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Productos de espacios afines normados y diferenciales

Teorema 4.7   Sean ${\cal E};\, {\cal F}_1,\, {\cal F}_2$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales $E;\, F_1,\,F_2$. Sea ${\cal E}\supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} {\cal F}_1 \times {\cal F}_2$. Escribamos $\forall \, p \in {\cal S}$:

$$\varphi(p) = \left( \varphi_1 (p) ,\varphi_2 (p) \right) \qua... ...\quad \varphi_1(p) \in{\cal F}_1,\, \varphi_2(p) \in {\cal F}_2$$

abreviadamente $\varphi= (\varphi_1,\varphi_2)$.

Sea $m$ un punto interior de $\cal S$. La aplicación $\varphi \colon {\cal S} \to {\cal F}_1 \times {\cal F}_2$ es diferenciable en el punto $m$ si y sólo si las aplicaciones $\varphi_1 \colon {\cal S} \to {\cal F}_1$ y $\varphi_2 \colon {\cal S} \to {\cal F}_2$ son diferenciables en el punto $m$. En este caso se cumple $\forall \, \vec u \in E$:

$$\fbox{${\displaystyle d \varphi(m) \vec u = \left( d \varphi_... ...) \vec u , d \varphi_2 (m) \vec u \right) \in F_1 \times F_2}$}$$

Abreviadamente:

$$\fbox{${\displaystyle d \varphi(m) = \left( d \varphi_1 (m) , d \varphi_2 (m) \right)}$}$$

Demostración

1. Consideremos las proyecciones canónicas:
   
   $$\mbox{\it pr}_1\colon {\cal F}_1 \times {\cal F}_2 \to {\cal ... ...ox{\it pr}_2 \colon {\cal F}_1 \times {\cal F}_2 \to {\cal F}_2$$
   
   
   definidas por:
   
   $$\mbox{\it pr}_1(p_1,p_2) = p_1 \quad \mbox{y} \quad \mbox{\it... ... \; \forall \, p_1 \in{\cal F}_1 ,\, \forall p_2 \in {\cal F}_2$$
   
   
   y las proyecciones canónicas:
   
   $$\pi_1\colon F_1 \times F_2 \to F_1 \quad \mbox{y} \quad \pi_2 \colon F_1 \times F_2 \to F_2$$
   
   
   definidas por:
   
   $$\pi_1 ({\vec u}_1,{\vec u}_2)= \vec u_1,\;\;\pi_2({\vec u}_1,... ...; \forall \, {\vec u}_1 \in F_1 \; \forall \,{\vec u}_2 \in F_2$$
   
   
   Vale:
   
   $$\mbox{\it pr}_1(p_1+{\vec u}_1, p_2 + {\vec u}_2 ) = p_1+ {\v... ..._1 = \mbox{\it pr}_1 (p_1,p_2) + \pi_1 ({\vec u}_1, {\vec u}_2)$$
   
   
   luego $\mbox{\it pr}_1$ es una aplicación afín y $(\mbox{\it pr}_1)_* = \pi_1$.

   Asimismo $\mbox{\it pr}_2$ es una aplicación afín y $(\mbox{\it pr}_2)_* = \pi_2$.

   De topología general se sabe que $\mbox{\it pr}_1$ y $\mbox{\it pr}_2$ son aplicaciones continuas. Del teorema 4.3.4 se sigue que $\mbox{\it pr}_1$ y $\mbox{\it pr}_2$ son aplicaciones diferenciables en ${\cal F}_1 \times {\cal F}_2$ y $\forall \, (p_1,p_2) \in {\cal F}_1 \times {\cal F}_2$ y $({\vec u}_1,{\vec u}_2) \in F_1 \times F_2$
   

   $$\mbox{\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} d\, \mbox{\it ... ...1,p_2) ({\vec u}_1, {\vec u}_2) &=& {\vec u}_2 \end{array}}$}}$$ (3)

   
   

2. Supongamos que la aplicación $\varphi$ es diferenciable en el punto $m\in \cal S$. Ya que: $\varphi_1 = \mbox{\it pr}_1 \circ \varphi$ y $\varphi_2 = \mbox{\it pr}_2 \circ \varphi$ se sigue de la regla de la cadena (teorema 4.4.4) y el inciso a) que $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son diferenciables en $m$ y vale: $\forall \, \vec u \in E$:
   $$\begin{eqnarray*} d\varphi_1(m) \vec u &=& d\, \mbox{\it pr}_1\left( \varphi(m) ... ...}_2\left( \varphi(m) \right) \left( d \varphi (m) \vec u \right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   o sea, por las fórmulas (3):
   $$\begin{eqnarray*} d\varphi_1(m) \vec u &=& \pi_1 \left( d \varphi( m) \vec u \ri... ...varphi_2(m) \vec u &=& \pi_2 \left( d \varphi( m) \vec u \right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   o sea, $d\varphi(m) \vec u = \left( d\varphi_1 (m) \vec u , d \varphi_2 (m) \vec u \right)$.
3. Recíprocamente, supongamos que las aplicaciones $\varphi_1,\, \varphi_2$ son diferenciables en $m$. Para $\vec u \in E$ de norma suficientemente pequeña podemos escribir:
   

   $$\varphi(m+ \vec u) - \varphi(m) = \left( \varphi_1( m + \vec u ) - \varphi_1(m) , \varphi_2(m+ \vec u) - \varphi_2( m) \right)$$

   $$= \left( d \varphi_1(m) \vec u + \Vert \vec u \Vert \theta_1(\vec u) , \right.$$

   $$\ \ \left. d \varphi_2(m) \vec u + \Vert \vec u \Vert \theta_2 (\vec u) \right)$$ (4)

   
   
   donde ${\displaystyle \lim_{\vec u \to 0} \theta_1 (\vec u) =0}$ y ${\displaystyle \lim_{\vec u \to 0} \theta_2 (\vec u) =0}$. La relación (4) se escribe equivalentemente:
   

   $$\varphi( m + \vec u ) - \varphi(m) = \left( d \varphi_1(m) \... ...c u \Vert \left( \theta_1 (\vec u), \theta_2 (\vec u) \right)$$ (5)

   
   
   La aplicación $\vec u \mapsto (d \varphi_1(m) \vec u, d\varphi_2(m) \vec u)$ es una aplicación lineal continua de $E$ en $F_1 \times F_2$ y
   
   $$\lim_{\vec u \to 0} (\theta_1 (\vec u) ,\theta_2(\vec u)) =0 \in F_1 \times F_2$$
   
   
   Así pues, la fórmula (5) muestra que $\varphi$ es diferenciable en $m$ y que, en efecto, $d\varphi(m) = (d\varphi_1(m), d\varphi_2(m))$. $\quad\Box$

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