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Cálculo diferencial en un semiespacio cerrado de un espacio afín de dimensión finita

Cálculo diferencial en un semiespacio cerrado

Sean $\cal E$ un espacio afín normado de dimensión finita, $E$ su espacio vectorial asociado, $\cal H$ un hiperplano de $\cal E$, $H = \colon \mbox{\rm Dir } \cal H$ y un semiespacio de $\cal E$ de borde $\cal H$.

Un referencial $(a;{\vec e}_1,\ldots,{\vec e}_n)$ de $\cal E$ lo llamaremos REFERENCIAL ADAPTADO AL SEMIESPACIO si $a \in \cal H$, $({\vec e}_1,\ldots,{\vec e}_{n-1})$ es una base de $H$ y el vector ${\vec e}_n$ apunta hacia el semiespacio .

Sean $\pi^1 ,\ldots, \pi^n$ las correspondientes funciones coordenadas:

$$\pi^i \left( a+ \sum_{k=1}^n t^k {\vec e}_k \right) = \colon t^i \quad i=1,\ldots,n$$

Puesto que las funciones (afines) $\pi^i$ son continuas, el semiespacio:

$$\mbox{{\frakiii S}} = \colon \{ m \in {\cal E} \vert \pi^n (m) >0 \}$$

es una parte abierta de $\cal E$ y el conjunto:

$${\cal H} \cup \mbox{\frakiii S}= \colon \{ m \in {\cal E} \vert \pi^n (m) \ge 0 \}$$

es una parte cerrada de $\cal E$. Es, pues, adecuado llamar al conjunto ${\cal H} \cup \mbox{\frakiii S}$ como ya lo hicimos, un semiespacio cerrado de $\cal E$. Si $p \in \cal H$ y $B(p,r)$ es una bola abierta arbitraria de centro $p$, la bola $B(p,r)$ contiene los puntos $p + \vec u$ donde $\vec u$ es un vector tal que $\Vert \vec u \Vert < r$ y $\vec u$ apunta hacia . Dichos puntos $p + \vec u$ son puntos de . Así pues, $p$ es un punto adherente de . De esto se desprende que:

$${\cal H} \cup \mbox{\frakiii S} = \overline{ \mbox{\frakiii S}} \quad \mbox{(la adherencia de {\frakiii S} en }\cal E)$$

De aquí en adelante designaremos, pues, el subespacio cerrado ${\cal H} \cup \mbox{\frakiii S}$ simplemente por $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$.

Sea $V \subset \overline{ \mbox{\frakiii S}}$ un conjunto abierto con respecto a $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$. Si $V \subset \mbox{\frakiii S}$, entonces $V$ también es un abierto en $\cal E$. Lo llamaremos ABIERTO DE PRIMERA ESPECIE en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$. En el caso contrario $V \cap {\cal H} \ne \emptyset$ (por cierto $V \cap {\cal H}$ es un conjunto abierto con respecto a $\cal H$) y los puntos de $V \cap \cal H$ no son puntos interiores de $V$ con respecto a $\cal E$. En este caso diremos que $V$ es un ABIERTO DE SEGUNDA ESPECIE en $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$.

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