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Espacios afines normados

Definición 2.4   Sea $\cal E$ un espacio afín sobre un espacio vectorial E. Un par $({\cal E},\Vert\cdot\Vert)$ donde $\Vert\cdot\Vert$ es una norma sobre el espacio vectorial E se llama ESPACIO AF´iN NORMADO. Por abuso de lenguaje se dice que $\cal E$ es un espacio afín normado.

Sea $\cal E$ un espacio afín normado y sea $I$ un origen arbitrario en $\cal E$. Para todo par $A,\, B$ de puntos de $\cal E$ tenemos en virtud del teorema 4.1.1:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \Vert A-B \Vert = \Vert \overrightarrow {IA}- \overrightarrow {IB} \Vert}$}}$$ (7)

Teniendo en cuenta que por el teorema 4.1.3 la aplicación $P \mapsto \overrightarrow {IP}$ es una biyección del espacio afín $\cal E$ sobre su espacio vectorial asociado $E$, deducimos de la fórmula (7), que la aplicación $(A,B) \mapsto \Vert A - B \Vert$ de ${\cal E} \times {\cal E}$ en ${\mathbb{R}}$ es una distancia en $\cal E$ (que hace de $\cal E$ un espacio métrico) y la biyección $P \mapsto \vec{IP}$ es una isometría del espacio métrico $\cal E$ sobre el espacio métrico E. La isometría inversa es la aplicación $\vec{u} \mapsto I + \vec u$.

Por ser $\cal E$ y $E$ espacios métricos isométricos, tenemos sin más:

Teorema 2.13   Un espacio afín normado $\cal E$ es un espacio métrico completo si y sólo si su espacio vectorial asociado $E$ es un espacio de Banach.

También:

Teorema 2.14   Dos normas sobre $E$ definen la misma topología sobre el espacio afín $\cal E$ si y sólo si son normas equivalentes.

Supongamos $\cal E$ (equivalentemente $E$) de dimensión finita. Sabemos por el teorema 4.2.3, que entonces dos normas arbitrarias sobre $E$ son equivalentes, luego:

Teorema 2.15 (y definición)   Si $\cal E$ es un espacio afín de dimensión finita, la topología del espacio afín normado $\cal E$ es independiente de la elección de la norma sobre $E$. Dicha topología la llamaremos la TOPOLOG´iA NATURAL de $\cal E$.

Los teoremas 4.2.4 y 4.2.13 entrañan:

Teorema 2.16   Todo espacio afín normado de dimensión finita es un espacio métrico completo.

Esto implica a su vez:

Teorema 2.17   Toda variedad afín de dimensión finita en un espacio afín normado $\cal E$ es un conjunto cerrado en $\cal E$.

Demostración
Sea $\cal V$ una variedad afín de dimensión finita en el espacio afín normado $\cal E$ y $V = \colon \mbox{\rm Dir } \cal V$. La topología de $\cal V$ inducida por la de $\cal E$ es la misma que aquella definida mediante la restricción a $V$ de la norma en $E$. Por el teorema 4.2.16 $\cal V$ es un espacio métrico completo, luego $\cal V$ es cerrado en $\cal E$. $\quad\Box$

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