H$$ (25)

Pero por el lema 1.1.2 se verifica:

$$\rho_{H,H^\prime} \cdot \rho_{H^\prime,H}= (-1)^{r(n-r)}$$

luego, en definitiva, (25) reza:

$$x_{\star \star}^H = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-... ...ck\!\lbrack 1,n\rbrack\!\rbrack \mbox{ tal que } \vert H\vert=r$$

Esta fórmula es equivalente a la del enunciado. $\quad\Box$

Observación
Designemos por un momento por $h_r$ y $h_{n-r}$ las restricciones del operador $\star$ a sendos espacios vectoriales $\stackrel{r}{\wedge}E$ y $\stackrel{n-r}{\wedge} E$. La fórmula del teorema 3.3.13 equivale a:

$$h_{n-r} \circ h_r = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} {\cal I}_{\stackrel{r}{\wedge} E}$$ (26)

De ahí, al intercambiar $r$ con $n-r$:

$$h_r \circ h_{n-r} = \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} {\cal I}_{\stackrel{n-r}{\wedge} E}$$ (27)

Las fórmulas (26) y (27) entrañan que $h_r$ es una biyección de $\stackrel{r}{\wedge}E$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$. La biyección inversa es $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} h_{n-r}$, o sea, ``$h_{n-r}$ a menos del signo''. Esto ofrece una nueva prueba del teorema 3.3.9.

Teorema 3.14   $\forall \, {\overline x},\, {\overline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E$ se verifican las fórmulas:

$$\fbox{${\displaystyle [{\overline x}, \star {\overline y}]= [... ...t(\mbox{\rm Sgn } G \right)({\overline x}\vert{\overline y})}$}$$

Equivalentemente:

$$\fbox{${\displaystyle {\overline x} \wedge \star{\overline y}... ...t)({\overline x}\vert {\overline y}) {\overline \varepsilon}}$}$$

Demostración
En virtud de la simetría del producto escalar basta mostrar que:

$$[{\overline x}, \star {\overline y}]= \left(\mbox{\rm Sgn } G... ...ll \, {\overline x},\, {\overline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E$$

Ahora bien, por definición del operador $\star$ tenemos $\forall \, {\overline x}, {\overline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E$:

$$[ \star {\overline y}, {\overline x}]= ( \star \star {\overline y}\vert {\overline x})$$

o sea, por el teorema 3.3.13:

$$[\star {\overline y}, {\overline x}]= \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)(-1)^{r(n-r)} ({\overline y}\vert {\overline x})$$ (28)

Pero $[\star {\overline y}, {\overline x}] = (-1)^{r(n-r)} [{\overline x}, \star {\overline y}]$ (pues $\star {\overline y} \wedge {\overline x}= (-1)^{r(n-r)} {\overline x} \wedge \star {\overline y}$ por el teorema 1.1.5). Luego la fórmula (28) se convierte en:

$$[{\overline x}, \star{\overline y}]= \left(\mbox{\rm Sgn } G \right)({\overline x}\vert{\overline y})$$

$\quad\Box$

Teorema 3.15   $\forall \, {\overline x}, {\overline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle (\star {\overline x}\vert\star {\overli... ...t(\mbox{\rm Sgn } G \right)({\overline x}\vert{\overline y})}$}$$

Demostración
Por definición del operador $\star$ y el teorema 3.3.14 tenemos $\forall \, {\overline x}, {\overline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E$:

$$(\star{\overline x}\vert\star{\overline y}) = [{\overline x},... ...left(\mbox{\rm Sgn } G \right)({\overline x}\vert{\overline y})$$

$\quad\Box$

Informalmente se puede enunciar el teorema 3.3.15 diciendo que el operador $\star$ es una ``casi-isometría'' de $\stackrel{r}{\wedge}E$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$, o sea, una ``isometría a menos del signo''. Será una genuina isometría, si $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)=+1$, por ejemplo si $E$ es un espacio vectorial euclidiano. En el caso general, el teorema 3.3.15 suministra una nueva prueba de que la restricción del operador $\star$ a $\stackrel{r}{\wedge}E$ es una biyección de $\stackrel{r}{\wedge}E$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$, o sea, una nueva prueba (la tercera) del teorema 3.3.9.

En efecto sea ${\overline y} \in \stackrel{r}{\wedge} E$ tal que $\star {\overline y}=0$. Del teorema 3.3.15, se sigue de ahí $({\overline x}\vert{\overline y})=0 \; \forall {\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E$. Por el axioma iii) de productos escalares, esto entraña ${\overline y}=0$. El operador $\star$ restringido a $\stackrel{r}{\wedge}E$ es, pues, inyectivo. Ya que $\mbox{\rm dim }\stackrel{n-r}{\wedge} E= \mbox{\rm dim }\stackrel{r}{\wedge} E$, el operador $\star$ es un isomorfismo lineal de $\stackrel{r}{\wedge}E$ sobre $\stackrel{n-r}{\wedge} E$. $\quad\Box$

Corolario 3.4 (del teorema 3.3.15)   Sean $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)\,,\; (\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_n)$ dos $n$-uplos de vectores de $E$. Sabemos que:

$$\begin{eqnarray*} {[\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n]} &=& \star (\vec{x}_1 \wedge \cd... ...,\vec{y}_n]} &=& \star(\vec{y}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{y}_n) \end{eqnarray*}$$

de donde, por el teorema 3.3.15:

$$[\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n][\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_n]= \le... ...\wedge \vec{x}_n \vert\vec{y}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{y}_n)$$

o sea, en definitiva por el teorema 3.2.1:

$$\fbox{${\displaystyle [\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n][\vec{y}_1,... ...et }\left((\vec{x}_i\vert\vec{y}_j)_{1 \le i,j\le n} \right)}$}$$

Esta fórmula se llama FÓRMULA DE CAUCHY-BINET. Como caso particular obtenemos:

$$\fbox{${\displaystyle [\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n]^2 = \left(... ...et }\left((\vec{x}_i\vert\vec{x}_j)_{1 \le i,j\le n} \right)}$}$$

llamada IDENTIDAD DE LAGRANGE.

El segundo miembro de la última fórmula es el gramiano del $n$-uplo
$(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$.

Una aplicación de la fórmula de Cauchy-Binet: Sean $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de sentido positivo de $E$ y $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ un $n$-uplo arbitrario de vectores de $E$. $\forall \, i,j \in [\![1,n]\!]$ sea $\xi_{ik}=\colon (\vec{e}_i\vert\vec{x}_k)$ la componente covariante de índice $i$ del vector $\vec{x}_k$. Vale:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm Det }\left( (\xi_{ik})_{1\le ... ...G \right)\sqrt{\vert g\vert} \, [\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n]}$}$$

Demostración
Por la fórmula de Cauchy-Binet:

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\rm Det }\left( (\xi_{ik})_{1\le i,k \le n} \right) &=& ... ... \right)[\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n][\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n] \end{eqnarray*}$$

Pero por el teorema 3.3.6, $[\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n]= \sqrt{\vert g\vert}$, de donde la conclusión. $\quad\Box$

Caracterización geométrica del operador de Hodge (Caso euclidiano). Si $E$ es un espacio vectorial euclidiano y $\vec{x} \in E$, el número real no negativo, $\Vert \vec{x} \Vert =\colon \sqrt{(\vec{x}\vert\vec{x})}$ es la familiar NORMA EUCLIDIANA (para los físicos MAGNITUD) del vector $\vec x$. Si $\vec{x} \ne 0$ la DIRECCIÓN de $\vec{x}$ es el subespacio de dimensión uno engendrado por el vector $\vec{x}$. El SENTIDO del vector $\vec x$ es aquel de los dos sentidos de dicho subespacio ${\cal L}(\vec{x})$, según la definición después del teorema 1.4.17, al cual pertenece $\vec x$. Sea $\vec{x} \ne 0$. Supongamos conocida:

1. la dirección ${\cal L} (\vec{u})$ del vector $\vec x$. Aquí $\vec{u} \in E\,, \, \vec{u} \ne 0$. La información que de ahí sacamos es que:
   

   $$\vec{x}= \alpha \vec{u} \quad \mbox{con} \quad \alpha \in {{\mathbb{R}}}- \{ 0 \}$$ (29)

   
   

2. Supongamos que además de i) conocemos la ``magnitud'' de $\vec{x}$: $\Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{(\vec{x}\vert\vec{x})}$. Este conocimiento suministra:
   

   $$\vert\alpha\vert= {\Vert \vec{x} \Vert \over \Vert \vec{u} \Vert}$$ (30)

   
   

3. Si además de a) y b) conocemos también el sentido de $\vec x$, sabemos que $\alpha >0$ si el sentido de $\vec x$ es el de $\vec u$ y $\alpha <0$ si el sentido de $\vec x$ es el de $-\vec u$, con lo que, junto con (30), viene determinado el número real $\alpha$ y, luego, por (29) el vector $\vec x$.

En resumen: Dirección, magnitud y sentido determinan sin ambigüedad el vector $\vec{x}$.

Volvamos al operador de Hodge.

Sean $E$ un espacio vectorial euclidiano y ${\overline x} \in \stackrel{r}{\wedge} E -\{ 0\}$. Puesto que también $\stackrel{r}{\wedge}E$ es un espacio vectorial euclidiano, vale $({\overline x}\vert{\overline x}) \ne 0$, pues no hay elementos isótropos en un espacio vectorial euclidiano. Para caracterizar geométricamente el $(n-r)$-vector $\star \overline x$, cabe suponer que ${\overline x}$ es un $r$-vector descomponible, pues todo $r$-vector es suma de $r$-vectores descomponibles. Por el teorema 3.3.10, sabemos que también $\star \overline x$ es un $(n-r)$-vector descomponible.

1. La ``dirección'' de $\star \overline x$ se determina en virtud de los teoremas 3.3.10 y 1.5.5 por la fórmula:
   
   $$\fbox{${\displaystyle N(\star {\overline x})= N ({\overline x})^\bot}$}$$
   
   
   pues si $(\vec{u},\ldots,\vec{u}_{n-r})$ es cualquier base del subespacio $N({\overline x})^\bot$ de $E$, vale:
   

   $$\star{\overline x}= \lambda \vec{u}_1 \wedge \cdots \wedge \... ...r} \quad \mbox{con} \quad \lambda \in {{\mathbb{R}}} - \{ 0\}$$ (31)

   
   

2. Por el teorema 3.3.15, la ``magnitud'' de $\star{\overline x}$ es:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \Vert \star {\overline x} \Vert = \Vert {\overline x}\Vert }$}$$
   
   
   (o sea, $(\star {\overline x}\vert \star {\overline x})= ({\overline x}\vert{\overline x})$).
3. Finalmente, el ``sentido'' de $\star{\overline x}$ viene determinado por la fórmula:
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle [{\overline x},\star {\overline x}] >0}$}}$$ (32)

   
   
   que sigue del teorema 3.3.14.

   En efecto, la fórmula (32) suministra el signo de $\lambda$ en (31).

Nota
No sería quizá muy necesario restringir nuestra caracterización geométrica de $\star{\overline x}$ al caso euclidiano. Pero:

1. Si $E$ no es un espacio vectorial euclidiano, el método falla en el caso de ser $\overline x$ un elemento isótropo de $\stackrel{r}{\wedge}E$.
2. La presencia del factor $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)$ quitaría la nitidez y, pienso, carácter intuitivo a los resultados.

Sea dicho de paso, que todos los libros que tratan el operador de Hodge y que conozco, lo hacen solamente en el caso euclidiano. Como se ve claramente por nuestra exposición, el estudio del caso general no presenta más molestias que las apariciones del factor $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)$, donde conviene. Y sí, hay espacios $E$ interesantes a estudiar que no son euclidianos, por ejemplo, el espacio usado en relatividad restringida es un espacio vectorial real de producto escalar de dimensión 4 que posee bases con respecto a las cuales $[G]$ es la matriz diagonal:

$$\left( \begin{array}{cccc} 1&&&\\ &1&&\\ &&1&\\ &&&-1 \end{array}\right)$$

luego, $g=-1$ y también $\left(\mbox{\rm Sgn } G \right)=-1$.

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