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La funcional $\partial_{\vec u} (p)$

Definición 6.4   Si $p \in \overline{\mbox{\frakiii S}}$ y $\vec u \in E$ definimos $\partial_{\vec u}(p) \colon {\cal D}_{\overline{\mbox{\fraki S}}} (p) \to {\mathbb{R}}$ por:

$$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u}(p) f= df(p) \vec u \quad \forall\, f \in{\cal D}_{\overline{\mbox{\fraki S}}} (p)}$}$$

Del teorema 4.6.4 se desprende sin más:

Teorema 6.7   $\forall\, p \in \overline{\mbox{\frakiii S}}$y $\forall \, \vec u \in E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u}(p) \in \overline{\mbox{\frakiii S}_p}}$}$$

Definición 6.5   Sea $L \in \overline{\mbox{\frakiii S}_p}$. Definiremos una funcional $L^\prime \colon {\cal D} (p) \to {\mathbb{R}}$ como sigue: Sea $f \in {\cal D}(p)$. $f$ una función $U \to {\mathbb{R}}$, donde $U$ es un abierto de $\cal E$ que contiene a $p$ y $f$ es diferenciable en $p$. Consideremos la restricción $\underline{ f} = \colon f_{U \cap \overline{\mbox{\fraki S}}}$ de $f$ al abierto $U \cap \overline{\mbox{\frakiii S}}$ de $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$. En virtud de la definición 4.6.2 $\underline f$ es diferenciable en p, o sea, $\underline{f} \in {\cal D}_{\overline{\mbox{\fraki S}}}(p)$. Tiene, pues, sentido la definición:

$$\fbox{${\displaystyle L^\prime f = \colon L \underline{f} \quad \forall\, f \in {\cal D}(p)}$}$$

Lema 6.1   $\forall\, L \in \overline{\mbox{\frakiii S}_p}$ se tiene $L^\prime \in {\cal E}_p$.

Demostración
Debemos probar que la funcional $L^\prime \colon {\cal D} (p) \to {\mathbb{R}}$ goza de las tres propiedades leibnizianas.

1. Sean $f,\, g \in {\cal D}(p)$ y $\alpha, \, \beta \in {\mathbb{R}}$. $f$ es una función $U \to {\mathbb{R}}$ y $g$ es una función $V \to {\mathbb{R}}$, donde $U$ y $V$ son vecindades abiertas del punto $p$ en $\cal E$. $f$ y $g$ son diferenciables en $p$. Con las notaciones de la definición 4.6.5 se verifica:
   
   $$\underline{ \alpha f + \beta g} = \alpha \underline{f} + \beta \underline{g}$$
   
   
   pues ambos miembros de esta relación son funciones cuyo dominio es $U \cap V \cap \overline{\mbox{\frakiii S}}$. Usando la definición 4.6.5 y la propiedad leibniziana 1) de $L$ obtenemos:
   $$\begin{eqnarray*} L^\prime ( \alpha f + \beta g) &=& L (\underline{\alpha f + \b... ... + \beta L \underline{g} = \alpha L^\prime f + \beta L^\prime g \end{eqnarray*}$$
   
   
   comprobando la propiedad leibniziana 1) para $L^\prime$.
2. Sean $f,\, g \in {\cal D}(p)$. Vale:
   
   $$\underline{fg} = \underline{f}\cdot\underline{g}$$
   
   
   pues, con las notaciones del inciso a) ambos miembros de esta relación son funciones de dominio $U \cap V \cap \overline{\mbox{\frakiii S}}$. Usando la definición 4.6.5 y la propiedad leibniziana 2) de $L$ conseguimos:
   $$\begin{eqnarray*} L^\prime (fg) &=& L (\underline{fg}) = L(\underline{f}\cdot \u... ...f}(p) L \underline{g} \\ &=& g(p) L^\prime f + f(p) L^\prime g \end{eqnarray*}$$
   
   
   comprobando la propiedad leibniziana 2) para $L^\prime$.
3. Sean $f \in {\cal D}(p)$ tal que $f(p) =0$ y $g \in {\cal C}(p)$ luego: $\underline{f} \in {\cal D}_{\overline{\mbox{\fraki S}}}(p)$, $\underline{f}(p) =0$ y $\underline{g} \in {\cal C}_{\overline{\mbox{\fraki S}}}(p)$. Como en el inciso b):
   
   $$\underline{fg} = \underline{f}\cdot\underline{g}$$
   
   
   Por la definición 4.6.5 y la propiedad leibniziana 3) de $L$ tenemos:
   
   $$L^\prime (fg) = L (\underline{fg}) = L (\underline{f}\cdot \underline{g}) = \underline{g} (p) L \underline{f} = g(p) L^\prime f$$
   
   
   Viene, pues, comprobada la propiedad leibniziana 3) de $L^\prime$. $\quad\Box$

Teorema 6.8 (de Ellis para semiespacios cerrados)   Sea $\cal E$ un espacio afín normado de dimensión finita sobre un espacio vectorial $E$. Sean $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ un semiespacio cerrado de $\cal E$ y $p \in \overline{\mbox{\frakiii S}}$. La aplicación:

$$\vec u \mapsto \partial_{\vec u} (p)$$

es un isomorfismo lineal (canónico) del espacio vectorial $E$ sobre el espacio vectorial $\overline{\mbox{\frakiii S}_p}$ tangente al semiespacio cerrado $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ en el punto $p$.

Sea $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ un referencial en $\cal E$ y sean $\pi^i \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}$ las coordenadas con respecto a dicho referencial, es decir:

$$\pi^i \left( I + \sum_{k=1}^n \xi^k \vec{e}_k \right) = \colon \xi^i \quad \forall\, (\xi^1,\ldots,\xi^n) \in {\mathbb{R}}^n$$

$\forall\, L \in \overline{\mbox{\frakiii S}_p}$ se tiene $L = \partial_{\vec u} (p)$, donde, con la notación de la definición 4.6.5 :

$$\fbox{${\displaystyle \vec u = \sum_{k=1}^n ( L^\prime \pi^k ) \vec{e}_k}$}$$

Demostración
La aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(p)$ es una aplicación lineal del espacio vectorial $E$ sobre el espacio vectorial $\overline{\mbox{\frakiii S}_p}$. Esto se prueba exactamente como en el inciso a) del teorema 4.3.10.

Inyectividad de la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(p)$. Sea $\vec u \in E$ tal que se cumpla $\partial_{\vec u} (p) =0$. Consideremos un referencial $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ en $\cal E$ y sean las funciones $\pi^i \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}$, $i=1,\ldots,n$, las coordenadas correspondientes como en el enunciado. Pongamos

$${\displaystyle \vec u = \sum_{i=1}^n u^i \vec{e}_i}$$

$\forall \, i \in [\![ 1 , n ]\!]$ sea $\underline{\pi^i} = \pi^i_{\overline{\mbox{\fraki S}}}$. $\pi^i$ es una ampliación diferenciable de $\underline{\pi^i}$. En particular $d \underline{\pi^i} (p) = d \pi^i (p)$. Luego $\forall \, i \in [\![ 1 , n ]\!]$

$$0 = \partial_{\vec u} (p) \underline{\pi^i} = d \underline{\pi^i}(p) \vec u = d \pi^i (p) \vec u = u^i$$

Así pues, $\vec u =0$. Por lo tanto, la aplicación:

$$\vec u \mapsto \partial_{\vec u} (p)$$

es una aplicación lineal inyectiva de $E$ en $\overline{\mbox{\frakiii S}_p}$.

Superyectividad de la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(p)$. Sea $L \in \overline{\mbox{\frakiii S}_p}$ un vector tangente arbitrario a $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ en el punto $p$. Con las notaciones del lema 4.6.1 sea $L^\prime$ el correspondiente elemento de ${\cal E}_p$. Sea ${\displaystyle \vec u =\colon \sum_{i=1}^n (L^\prime \pi^i) \vec{e}_i \in E}$.

Por el teorema 4.3.10 vale $\forall\, f \in {\cal D}(p)$

$$L^\prime f = d f(p) \vec u$$

Sea $h$ un elemento arbitrario de ${\cal D}_{\overline{\mbox{\fraki S}}} (p)$. Por la definición 4.6.1, existe un $\tilde h \in {\cal D}(p)$ tal que el dominio de $h$ es la intersección de aquel de $\tilde h$ con $\overline{ \mbox{\frakiii S}}$ y $h$ es retricción de $\tilde h$. Por la definición de $L^\prime$:

$$L h = L^\prime \tilde h = d \tilde h (p) \vec u = d h(p) \vec u = \partial_{\vec u} (p) h$$

luego $L = \partial_{\vec u} (p)$.

Así pues, la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u}(p)$ es una aplicación lineal superyectiva de $E$ sobre el espacio vectorial $\overline{\mbox{\frakiii S}_p}$. $\quad\Box$

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