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Asuntos relacionados con el rango de la diferencial

Definición 5.5   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de dimensiones finitas, $\cal S$ un abierto en $\cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación diferenciable en $\cal S$. $\forall \, p \in \cal S$ se llama RANGO DE LA APLICACIÓN EN EL PUNTO , y se designa por $\mbox{\rm ran}_p\, \varphi$, al rango de la diferencial $d \varphi(p)$ de la aplicación $\varphi$ en el punto $p$.

Teorema 5.12   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de dimensiones finitas, $\cal S$ un abierto en $\cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación de clase $C^1$ en el abierto $\cal S$.

Todo punto $p \in \cal S$ posee una vecindad abierta $V$ contenida en $\cal S$ tal que:

$$\fbox{${\displaystyle q \in V \Rightarrow \mbox{\rm ran}_q \, \varphi \ge \mbox{\rm ran}_p \, \varphi }$}$$

Demostración
Sean $E$, $F$ los espacios vectoriales asociados con sendos espacios afines ${\cal E},\, \cal F$.

Sean $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ una base de $E$ y $(J; {\vec f}_1,\ldots,{\vec f}_m)$ un referencial de $\cal F$. Sean $\varphi^1,\ldots,\varphi^m \colon {\cal S} \to {\mathbb{R}}$, las funciones coordenadas de $\varphi$ con respecto a dicho referencial. Sea $p \in \cal S$. La matriz de la aplicación lineal $d \varphi(p) \colon E \to F$ con respecto a las bases $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de $E$ y $({\vec f}_1,\ldots,{\vec f}_m)$ de $F$ es la matriz jacobiana

$$\left( \partial_i \varphi^j (p) \right)_{1 \le i \le n}^{1 \le j \le m}$$ (1)

de tipo $m \times n$.

Sea $r = \colon \mbox{\rm ran}_p \varphi$. Por la ``consecuencia'' del teorema 1.4.19, la matriz (1) posee un menor no nulo de orden $r$, mientras todos sus menores de órdenes mayores que $r$ son nulos. Cambiando, si es necesario, la numeración tanto de los ${\vec e}_i$ como de los ${\vec f}_j$ podemos suponer que

$$\mbox{\rm Det } \left( \left( \partial_i \varphi^j (p) \right)_{1 \le i \le r}^{1 \le j \le r} \right) \ne 0$$ (2)

Puesto que $\varphi$ es de clase $C^1$ en $\cal S$, las $m\cdot n$ funciones $\partial_i \varphi^j$, $i=1,\ldots,n$, $j=1,\ldots,m$, son continuas en $\cal S$. También es continua en $\cal S$ la función $\mbox{\rm Det } \left( \partial_i \varphi^j \right)_{1 \le i \le r}^{1 \le j \le r}$.

De esto y de (2) se sigue que existe una vecindad abierta $V$ de $p$ contenida en $\cal S$ tal que:

$$q \in V \Rightarrow \mbox{\rm Det } \left( \left( \partial_i... ...i^j (q) \right)_{1 \le i \le r}^{1 \le j \le r} \right) \ne 0$$ (3)

Según la consecuencia citada del teorema 1.4.19: (3) entraña la implicación:

$$q \in V \Rightarrow \mbox{\rm ran}_q \varphi \ge r$$

$\quad\Box$

Advertencia
Es posible que se tenga $\mbox{\rm ran}_q \varphi > \mbox{\rm ran}_p \varphi$, para todo $q \in V$ tal que $q \ne p$.

Sea, por ejemplo, $\varphi \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}}^2$ la aplicación:

$$\varphi( x, y) = \colon (x^2 - y^2, xy) \quad \forall\, (x,y) \in {\mathbb{R}}^2$$

La matriz jacobiana de $\varphi$ en cualquier punto $(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^2$ es:

$$\left( \begin{array}{rr} 2x & -2y \\ y & x \end{array} \right)$$

de determinante $2 (x^2 + y^2)$. De ahí se ve que el rango de $\varphi$ es $0$ en el punto $(0,0)$ y es $2$ en cualquier otro punto.

Definición 5.6   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de sendas dimensiones finitas $n$, $m$.

1. Sea ${\cal E} \supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F$. Se supone $\varphi$ diferenciable en un punto interior $p \in \cal S$.
   1. $\varphi$ se dice una INMERSIÓN EN EL PUNTO $p$, si $d \varphi(p)$ es una aplicación lineal inyectiva de E en F, o sea, $\mbox{\rm ran}_p \varphi =n$.
   2. $\varphi$ se dice una SUMERSIÓN EN EL PUNTO $p$, si $d \varphi(p)$ es una aplicación lineal superyectiva de $E$ sobre F, o sea, $\mbox{\rm ran}_p \varphi =m$.
   3. $\varphi$ se dice APLICACIÓN QUIETA EN EL PUNTO $p$, si $d \varphi(p)$ es un isomorfismo lineal de $E$ sobre $F$, o sea, $\mbox{\rm ran}_p \varphi = n=m$.
2. Sean $\cal S$ un abierto de $\cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación diferenciable en $\cal S$.
   1. $\varphi$ se dice INMERSIÓN (EN EL ABIERTO ), si es inmersión en todo punto de $\cal S$, o sea, $\mbox{\rm ran}_p \varphi =n \; \forall\, p \in \cal S$.
   2. $\varphi$ se dice SUMERSIÓN (EN EL ABIERTO ), si es sumersión en todo punto de $\cal S$, o sea, $\mbox{\rm ran}_p \varphi =m \; \forall\, p \in \cal S$.
   3. $\varphi$ se dice APLICACIÓN QUIETA (EN EL ABIERTO ), si es quieta en todo punto de $\cal S$, o sea, $\mbox{\rm ran}_p \varphi = n=m$, $\forall \, p \in \cal S$.

Teorema 5.13   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de sendas dimensiones finitas $n$, $m$. Sean $\cal S$ un abierto en $\cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación de clase $C^1$ en el abierto $\cal S$.

Si $\varphi$ es inmersión (resp. sumersión) en un punto $p \in \cal S$, existe una vecindad abierta $V$ de $p$ contenida en $\cal S$ tal que $\varphi$ es inmersión (resp. sumersión) en $V$, vale decir $\mbox{\rm ran}_q \varphi= n \, \forall\, q \in V$ (resp. $\mbox{\rm ran}_q \varphi=m$, $\forall\, q \in V$).

En vista de que $\mbox{\rm ran}_q \varphi \le \mbox{M\'\i n}(m,n) \;\forall\ q \in \cal S$, esto se sigue sin más del teorema 4.5.12.

Nota
Salvo los casos mencionados en el teorema 4.5.13, es una circunstancia muy excepcional que el rango de una aplicación sea constante en toda una vecindad de un punto. Terminaremos citando, de nuevo sin demostración, una importante consecuencia del teorema 4.5.10. Desempeñará un papel esencial en el capítulo 8.

Teorema 5.14 (del rango constante)   Sean ${\cal E},\cal F$ espacios afines normados de sendas dimensiones finitas $n$, $m$. Sea $\cal S$ una vecindad abierta de un punto $a \in \cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación de clase $C^k \,(k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \} )$, de rango constante $r$ en $\cal S$. Existen:

1. una vecindad abierta $U$ de a contenida en $\cal S$ y un isomorfismo $C^k$ $u$ de $U$ sobre el ``cubo patrón''
   
   $$I^n = \left\{ (x^1,\ldots, x^n) \in {\mathbb{R}}^n \bigm\vert \vert x^i \vert < 1 \, \forall\, i \in [\![ 1,n ]\!] \right\}$$
   
   
   de ${\mathbb{R}}^n$ con $u (a) =0$,
2. una vecindad abierta $V \supset \varphi (U)$ del punto $b=\colon \varphi (a)$ en $\cal F$ y un isomorfismo $C^k$ $v$ de $V$ sobre el cubo patrón
   
   $$I^m = \left\{ (y^1,\ldots, y^m) \in {\mathbb{R}}^m \bigm\vert \vert y^j \vert < 1 \, \forall\, j \in [\![ 1,m ]\!] \right\}$$
   
   
   con $v (b)=0$, de suerte que la aplicación $v \circ \varphi \circ u^{-1} \colon I^n \to I^m$ es la aplicación:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (v \circ \varphi \circ u^{-1} ) (t^1,\l... ...r, 0,\ldots,0)\hspace{1cm}\forall\, (t^1,\ldots,t^n) \in I^n}$}$$
   
   

Corolario 5.2   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de sendas dimensiones finitas n,m. Sean $\cal S$ un abierto de $\cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una sumersión de clase $C^1$ $\varphi$ es una aplicación abierta.

Este resultado generaliza el primer enunciado en el teorema 4.5.11.

Demostración
Sean $G$ un abierto de $\cal S$ y $p$ un punto arbitrario de $G$. Aplicamos el teorema del rango constante con $p$ en vez de $a$, $G$ en vez de $\cal S$ y $r=m$. Por dicho teorema existen una vecindad abierta $U_p$ de $p$ contenida en $G$, una vecindad abierta $V_p$ de $\varphi(p)$ en $\cal F$ tal que $\varphi (U_p) \subset V_p$, isomorfismos $C^1$ : $u$ de $U_p$ sobre $I^n$, $v$ de $V_p$ sobre $I^m$ tales que:

$$(v \circ \varphi \circ u^{-1})(t^1,,\ldots, t^n) = (t^1,\ldots,t^m) \quad \forall\, (t^1,\ldots,t^n) \in I^n$$

Vale, pues, $(v \circ \varphi \circ u^{-1}) (I^n) = I^m$, equivalentemente $\varphi (u^{-1} (I^n)) = v^{-1}(I^m)$, o sea, $\varphi(U_p) = V_p$. Siendo $\varphi(G) = \bigcup_{p \in G} V_p$, resulta que $\varphi (G)$ es un abierto en $\cal F$. $\quad\Box$
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